福建省福州市福清私立龍翔學校2022-2023學年高二數(shù)學理期末試卷含解析

福建省福州市福清私立龍翔學校2022-2023學年高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（

）A.3

B.4

C.6

D.9參考答案：C2.如圖所示，直線l:x－2y+2=0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，該橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．參考答案：D直線的斜率為，則，即，解得．3.向量，若，且，則的值為（

）A．－3

B．1

C.3或1

D．－3或1參考答案：D4.如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()A. B. C. D.參考答案：A【分析】觀察已知中的三個圖形，得到每一次變化相當于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，由此即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，觀察已知的三個圖象，每一次變化相當于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，根據(jù)此規(guī)律觀察四個答案，即可得到C項符合要求，故選C?！军c睛】本題主要考查了歸納推理的應用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某項相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題。5.給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示）：

該程序框圖的功能是（

）A．求出a,b,c三數(shù)中的最大數(shù)

B．求出a,b,c三數(shù)中的最小數(shù)C．將a,b,c按從小到大排列

D．將a,b,c按從大到小排列參考答案：B6.已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.參考答案：C試題分析：因為雙曲線離心率為,所以,又因為雙曲線中,所以,而焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為,所以此雙曲線的漸近線方程為,故選C.考點：1、雙曲線的離心率；2、雙曲線漸近方程.7.點（2，3，2）關(guān)于xoy平面的對稱點為（

）A．（2，3，－2）

B.（―2，―3，―2）C.（―2，―3，2）

D.（2，―3，―2）參考答案：A略8.對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f″（x）是f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=2x3﹣3x2+，則g（）+g（）+…+g（）=（）A．100 B．99 C．50 D．0參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關(guān)于點（，1）對稱，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵g（x）=2x3﹣3x2+，∴g′（x）=6x2﹣6x，g″（x）=12x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=，而g（）=1，故函數(shù)g（x）關(guān)于點（，1）對稱，∴g（x）+g（1﹣x）=2，∴g（）+g（）+…+g（）=g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）+g（）+g（）=2×49+1=99，故選：B．【點評】本題主要考查導數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．9.以為六條棱長的四面體個數(shù)為

（

）

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：解析：以這些邊為三角形僅有四種：，，，.固定四面體的一面作為底面：當?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法只有一種情況，即；當?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法有兩種情形，即，.其余情形得到的四面體均在上述情形中。由此可知，四面體個數(shù)有3個.10.若雙曲線的離心率是，則實數(shù)（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：雙曲線，，，∴，，∴．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列{bn}中，若b2b3b4=8，則b3=_______;參考答案：2略12.在△ABC中,，則角C=

參考答案：60°13.點B是點A（1，2，3）在坐標面內(nèi)的射影，其中O為坐標原點，則等于________．參考答案：點B是點A（1，2，3）在坐標面內(nèi)的射影，可知B（1，2，0），有空間兩點的距離公式可知．14.觀察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19…，根據(jù)以上規(guī)律，把m3（m∈N*且m≥2）寫成這種和式形式，則和式中最大的數(shù)為．參考答案：m2﹣m+1【考點】歸納推理．【專題】規(guī)律型；歸納法；推理和證明．【分析】根據(jù)23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，可知從23起，m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3，5，7，9，若干連續(xù)項之和，23為前兩項和，33為接下來三項和，故m3的首數(shù)為m2﹣m+1．【解答】解：根據(jù)23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，從23起，m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3，5，7，9，若干連續(xù)項之和，23為前兩項和，33為接下來三項和，故m3的首數(shù)為m2﹣m+1，故答案為：m2﹣m+1【點評】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．15.已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是_____.參考答案：－1【分析】本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求值即可?！驹斀狻慨?。這是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)且周期為3，因為，所以輸出結(jié)果為-1【點睛】本題主要考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求出周期即可。16.對任意實數(shù)，有，則的值為 ．參考答案：略17.函數(shù)y=|x+2|+|x-1|的遞增區(qū)間是________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(1)求k的值；并求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，其中為的導函數(shù).證明：對任意.參考答案：(I)，由已知，，∴.(II)由(I)知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立.當時，＞1，且，∴.設(shè)，，則，當時，，當時，，所以當時，取得最大值.所以.綜上，對任意19.在直角坐標系xOy中，點P到兩點F1（0，﹣），F(xiàn)2（0，）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點．（1）求出曲線C的方程；（2）若k=1，求△AOB的面積；（3）若⊥，求實數(shù)k的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；橢圓的標準方程．【分析】解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可知，點P的軌跡是以F1（0，﹣），F(xiàn)2（0，）為焦點的橢圓，由題意可知，c=，a=2，由a2﹣b2=c2可求b，從而可求橢圓方程（2）當k=1時，直線方程為y=x+1，聯(lián)立橢圓與直線方程可求A，B，利用兩點間距離公式可求AB，由點到直線的距離公式可求點O到直線L：y=x+1的距離d，代入面積公式S△AOB=可求（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，，由y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1可求，由題意可知，代入可求k【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可知，點P的軌跡是以F1（0，﹣），F(xiàn)2（0，）為焦點的橢圓由c=，2a=4即a=2由a2﹣b2=c2可得，b=1∴橢圓的方程為（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）當k=1時，直線方程為y=x+1聯(lián)立可得5x2+2x﹣3=0解方程可得，x=﹣1或x=從而可得A（﹣1，0），B∵點O到直線L：y=x+1的距離d=，，S△AOB===（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程可得，（4+k2）x2+2kx﹣3=0則，，∵∴∵A，B在直線y=kx+1上∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1==∴∴4k2﹣1=0∴20.在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AD=DC=，AB=PA=2，且E為線段PB上的一動點．（1）若E為線段PB的中點，求證：CE∥平面PAD；（2）當直線CE與平面PAC所成角小于，求PE長度的取值范圍．參考答案：【分析】（1）取PA的中點F，連結(jié)EF，DF，證明四邊形EFDC是平行四邊形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；（2）證明BC⊥平面PAC，可知∠PCE為CE與平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范圍．【解答】證明：（1）取PA的中點F，連結(jié)EF，DF，則EF∥AB，EF=AB，又DC∥AB，DC=AB，∴EF∥CD，EF=DC，∴四邊形EFDC是平行四邊形，∴CE∥DF，又CE?平面PAD，DF?平面PAD，∴CE∥平面PAD．解：（2）∵AD=CD=，AD⊥CD，∴AC=2，又AB=2，∠BAC=45°，∴BC=2，∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，過E作EM∥BC，則EM⊥平面PAC，∴∠PCE為CE與平面PAC所成的角，即∠PCE＜．∵PA=2，AC=2，∴PC=2，BC=2，PB=4，∴∠BPC=，∴當∠PCE=時，CE⊥PB，此時PE=3，∴當∠PCE時，PE＜3．21.在平面直角坐標系中，曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）若P為曲線M：ρ=﹣2cosθ上任意一點，Q為曲線C上任意一點，求|PQ|的最小值．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，展開化為：x2+y2﹣4x+3=0．圓心C（2，0），半徑R=1．把互化公式代入可得極坐標方程．（2）曲線M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化為直角坐標：（x+1）2+y2=1，可得圓心M（﹣1，0），半徑r=1．可得|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R．【解答】解：（1）曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，展開化為：x2+y2﹣4x+3=0．圓心C（2，0），半徑R=1．把互化公式代入可得極坐標方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（2）曲線M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化為直角坐標：x2+y2=﹣2x，可得（x+1）2+y2=1，可得圓心M（﹣1，0），半徑r=1．|MC|==3．∴|PQ|的最小