高三數學不等式練習題

不等式（山東省鄆城第一中學274700）張鐘誼不等式是中學數學的重點內容，是學習數學其它各部分學問所必不行少的工具，也是歷年高考考查的重點內容。復習提要因為不等式的性質、不等式的證明、不等式的解法、含有肯定值的不等式是高考考試內容，因此必需：（1）駕馭不等式的性質及其證明，駕馭證明不等式的幾種常用方法，駕馭兩個和三個（不要求四個和四個以上）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這兩個定理。并能運用上述性質、定理和方法解決一些問題；（2）在嫻熟駕馭一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法的基礎上，初步駕馭其他的一些簡潔的不等式的解法；（3）會用不等式例題及評注例1（1996年上海高考題）假如，則間的關系是（）（A）（B）（C）（D）解：分別在同一坐標系中作的圖像（如圖1）便知應選（B）。評注：利用特例分析法，并嫻熟駕馭對數函數圖像性質是確保解決對數問題的基本保證。例2不等式的解集為__________。（1995年全國高考題）解：原不等式等價于，由指數函數在R上單調遞增可知：。所以原不等式的解集為。評注：指數函數性質的純熟運用是解本題的關鍵。例3解不等式（1985年全國高考題）解法1：原不等式等價：或解（1）、（2）得原不等式的解集為解法2：設且，則從而解得。評注：對于無理不等式的解法一般采納等價轉化為不等式組來處理，留意分類探討，同時還應采納正難則反的策略求解。例4已知，對于的的值都有成立，則對這些的值都有。證明：令評注：本例論證突破的關鍵有兩處：一是對的恒等變形；二是對的恒等變形。在此基礎上運用條件及肯定值不等式性質達到證明的目的。近年高考題中的高檔題都考查到這些思想方法的運用。例5已知，問是否存在正整數，使不等式恒成立？假如存在，求出全部值；假如不存在，試說明理由。解：，原不等式等價于，此式恒成立的充要條件是，當且僅當，即當依次成（遞減）等差數列時，上式取“=”號。，而且，故存在正整數，使原不等式恒成立。評注：這道探究問題較難求解，但適當拆分因式，用基本不等式求解，不但解法新奇，而且過程也簡捷。例6過曲線的直線軸交于點，其中。（1）用；（2）證明；（3）若恒成立，求實數的取值范圍。解：（1）點，直線方程為，令可解得（2）由欲證，只需證，即，只需證?？捎脭祵W歸納法證明。（3）要使恒成立，只需。評注：這是一道不等式、數列、函數的綜合問題，它以二次曲線為背景，以直線方程為基礎，建立數列的遞推關系式，進而證明不等式，并通過證明數列是遞減數列完成解不等式。診斷檢測（一）選擇題1.若（）2.已知中最大的為（）3.設，則下列各式中正確的是（）4.與不等式解集相同的不等式（）5.已知都是不等于1的正數，則的最小值是（）（A）3（B）-3（C）0（D）不存在（二）填空題6.設從小到大排列是_______________。7.使不等式都成立的的關系式為________________。8.不等式的解集為___________。9.不等式的解集為______________。10.若函數能取得負值，則實數的取值范圍是____________。（三）解答題11.已知。12.定義在（-2，2）上的奇函數是減函數，且，求實數的取值范圍。13.已知的最小值。14.設的最值。答案與提示：（一）1.D2.C3.A4.B5.D（二）6.7.8.9.10.（三）11.略證：（逆向運用公式）由,三式相加并留意，則。12.略解：首先考慮定義域有：，因為上為減函數，所以。取兩個范圍的交集得。留意：求解不等式問題切勿忽視函數的定義域。13.略解：，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為9。留意：若另解為：，最小值為8。這種解法是錯誤的，因為兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩式不能同時成立。14.略解：設，即，比較此式兩邊的系數，得，依題意，得，的最小值是5，最大值是10。留意：有時變形是不行逆的，本題忽視這一點，易出錯。思想與方法結合下面實例，挖掘解決不等式問題的思路與方法。例7（1985年上海市高考題）對于一切大于1的自然數，證明：。證法1：（1）當時，左邊，右邊，左邊>右邊，不等式成立。（2）假設時不等式成立，即，兩邊乘以依據（1）、（2）對于大于1的自然數，原不等式成立。證法2：設說明：證明不等式，常用的方法有比較法、綜合法、分析法、數學歸納法和反證法。本題留意了依據欲證不等式的特點敏捷選擇，并恰當地“放縮代換”，這是證不等式不行忽視的兩點。例8解不等式解法1：（轉化為等價不等式組）原式等價于解（1）得，解集為時，解集為。解法2：（整體換元）令解法3：（通過局部換元后，用數形結合或探討法求解）令，，由圖像視察可得：說明：嫻熟駕馭代數（有理、無理）及超越（指數、對數、三角）不等式的解法是高考中檔試題的一個較為穩(wěn)定的命題重點和熱點，化高次為低次，化無理為有理，化多元為一元，化超越為代數，以及等價轉化，分類探討，數形結合，換元法等數學思想方法在本題多種解法中均有體現。例9二次函數的系數都是整數且，在（0，1）內有兩個不等的根，求最小的正整數。解：令的兩根為，且，于是，，，得，。同理，且等號不同時成立，所以，，而，所以，故最小的正整數。說明：實系數一元一次、一元二次方程的實根與系數的關系，構成了高考重點、難點、熱點問題，這類問題的解決要運用實系數方程實根分布的理論，這也是中學數學的一個重要內容，它體現了函數與方程的思想及數形結合的方法，不等式與方程互化的思想，本題正是運用了這些思想方法，才使問題化繁為簡，順當獲解。例10設，，為常數，，試求的最小值。解法1：明顯，于是有當時，的最小值為。解法2：本題也可用判別式法。令,，有最小值。解法3：用三角換元法設，則說明：最值問題也構成不等式在高考中的重點、難點、熱點問題，駕馭和運用兩個和三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數定理是解決這類問題必不行少的基本技能與技巧。強化訓練（一）選擇題1.已知則（）2.若的最大值為（）3.已知函數的圖像如圖2，當時，有，則正確的結論是（）4.不等式的解集是（）5.不等式組的解集是（）6.不等式的解集是（）7.母線長為1的圓錐體積最大時，其側面綻開圖圓心角等于（）（二）填空題8.給出下列四個命題：（1）若；（3）若，則；（4）若，其中真命題的序號是__________。9.，則的大小關系為___________。10.若，使不等式在R上不是空集的的取值范圍是__________。11.不等式的解集是___________。12.設一長方體的體積為，則它的表面積的最小值為____________。13.若點在直線圖像上（其中為直角三角形三邊長，為斜邊），則的最小值為_____________。14.已知三個不等式：（1），（2），（3）。以其中兩個作為條件，余下的一個作為結論，則可組成_______個正確的命題。（三）解答題15.設，解關于的不等式，16.給出函數，對隨意，且，試比較的大小關系。17.若。18.在某兩個正數之間，若插入一個數，使成等差數列；若插入兩個數成等比數列，求證：。19.某工廠用平爐（主要運用焦炭，同時也用電）或電爐冶煉合金鋼，用平爐冶煉每噸鋼的費用為S元，用電爐冶煉每噸鋼的費用為P元，若每噸焦炭為元，工業(yè)用電每百度為元，則的關系為：，假如平爐比電爐煉一噸的費用低或相同，則用平爐生產，否則用電爐生產。（1）假如平爐與電爐冶煉費用相同，試將每噸焦炭價格表示為百度電費價的函數；（2）假如每百度工業(yè)用電的價格在60元以上，用平爐生產，則每噸焦炭的最高限價是多少元？20.是否存在實數，使得當時，不等式恒成立，若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由。答案與提示：1.A2.C3.D4.A5.C6.C7.A8.（1）（2）（3）9.10.11.12.13.414.315.解：原不等式等價于不等式組當且。當。當，故此時不等式組的解為。16.解：故17.證明：要證，就是要證，即要證，即證，成立。成立。18.解：由題意可知：用，應用均值不等式，得19.解：本題是采納兩種方式冶煉合金鋼問題。（1）由題意S=P，得；（2）用平爐生產時，，即，故若每百度工業(yè)用電的價格在60元以上，用平爐生產時每噸焦炭的最高價是1530元。20.略解：假設存在實數，使題中的不等式恒成立，即使（1）恒成立。令取得最小值2，故要證（1）恒成立，需且只需。復習建議1.利用函數思想處理不等式有關問題利用函數思想處理不等式問題，不但能供應有效的思路方法，而且對于提高學問的遷移實力，培育創(chuàng)建性思維也是大有裨益的。如：利用二次函數的圖像探討實系數一元二次方程根的分布問題，解（或證明）不等式問題。例11當恒成立，求的取值范圍。簡析：對于這個含參數的不等式，若將不等式分別成含參數與不含參數兩部分，把不含參數的部分視為一個函數，利用其最值處理，參數的取值范圍將能快捷求出。解：由要使原不等式在[1，2]上恒能成立，即不等式（1）、（2）在[1，2]上恒成立，只需。例12正數。分析：簡潔看出互為倒數，右式的示意我們不能用均值不等式來證明，但正數“”，又示意我們可能要用到均值不等式，此時若能利用函數思想來處理，將會得到簡捷的證明。事實上，由于函數上是增函數，且。證明：（略）總之，復習中應重視利用函數思想處理不等式有關問題，以培育和提高自身的數學素養(yǎng)。2.重視不等式的應用不等式在方程、函數、參數及最值（值域或范圍）中的廣泛應用，幾乎滲透到中學數學的各個章節(jié)，在解應用題中應用也非常廣泛，近年來高考試題中的不等式的分數比重居高不下，特殊是均值不等式的應用出現的頻率很高，因而復習中應特殊留意。例13（2000年全國新教材高考題）用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，假如所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，則高為多少時容器的容積最大？并求它的最大容積。分析：本題的原解法是用導數學問實施的，但據題意及列式特點，配湊“和”為定值，借用均值不等式仍可獲簡解。解：設容器的底面短邊長為，則長邊長為，其高為。于是，長方體的容積為：當且僅當，故所制作的容器的高是1.2m時，其容積取得最大值。例14某機關在“精減人員”中，對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100%，從其次年起，以后每年只能在原單位按上一年的領取工資。該機關依據分流人員的特長，安排創(chuàng)辦新的經濟實體，該經濟實體預料第一年屬投資階段，沒有利潤，其次年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎上遞增50%。假