剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)課件

§5–4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律§5–1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§5–2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§5–3轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能力矩的功1.理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)；2.理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義；3.掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理；4.掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律。教學(xué)基本要求§5–1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體前面幾章，研究對(duì)象抽象為質(zhì)點(diǎn)，本章考慮物體有形狀和大??；為簡(jiǎn)單，不計(jì)入物體形變。定義在外力作用下形狀和大小都不變化的物體稱為剛體剛體是一種理想模型。剛體是在任何外力作用下任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生位移，形狀大小均不發(fā)生改變的物體。二、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)如果剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，它里面任一直線的方位始終保持不變，則其運(yùn)動(dòng)稱為平動(dòng)。水平飛行看成質(zhì)點(diǎn)剛體作平動(dòng)，其上所有點(diǎn)的速度、加速度相等，運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，整個(gè)剛體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，滿足牛頓定律。轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體中所有質(zhì)點(diǎn)都繞著一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，則這剛體的運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸固定的轉(zhuǎn)動(dòng)叫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸地球儀轉(zhuǎn)動(dòng)一般情況下，剛體十分復(fù)雜，同時(shí)存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)；可以證明，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以當(dāng)作由一平動(dòng)和一繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)軸位置變）跳水運(yùn)動(dòng)員三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸PQ軸轉(zhuǎn)軸固定的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)叫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)剛體中任一點(diǎn)都在垂直于軸的平面內(nèi)作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)；在同一時(shí)間間隔內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)的角位移相等；同一時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度。因此，用

、

和

作為描寫(xiě)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，稱為剛體的角位移、角速度和角加速度。剛體中各質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，因其位置和到轉(zhuǎn)軸的距離不同而不同。如圖，對(duì)質(zhì)點(diǎn)P，有P軸對(duì)一定的質(zhì)點(diǎn)r為常量例題5–1§5

2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定理 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力可以使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)驗(yàn)表明其效果不僅取決于力的大小而且還與力的方向和作用點(diǎn)的位置有關(guān)。下面將證明，力使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)決定于力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩大小，如圖所示。哪個(gè)力容易將門(mén)關(guān)好？轉(zhuǎn)軸如圖，對(duì)于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的情況，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩定義為其中d是力的作用線與轉(zhuǎn)軸的距離，稱為力臂，等于顯然，如果力的作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸，力臂為零，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩等于零。轉(zhuǎn)軸對(duì)于的作用線不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，可將分解為二個(gè)分力和，在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，與轉(zhuǎn)軸平行，這樣對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為一般規(guī)定如力矩使剛體沿反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，力矩為正；如力矩使剛體沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，力矩為負(fù)；這樣，幾個(gè)力作用在剛體上，剛體所受的合力矩等于各個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和式中按一定的規(guī)定（如上面的約定）有正負(fù)之分。問(wèn)題：與轉(zhuǎn)軸垂直但通過(guò)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；(為什么?)與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；(為什么?)剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。(為什么?)二、轉(zhuǎn)動(dòng)定理靜止剛體在力的作用下，如果力矩不等于零，將轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度與力矩的有什么關(guān)系？將剛體劃分成很多質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨剛體繞軸作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)考察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（牛頓定律）來(lái)找出剛體角加速度與力矩的關(guān)系。如圖，研究質(zhì)點(diǎn)，受力為外力內(nèi)力之和

質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用。如圖，考慮質(zhì)點(diǎn)切線方向運(yùn)動(dòng)有上式對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，得兩邊乘以外力合力矩可提出求和號(hào)外可以證明內(nèi)力產(chǎn)生的力矩和等于零，即（內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)）ij外力合力矩對(duì)一定的轉(zhuǎn)軸，量為恒量，稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用J表示歸納有或轉(zhuǎn)軸即剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這一關(guān)系稱為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。轉(zhuǎn)動(dòng)定律是研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本定律；知道了剛體的角加速度，各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況也就知道了。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與物體的慣性物理意義一致，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大，欲改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越困難；反之，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)容易改變。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于轉(zhuǎn)軸剛體的總質(zhì)量;剛體的質(zhì)量分布;轉(zhuǎn)軸的位置.轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸三個(gè)剛體，質(zhì)量相等，因轉(zhuǎn)軸位置或質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不相等；例如圖剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用實(shí)驗(yàn)測(cè)量，某些情況也可理論計(jì)算。質(zhì)量離散分布的物體:轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例如圖可視為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量連續(xù)分布的物體（記?。喊?、圓盤(pán)和圓柱體的I）線積分面積分體積分例題5-2例題5-3例題5-4例題

求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直。有將代入上式，得：（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并與棒垂直時(shí)X’O’解：1)在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元dx（如圖所示），如果棒的質(zhì)量線密度為

，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=

dx，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：例題

求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為h的均質(zhì)圓盤(pán)對(duì)通過(guò)盤(pán)心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中：dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以

表示圓盤(pán)的質(zhì)量體密度，則有代入得解：如圖所示，將圓盤(pán)看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用基本步驟隔離法選擇研究對(duì)象；受力分析和運(yùn)動(dòng)情況分析；對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定理，對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定理；建立角量與線量的關(guān)系，求解方程；結(jié)果分析及討論。例題

一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度(定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）。解：(1)研究對(duì)象：滑輪和物體m;TTmgoMmx(2)受力分析如圖：滑輪：T、Mg、和軸的支持力，只有T產(chǎn)生力矩（why?)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；物體：mg和T，向下運(yùn)動(dòng)對(duì)物體m：①②③（3）對(duì)滑輪：（4）以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度和速度：這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為:例題:質(zhì)量M=1.1kg，半徑=0.6m的勻質(zhì)圓盤(pán)，可繞通過(guò)其中心且垂直于盤(pán)面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤(pán)邊緣繞有輕的柔繩，下端掛一質(zhì)量m=1.0kg的物體，如圖所示，起初在圓盤(pán)上加一恒力矩使物體以速率V0=0.6m/s上升，如撤去所加的恒力矩，問(wèn)經(jīng)歷多少時(shí)間圓盤(pán)開(kāi)始作反向轉(zhuǎn)動(dòng)（）。解：（1）研究對(duì)象：物體和圓盤(pán)；（2）受力分析如圖，設(shè)逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的正向，角加速度為，物體向下的加速度為a。mgTT(3)列方程：（4）解上面的方程組：（5）圓盤(pán)作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，故有：其中，代如數(shù)據(jù)，令=0可求得反轉(zhuǎn)時(shí)間。請(qǐng)同學(xué)求出反轉(zhuǎn)所需時(shí)間?。　?-4轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩的功一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能運(yùn)動(dòng)的物體有動(dòng)能，轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體同樣有動(dòng)能。例如風(fēng)車(chē)發(fā)電，水輪機(jī)等。一各以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的剛體，動(dòng)能等于多少？轉(zhuǎn)軸剛體中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和即為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。因此，將剛體分割成很多質(zhì)點(diǎn)，寫(xiě)出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，相加得剛體得動(dòng)能。如圖，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能相加，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量所以，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

對(duì)比質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)軸二、力矩的功2.WorkdonebytorqueKinetictheoremofrotation(1)

Workdonebytorque

Whenatorqueactsonarigidbody,therigidbodystartstorotatewithanangularaccelerationsothatitstorethekineticenergy.Thisfactshowsthatthetorquehavedoneworkontherigidbody.

Inthefollowing,forsimplicity,weconsideronlyaforceappliedatpointPofarigidbodyrotatingaboutafixedaxisthroughoasshowninFigure.axisInFig.5-14,supposethattherigidbodyactedbyaforceFrotatesthroughaelementangulardisplacement,theworkdonebytheforceisThetotalworkdoneduringafiniteangulardisplacement,isthen(5-18)InthespecialcaseofMisaconstant

(5-19)Fig.5-14axisInstantaneouslypower(5-20)(2)Kineticenergytheoremofrotation

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理RewritetheelementworkFig.5-14axisWhentheangularspeedchangesfromto,theworkdonebythetorqueis(5-21)Equation(5-21)indicatesthattheworkdonebytorqueequalstotheincrementofkineticenergyofrotation.Thisiskinetictheoremofrotation.末動(dòng)能初動(dòng)能3.potentialenergyofweight剛體的重力勢(shì)能設(shè)勢(shì)能零點(diǎn)在x-axis,

hc為質(zhì)心到勢(shì)能零點(diǎn)的距離.y

miChihCoxM如剛體在重力矩作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)入剛體的重力勢(shì)能后，如滿足守恒條件，即其它力矩作功為零或無(wú)其它力矩，機(jī)械能守恒定律：Example5-7質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)細(xì)桿可繞水平光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若使桿從水平位置開(kāi)始由靜止釋放，試求桿轉(zhuǎn)至鉛垂位置時(shí)的角速度。

mg解：可利用動(dòng)能定理來(lái)求解。當(dāng)桿的位置由

轉(zhuǎn)到

+d

時(shí)，重力矩所做元功為：兩邊積分得：（事實(shí)上，這就是機(jī)械能量守恒）由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：Example5-8:一長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置,其下端與一固定鉸鏈o相連,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí),細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈o轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時(shí)的角加速度和角速度.解:受力分析如圖取任一狀態(tài),由轉(zhuǎn)動(dòng)定律

mg（2）利用機(jī)械能守恒求角速度：取o點(diǎn)的重力勢(shì)能為零，則

mg§5-5AngularMomentum（角動(dòng)量）ofaRigidbodyConservationofAngularmomentum角動(dòng)量守恒定律

1.AngularMomentumofaRigidbody

Asshowninthefigure,theangularmomentumoftherigidbodyaboutthefixedaxiswithanangularspeedisdefinedasNote:basedontheconceptofangularmomentumofaparticlewithrespecttoafixedpointwelearnedin§4-4,arigidbodyistreatedasacollectionofparticlestoleadto(seethetext)(5-22)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量軸

對(duì)剛體：

areaboutthesameaxis.Thisimpliesthatmaybenegativeorpositivedependingonthechoiceofdirectionofrotation:Counterclockwise：positiveClockwise：negativeTaketimederivativeofequation(5-22),wehaveHence:(5-23)轉(zhuǎn)動(dòng)定理的另一種形式Itmeansthatthenettorqueactingonarigidbodyequalsthetimerateofchangeofthebody’sangularmomentum.2.ConservationofAngularmomentum角動(dòng)量守恒定律Ifnoexternaltorqueactsonthebodyorthesystem,thatisWehave:角動(dòng)量守恒定理Forasystem:(hereirepresentsithrigidbody)whichmeansthatifnoexternaltorqueactingonarigidbodyorasystem,theangularmomentumwillremainsconstant.如果系統(tǒng)不受外力矩的作用，系統(tǒng)的角動(dòng)量將保持不變。(5-24)動(dòng)畫(huà)-1動(dòng)畫(huà)-2Examples①thespinoftheearth;②theexampleinFig.5-16;③theexampleinFig