2025屆內(nèi)蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．2．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是（）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC3．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．4．已知三棱柱的底面為直角三角形，側(cè)棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（）A．1 B．2 C． D．5．某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為（）A．640 B．520 C．280 D．2406．在中，，點(diǎn)P是直線BN上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．2 B． C． D．7．直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若．則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A．0 B．1 C． D．9．甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線為甲的折線圖），則以下說法錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B．甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大C．甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大D．甲打靶的成績(jī)比乙的更穩(wěn)定10．已知向量a→=（2，0），|b→|＝1，a→?A．2π3 B．π3 C．π二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________．13．函數(shù)的定義域記作集合，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)，，，），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則事件“”的概率為________.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則________.15．己知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，則______.16．已知，則三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1.（1）求直線的方程；（2）若直線與直線:的交點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍.18．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校在一次考試中隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，繪制了如圖所示頻率分布直方圖.求：(Ⅰ)圖中m的值；(II)估計(jì)全年級(jí)本次考試的平均分；(III)若從樣本中隨機(jī)抽取分?jǐn)?shù)在[80，100]的學(xué)生兩名，求所抽取兩人至少有一人分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.20．已知,,（1）若，求；（2）求的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的x的值．21．在一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支.求（1）恰有1支一等品的概率；（2）恰有兩支一等品的概率；（3）沒有三等品的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)傾斜角為；當(dāng)時(shí)，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力.2、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定，可判斷ABC選項(xiàng)，由面面垂直的判定可判斷D.【詳解】對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質(zhì)可知，且，則平面PAC.所以A正確；對(duì)于B，由A可知，由題意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對(duì)于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面平面PBC.所以D正確；綜上可知，C為錯(cuò)誤選項(xiàng).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)及判定，面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角公式化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角公式對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．4、D【解析】

先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內(nèi)接于球，∴棱柱各側(cè)面均為平行四邊形且內(nèi)接于圓，所以棱柱的側(cè)棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設(shè)底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)長方體，則直三棱柱與長方體有同一個(gè)外接球，所以球的半徑為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計(jì)算和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率，由此能求出獲得復(fù)賽資格的人數(shù)．【詳解】初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為：0.1×800＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，通過，把用和表示出來，即可得到的值.【詳解】在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量加法法則的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

可通過將弦長轉(zhuǎn)化為弦心距問題，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和勾股定理進(jìn)行求解【詳解】如圖所示，設(shè)弦中點(diǎn)為D，圓心C(3,2),弦心距，又，由勾股定理可得，答案選A【點(diǎn)睛】圓與直線的位置關(guān)系解題思路常從兩點(diǎn)入手：弦心距、勾股定理。處理過程中，直線需化成一般式8、B【解析】

根據(jù)兩直線的平行關(guān)系，列出方程，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行，所以；由兩條直線平行可得：，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程分別為：，，顯然平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為，，很顯然兩條直線重合，不合題意，舍去，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的條件，準(zhǔn)去計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)為8，眾數(shù)為8；乙：4,6,8,7,10,10，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)7.5，眾數(shù)為10；所以可知錯(cuò)誤的是C。故選C。10、A【解析】

直接利用向量夾角公式得到答案.【詳解】解：向量a→=（2，0），|b→|＝1，a可得cos＜a→則a→與b的夾角為：2π故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的求法，是基本知識(shí)的考查．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，考查了空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.12、17【解析】

根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，所以，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，遞推法求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】要使函數(shù)有意義，則且，即且，即，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則，則事件“”的概率為.14、【解析】

根據(jù)奇偶性，先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.15、-1【解析】

由等差數(shù)列的結(jié)合，代入計(jì)算即可.【詳解】己知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，所以，得，由等差中項(xiàng)得，所以.故答案為-1【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、28【解析】試題分析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，把等價(jià)轉(zhuǎn)化為所以,然后求得a值.考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由條件利用用點(diǎn)斜式求直線的方程．（2）聯(lián)立方程組求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)在第二象限，求得的取值范圍．【詳解】解：（1）由直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．（2）由，解得，故直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．交點(diǎn)在第二象限，故有，解得，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），n∈N+；（2）【解析】

（1）設(shè)公比為q，q>0，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程即可得到所求；（2），再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【詳解】(1)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，q>0，，.即,，解得,可得，n∈N+；(2)，前n項(xiàng)和，由(1)可得a1=2,，即有.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，數(shù)列求和的常用方法有:分組求和,錯(cuò)位相減求和,倒序相加求和等，本題解題關(guān)鍵是裂項(xiàng)的形式，本題屬于中等題.19、(I)0.045;(II)75;(III)0.7【解析】

(Ⅰ)根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；(II)每組的中間值乘以該組頻率，再求和，即可得出結(jié)果；(III)用列舉法列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個(gè)數(shù)比即為所求的概率.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：(Ⅱ)各組的頻率分別為0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估計(jì)全年級(jí)的平均分為；(Ⅲ)分?jǐn)?shù)落在[80，90)的人數(shù)有3人，設(shè)為a，b，c，落在[90，100的人數(shù)有2人，設(shè)為A、B，則從中隨機(jī)抽取兩名的結(jié)果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10種，其中至少有一人不低于90分的有7種，故概率為0.7.【點(diǎn)睛】本題主要考查由頻率分布直方圖求參數(shù)，以及求均值的問題，同時(shí)考查古典概型的問題，熟記古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，屬于常考題型.20、（Ⅰ）（II）1,此時(shí)【解析】

（Ⅰ）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用平行公式求出tanx的值；（Ⅱ）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用模長公式和三角函數(shù)求出最大值．【詳解】解：（Ⅰ）計(jì)算-=（3，4），由∥（-）得4cosx-3sinx=0，∴tanx==；（Ⅱ）+=（cosx+1，sinx），∴=（cosx+1）1+sin1x=1+1cosx，|+|=，當(dāng)cosx=1，即x=1kπ，k∈Z時(shí)，|+|取得最大值