整體性教學(xué)視角下章首課教學(xué)的實踐與思考

【摘要】單元章首課教學(xué)是實施整體性教學(xué)的關(guān)鍵。文章圍繞蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊“函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計，以函數(shù)知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)為內(nèi)容，以思維方法培養(yǎng)為紐帶，以關(guān)鍵能力培養(yǎng)為支柱，引導(dǎo)學(xué)生自主搭建函數(shù)知識的整體框架，形成探究函數(shù)的一般觀念與方法，發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)性、拓廣性和同構(gòu)性數(shù)學(xué)思維方式，讓學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)知識“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】整體性教學(xué)；函數(shù)；章首課《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）強調(diào)數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性［1］。這就要求課堂的設(shè)計不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，更要把握教學(xué)內(nèi)容與關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。具體地說，整體性的教學(xué)視角需要教師用全方位的研究視野去思考知識整體與局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，對教學(xué)規(guī)劃進行整體布局，對知識學(xué)習(xí)方式進行局部挖掘，對相似問題的研究策略進行有效遷移，發(fā)展關(guān)鍵能力，繼而形成系統(tǒng)性、拓廣性和同構(gòu)性數(shù)學(xué)思維方式［2］，讓學(xué)生真正地體會“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”。因此，本文以蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊“函數(shù)”為例，探討整體性教學(xué)視角下章首課的教學(xué)。一、用整體的眼光審視函數(shù)章首課地位函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的概念之一，是描述現(xiàn)實世界運動變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，同時，也是初中階段變量數(shù)學(xué)的開端，是初中階段重要的學(xué)習(xí)任務(wù)之一。函數(shù)知識體系在初中數(shù)學(xué)中具有重要地位，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容分布在初中不同階段，內(nèi)容繁多、抽象度高、計算量大，是不少學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)。因此，教師需要對函數(shù)教學(xué)進行整體性規(guī)劃，以提升學(xué)生對函數(shù)內(nèi)容的整體理解，發(fā)展關(guān)鍵能力，提升學(xué)科核心素養(yǎng)。1.建構(gòu)函數(shù)知識體系，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維方式數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)性思維方式的培養(yǎng)需要建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，使得數(shù)學(xué)知識體系呈現(xiàn)秩序化的樣態(tài)。章首課對整個章節(jié)的教學(xué)起到統(tǒng)領(lǐng)性的作用，對系統(tǒng)性思維方式的培養(yǎng)起到關(guān)鍵作用。因此，章首課的教學(xué)更應(yīng)體現(xiàn)“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”三個核心問題，從學(xué)習(xí)的高度層面對數(shù)學(xué)內(nèi)容進行架構(gòu)。函數(shù)是刻畫生活實際重要的數(shù)學(xué)模型，是研究生活中動態(tài)變化規(guī)律的重要工具，即“為什么學(xué)”。因此，函數(shù)需要依托實際問題情境來研究。函數(shù)及一次函數(shù)的概念、表達方式、性質(zhì)是“函數(shù)”學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，即“學(xué)什么”。這就要求教師系統(tǒng)鋪設(shè)函數(shù)的研究路徑，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系。學(xué)生需要通過函數(shù)概念的辨析、函數(shù)性質(zhì)的深入研究，感悟變量之間的聯(lián)系，發(fā)展關(guān)鍵能力，即“怎么學(xué)”。這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)研究過程的數(shù)學(xué)思維及一般方法。2.探究函數(shù)研究方法，培養(yǎng)拓廣性思維方式數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)需要承上啟下、一以貫之。系統(tǒng)性思維方式讓數(shù)學(xué)知識有序化。拓廣性思維方式則通過不斷添加具體條件，構(gòu)建出同一概念在不同問題情境下的連續(xù)性的解題方式、模型，從學(xué)習(xí)的廣度層面對數(shù)學(xué)內(nèi)容進行架構(gòu)。概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識研究的起點，拓廣性思維方式通過對函數(shù)概念添加不同類型的現(xiàn)實情境，促進函數(shù)模塊從概念中生長出新的研究對象及研究方法，即定理、法則、性質(zhì)等，建立研究函數(shù)的基本路徑為“情境→概念→表達方式→圖像及性質(zhì)→應(yīng)用”。例如，在研究一次函數(shù)時，可以由生活情境抽象得到一次函數(shù)概念，由一次函數(shù)概念獲得函數(shù)表達式，并據(jù)此畫出函數(shù)圖像。同時，通過函數(shù)表達式和圖像分析一次函數(shù)的基本性質(zhì)，最終將一次函數(shù)應(yīng)用于生活實際。因此，函數(shù)章首課需要考慮研究路徑的鋪設(shè)，為后續(xù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，甚至是高中階段的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等的學(xué)習(xí)打下思維基礎(chǔ)。3.挖掘函數(shù)解決策略，培養(yǎng)同構(gòu)性思維方式問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題的解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，問題解決的過程也是數(shù)學(xué)知識生成的過程。同構(gòu)性思維方式是從學(xué)習(xí)的深度層面對教學(xué)內(nèi)容進行研究的思維方式，其主要作用于不同概念數(shù)學(xué)知識解決策略的共同點，通過類比不同概念在解決問題過程中的相似點，形成更加一般化的結(jié)論。在初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)模塊中，函數(shù)的知識繁雜，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，如何培養(yǎng)學(xué)生的同構(gòu)性思維方式，通過相同的解決策略解決不同類型的函數(shù)問題，并據(jù)此提升學(xué)生的關(guān)鍵能力是教學(xué)難點。在函數(shù)概念的抽象與辨析過程中，應(yīng)充分滲透函數(shù)的三種表達方式，即式（函數(shù)表達式）、表（表格）、圖（函數(shù)圖像）。教師可以通過式、表與圖多角度探究函數(shù)的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)進行理解，為后續(xù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的探究打下基礎(chǔ)。同時，通過對函數(shù)概念的反復(fù)辨析、函數(shù)性質(zhì)的深入探究，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等關(guān)鍵能力。二、用整體的理念架構(gòu)函數(shù)章首課基于以上分析，函數(shù)章首課的教學(xué)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)從生活中來，又回到生活中去；用運動的眼光觀察世界，研究事物的變化規(guī)律；架構(gòu)函數(shù)知識整體認知框架，形成一般路徑，繼而形成認知創(chuàng)新，發(fā)展多維數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。1.情境引入，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系教師通過視頻或圖片引入學(xué)生耳熟能詳?shù)摹翱讨矍髣Α钡墓适?，啟發(fā)學(xué)生思考：“為什么船身上的刻痕并不能幫助船上的人找到他的佩劍？”萬物皆變，生活中大量存在著一個量隨著另一個量的變化而變化的現(xiàn)象，比如，行星的位置、河流的水位、植物的高度、汽車行駛的路程都會隨著時間的變化而變化。教師通過故事的引入，引導(dǎo)學(xué)生要用變化的眼光觀察世界，不能墨守成規(guī)，同時，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，即“為什么學(xué)”。2.概念抽象，歸納概念基本特征情境1：觀察表1中展示的水位信息，你能發(fā)現(xiàn)其中有哪些量？這些量有什么特征？情境2：你見過水中漣漪嗎？如圖1，圓形水波慢慢地擴大。你能寫出圓形水波的面積S與其半徑r的關(guān)系式嗎？追問：這個關(guān)系式中有哪些量？這些量有什么特征？情境3：圖2是某市冬季某一天的氣溫變化圖，你能發(fā)現(xiàn)圖2中表示了哪些量嗎？這些量有什么特征？教師通過上述三個情境，引導(dǎo)學(xué)生體會在不同事物變化的過程中不變的量與變化的量，即常量與變量。同時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個情境中變量之間的關(guān)系，抽象出函數(shù)的概念，關(guān)注函數(shù)概念中的三個關(guān)鍵點：變化過程、兩個變量和唯一確定，即“學(xué)什么”。3.推理判斷，深入探究概念內(nèi)涵問題1：下列式子中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？（1）y=x；（2）y=x2；（3）y2=x。追問：在關(guān)系式y(tǒng)=[1／x]中，y是x的函數(shù)嗎？為什么？問題2：根據(jù)表2中的信息回答問題。其中，x表示乘公交車的站數(shù)（個），y表示相應(yīng)的票價（元）。（1）y是x的函數(shù)嗎？為什么？（2）x是y的函數(shù)嗎？為什么？拓展：“雙11”期間國內(nèi)快遞包裹收發(fā)量驟增，某快遞公司寄件收費標準見表3。（1）y是x的函數(shù)嗎？為什么？（2）x是y的函數(shù)嗎？為什么？問題3：圖3是一幅心電圖，橫坐標表示時間t，縱坐標表示心臟部位的生物電流y，在這個變化的過程中存在函數(shù)關(guān)系嗎？問題1通過對關(guān)系式的辨析，進一步鞏固函數(shù)概念，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力和思辨思維。問題2及其拓展從表格的角度入手，通過分析表格中的數(shù)據(jù)判斷是否存在函數(shù)關(guān)系。問題3從圖像的角度入手，引導(dǎo)學(xué)生如何通過圖像來發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系。該環(huán)節(jié)的三個問題分別通過式、表和圖三個角度入手，讓學(xué)生從不同角度進行分析，體會函數(shù)表現(xiàn)方式的多樣性，從而深刻地認識函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。4.課堂回顧，架構(gòu)知識框架體系教師引導(dǎo)學(xué)生思考本節(jié)課的探究過程，讓學(xué)生談一談?wù)J識和收獲，并對本節(jié)課的知識進行總結(jié)，架構(gòu)知識框架體系（如圖4）。本環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，并架構(gòu)知識框架體系。首先，分析生活中存在的大量變化過程，提出常量與變量的概念。然后，通過研究變量之間的關(guān)系建立函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型。最后，通過式、表與圖，發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生理解解析式法、表格法和圖像法既是函數(shù)關(guān)系表達的三種基本方式，也是后期學(xué)習(xí)的重點。當(dāng)然，函數(shù)的學(xué)習(xí)最終是為了將函數(shù)應(yīng)用到研究生活中變量之間的關(guān)系中去。5.觀察反思，巧用新知解決問題思考：觀察艾賓浩斯遺忘曲線（如圖5），結(jié)合今天所學(xué)的函數(shù)知識，同學(xué)們有何感悟？本環(huán)節(jié)要求學(xué)生利用函數(shù)的相關(guān)知識去分析問題。教師首先引導(dǎo)學(xué)生解決以下2個問題：（1）圖5中存在哪些變量？（2）這些變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系？然后，引導(dǎo)學(xué)生觀察“記憶的數(shù)量”隨著“學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時間”的變化是如何變化的，讓學(xué)生初步體會函數(shù)的基本性質(zhì)，為后期具體函數(shù)性質(zhì)的探究埋下伏筆。最后，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)習(xí)需要“學(xué)而時習(xí)之”，只有經(jīng)常復(fù)習(xí)，才能打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以提升學(xué)習(xí)品格。三、教學(xué)思考本節(jié)課以整體性教學(xué)理念為依托，以函數(shù)的核心知識點為載體，以發(fā)展學(xué)生思維為核心，通過精心設(shè)計問題鏈，讓學(xué)生自主體會知識的生成，實現(xiàn)知識框架的搭建和學(xué)習(xí)路徑的梳理。1.發(fā)揮章首課的先行組織作用章首課的教學(xué)不能拘泥于教材第一節(jié)課中的內(nèi)容，需要從更廣闊的視角，從知識關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)、邏輯關(guān)聯(lián)入手，形成整體，為后續(xù)知識的探究與學(xué)習(xí)確定目標、明確方法、設(shè)計路線［3］。在函數(shù)的章首課教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生提煉函數(shù)的基本概念，更要適時地展示研究函數(shù)“情境→概念→表達方式→圖像及性質(zhì)→應(yīng)用”的基本路徑，明確一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的研究內(nèi)容和任務(wù)。學(xué)生通過對函數(shù)知識體系整體的理解，體會函數(shù)知識體系、方法體系與邏輯之間的密切聯(lián)系，發(fā)展系統(tǒng)性思維能力。2.建構(gòu)章節(jié)整體知識與方法體系正如《課標（2022年版）》所強調(diào)的，教學(xué)設(shè)計應(yīng)當(dāng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，整體把握教學(xué)內(nèi)容，架構(gòu)知識之間聯(lián)系的橋梁。函數(shù)章首課應(yīng)立足于知識的生長點，以解決函數(shù)關(guān)鍵問題為抓手，理解函數(shù)知識的來源、價值和意義。在函數(shù)概念的探究與鞏固過程中，讓學(xué)生充分理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，重點關(guān)注函數(shù)式、表、圖三種表達方式，以單元整體的視角進行研究，幫助學(xué)生用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光審視問題。同時，讓學(xué)生深刻地感受一般函數(shù)與具體函數(shù)研究路徑、研究方法的一致性和連貫性，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)指明方向，發(fā)展學(xué)生的拓廣性思維能力。3.關(guān)注核心素養(yǎng)的落地與發(fā)展核心素養(yǎng)導(dǎo)向的章首課，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的完整學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)知識的生成過程，注重方法提煉、思維發(fā)散和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)邏輯體系，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。在逐步建構(gòu)函數(shù)知識體系時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題。例如，在研究艾賓浩斯遺忘曲線時，從形象的圖形入手，讓學(xué)生體會曲線的變化趨勢，自主提出函數(shù)性質(zhì)相關(guān)問