2024年瀝青混凝土永久變形的鑒定與模擬

第頁(yè)2024年瀝青混凝土永久變形的鑒定與模擬摘要:文章研究了在重復(fù)荷載作用下瀝青混凝土的累積永久變形,并提出一種新型多維非線性、超彈性、非相關(guān)塑性模型。利用預(yù)示校正算法來(lái)求解描述模型的等式,模型結(jié)果與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較,這是非常有利的。一種很明顯的結(jié)果,從一種應(yīng)力水平下的試驗(yàn)中獲得的模型參數(shù)可以精確推測(cè)出另外一種應(yīng)力水平下的試驗(yàn)結(jié)果。

關(guān)鍵詞:瀝青混凝土;永久變形;鑒定與模擬

中圖分類號(hào):TU528.42文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1000-8136(2024)11-0043-06

瀝青混凝土路面主要有3種破壞機(jī)理:車轍、疲勞裂縫和熱裂縫。一般地,用于表征永久變形的破壞機(jī)理即車轍,是路面破壞中最嚴(yán)重的破壞現(xiàn)象。盡管車轍不是一種較精確的科學(xué)術(shù)語(yǔ),不能表征路面變形的性質(zhì),但文章之所以論述車轍是因?yàn)槠涫転r青協(xié)會(huì)的廣泛重視。

在重復(fù)荷載作用下的瀝青混凝土累積永久變形現(xiàn)象具有實(shí)際重要性。在路面縱向上產(chǎn)生一些向外推擠的凹槽,這時(shí)車轍(有時(shí)稱凹槽)很明顯。這種變形方式導(dǎo)致路面排水能力降低,造成水損壞,進(jìn)一步使輪跡下方結(jié)構(gòu)層厚度減少,致使路面易發(fā)生疲勞破壞。同時(shí),由于凹槽內(nèi)的路面積水,必須考慮行車安全。

路面車轍隨交通荷載的增加而逐步累積。雖然路基本質(zhì)上可能對(duì)車轍有一定的影響,但本文關(guān)注的是永久變形最為明顯的來(lái)源,例如瀝青混凝土層的變形。為得到路基對(duì)路面車轍貢獻(xiàn)問(wèn)題的分析結(jié)果及具體數(shù)字大小結(jié)果,需模擬分析土基瀝青層結(jié)構(gòu),如采用有限元法。分析的關(guān)鍵在于瀝青混凝土層的本質(zhì)特征及模擬。

1瀝青混凝土層的本質(zhì)特征及模擬

第一種較明顯的瀝青混凝土層車轍模型是輪胎壓力作用下的路面壓密變形(壓實(shí))。該模型中,材料不發(fā)生側(cè)向移動(dòng)。物理上,車輪壓力下,該模型可視為瀝青混凝土層孔隙的減小,隨之由于路面的剪切變形而產(chǎn)生車轍。變形使路面材料從車輪下方側(cè)向移動(dòng)并推擠到輪跡邊緣,可以在車轍附近清楚的觀察到材料隆起現(xiàn)象。對(duì)于壓實(shí)良好的路面,剪切變形成為首要的車轍機(jī)理,因?yàn)檩嗃E下方的路面壓密變形不是主要因素。

過(guò)去40年,瀝青路面的許多理論研究都致力于模擬材料的黏彈性,現(xiàn)在還有大量研究工作主要關(guān)注疲勞裂縫的分析和模擬。瀝青混合料的疲勞分析需要精確評(píng)定在每個(gè)加載至卸載周期內(nèi)材料散失的能量,其中,瀝青混凝土的黏彈性模型在此具有重要的作用。另外,疲勞破壞與勁度的降低有關(guān),很明顯,勁度降低50%就認(rèn)為材料已經(jīng)破壞了。

然而有關(guān)模擬瀝青路面永久變形的研究很少,例如由重復(fù)荷載作用引起的疲勞裂縫、車轍等,這是由輪載下材料的流變及隨之產(chǎn)生的永久變形而發(fā)生的?，F(xiàn)已推薦并廣泛采用了一種經(jīng)驗(yàn)理論公式,與荷載周期下的永久變形演化形式非常相似。Sousa模型(廣義Maxwell模型)以黏彈性和破壞為基礎(chǔ),當(dāng)荷載作用超出幾百個(gè)周期時(shí),不能獲得重復(fù)荷載作用下的永久變形累積形式;其他模型都采用經(jīng)典塑性理論,不能反映棘輪效應(yīng),也就是在恒定應(yīng)力幅度下隨荷載周期數(shù)增加的而產(chǎn)生的累積永久變形。這些模型是唯象理論(塑性)和與試驗(yàn)相似的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系的結(jié)合,即塑性模型用于計(jì)算第一個(gè)荷載周期末的永久應(yīng)變,隨之,假設(shè)出一種永久應(yīng)變與對(duì)數(shù)曲線(模擬觀察得到的試驗(yàn)結(jié)果,見(jiàn)后文所述)上的周期數(shù)之間的線性關(guān)系式,來(lái)計(jì)算在任意荷載周期下產(chǎn)生的永久應(yīng)變。Olsson(2000)利用有限元項(xiàng)目ABAQUS分析路面結(jié)構(gòu)的車轍。一種經(jīng)典Drucker-Prager類塑性模型,與一種簡(jiǎn)單蠕變規(guī)律相結(jié)合,用于模擬瀝青混凝土,但沒(méi)有材料模型與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果之間的定量比較。

由于瀝青混凝土具有典型的黏彈性性質(zhì),許多研究利用廣義Maxwell類模型來(lái)達(dá)到模擬永久變形的目的。Maxwell類模型與廣義Kelvin類黏彈性模型相反,它可以描述在一個(gè)荷載-無(wú)荷載周期內(nèi)的永久變形,但由黏彈性理論并不能得到永久變形的大小和演變趨勢(shì)。

本文中的瀝青混凝土永久變形模型是以塑性理論為基礎(chǔ)。廣義塑性理論的一個(gè)關(guān)鍵特征是從某一應(yīng)力狀態(tài)卸載然后再加載,永久變形會(huì)從低于卸載應(yīng)力狀態(tài)的某一狀態(tài)開(kāi)始累積,這是與經(jīng)典塑性理論之間的重要區(qū)別,使得預(yù)測(cè)永久應(yīng)變的累積大小隨加載周期數(shù)而增加。這是瀝青混凝土在重復(fù)加載和卸載時(shí)的典型力學(xué)行為,將在接下來(lái)繼續(xù)討論。

2瀝青混凝土混合料性能

以下是瀝青混凝土混合料的幾點(diǎn)主要性能:①剪切荷載作用下混合料發(fā)生膨脹,結(jié)果使豎向受限試件在橫向荷載作用下產(chǎn)生豎向應(yīng)力;②加載周期末產(chǎn)生殘余變形。

另外,在重復(fù)剪切荷載作用下,隨加載周期數(shù)增加而產(chǎn)生的永久變形累積在對(duì)數(shù)曲線上服從一種近似線性的力學(xué)行為。很多瀝青混凝土混合料都有這種情況,而且它表明,在線性曲線上,永久變形的累積大小與加載周期數(shù)的降低率之間符合多項(xiàng)式關(guān)系。這種力學(xué)行為對(duì)于在不同荷載狀態(tài)下的瀝青質(zhì)及粒料較常見(jiàn),它表明,隨加載周期數(shù)的增加,材料越不易產(chǎn)生永久應(yīng)變,也就是說(shuō),材料發(fā)生硬化,抵抗永久變形的進(jìn)一步累積。

以上提到的第一種性能,即在剪切荷載作用下瀝青材料發(fā)生膨脹的性能(多項(xiàng)式關(guān)系),與這種力學(xué)行為密切相關(guān)。粒料也有這種性能,當(dāng)粒料相互滾動(dòng)時(shí)同樣也會(huì)發(fā)生膨脹。瀝青材料的膨脹在一定程度上受其周圍材料的限制,使得混合料產(chǎn)生豎向應(yīng)力,這時(shí)的混合料極其可能膨脹而產(chǎn)生較大豎向應(yīng)力,而不易產(chǎn)生永久剪切變形從而導(dǎo)致車轍。該結(jié)論可視為集料的聯(lián)鎖力學(xué)行為,為控制瀝青混凝土混合料的車轍提供了穩(wěn)定的機(jī)理。如果塑性理論用于模擬瀝青混凝土,那么當(dāng)建立表面加載公式時(shí)需考慮這個(gè)因素。

這種聯(lián)鎖力學(xué)行為是在恒定高度下進(jìn)行重復(fù)簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)即RSST-CH中得到的,此力學(xué)行為也是為什么能成功辨別混合料將產(chǎn)生車轍的原因。RSST-CH試驗(yàn)被廣泛采用為一種可靠的試驗(yàn)來(lái)辨別混合料產(chǎn)生車轍的傾向。試驗(yàn)采用直徑15cm,高5cm的柱狀試件。當(dāng)一個(gè)橫向驅(qū)動(dòng)器來(lái)施加橫向荷載時(shí),保持試件高度不變,利用保持試件高度不變來(lái)模擬抵抗周圍材料的膨脹作用。驅(qū)動(dòng)器以0.6s的間歇時(shí)間循環(huán)施加橫向荷載,形成一個(gè)荷載周期T為0.1s的半正弦函數(shù)。下面將繼續(xù)討論文章的模型發(fā)展所要重要考慮的內(nèi)容。

3模型的考慮因素

文章所提出的本構(gòu)模型結(jié)合了前面所討論的原理,用廣義塑性理論分析了隨荷載周期數(shù)而增長(zhǎng)的永久變形演變方式,所以該模型不是經(jīng)過(guò)調(diào)整與試驗(yàn)結(jié)果匹配的經(jīng)驗(yàn)公式而得到的,但這些經(jīng)驗(yàn)公式以不可逆熱力學(xué)理論為基礎(chǔ),能代表在多向應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)下的材料力學(xué)行為。此本構(gòu)模型由一個(gè)彈性元系列和一個(gè)塑性元組成,在已構(gòu)建的模型中,彈性公式表達(dá)了彈性應(yīng)變張量和應(yīng)力張量之間的相互關(guān)系。

模型的彈性元為三級(jí)超彈性,即應(yīng)力與應(yīng)變呈三次多項(xiàng)式關(guān)系。模型可以得到在剪切荷載作用下混合料的壓縮應(yīng)力發(fā)展情況,這在RSST-CH試驗(yàn)中也非常明顯,試驗(yàn)記錄了法向力的演變情況,軸向力從試驗(yàn)的最初一個(gè)周期開(kāi)始演變,演變過(guò)程中無(wú)永久剪切應(yīng)變。因此本文在模型的超彈性元中引入了聯(lián)結(jié)力學(xué)行為。如果利用塑性理論,通過(guò)塑性應(yīng)變的演變過(guò)程來(lái)模擬材料膨脹,將會(huì)產(chǎn)生法向永久應(yīng)變。如果產(chǎn)生了法向永久應(yīng)變,在試驗(yàn)的加載周期末,為了保持試件高度恒定,法向壓縮彈性應(yīng)變將可能發(fā)生疊加效應(yīng)。這種應(yīng)變本身表現(xiàn)為一種法向壓縮應(yīng)變,會(huì)隨加載周期數(shù)而增加。后文將提出塑性模型,繼續(xù)詳細(xì)討論這個(gè)結(jié)論。

模型的塑性元以廣義塑性理論為基礎(chǔ),描述了變形的不可恢復(fù)部分,特別是混合料的棘輪力學(xué)效應(yīng)(隨加載周期數(shù)而增加的永久變形累積)。

4彈性模型

超彈性材料是一種應(yīng)變張量ij的標(biāo)量式,為應(yīng)變能量方程式,如下:

=(ij)(1)

它與應(yīng)力的潛在關(guān)系為:

ij=(2)

超彈性以熱力學(xué)為基礎(chǔ)。為了模擬瀝青混凝土的彈性力學(xué)行為,提出了一種三級(jí)超彈性模型,即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式中應(yīng)力為應(yīng)變部分的三次方,因此,應(yīng)變不變量在應(yīng)變能量方程式中為四次方。簡(jiǎn)單的一次方彈性(即線性彈性)模型不能獲得混合料在剪切荷載作用下的膨脹行為。應(yīng)變能量方程式建立如下:

=a1I+a2I2+a3I+a4I1I2+a5I3+a6I+a7I+a8I1I3+a9II2(3)

其中的三項(xiàng)應(yīng)變不變量為:

I1=tr()ij

I2=tr(2)=ijij

I3=tr(3)=ikkmmi

應(yīng)變部分之所以是一種多項(xiàng)式形式,是因?yàn)樗暮?jiǎn)單性和完整性,此多項(xiàng)式的有效性將由模擬超彈性和完整模型的試驗(yàn)結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)。

由連鎖規(guī)則得到應(yīng)力張量為:

ij=()+()+()

在式子中加入一些簡(jiǎn)單代數(shù),得到:

ij=[2a1I1+3a3I21+a4I2+4a6I31+a8I3+2a9I1I2]ij+[a2+a4I1+2a7I2+a9I21]ij+[a5+a8I1]mimj(4)

5材料參數(shù)的鑒定

三級(jí)超彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系包括了9種材料參數(shù),即a1~a9。本文利用最優(yōu)化非線性方案來(lái)獲取超彈性材料參數(shù),其中利用本質(zhì)關(guān)系和試驗(yàn)結(jié)果建立了一個(gè)最小二乘方等式。試驗(yàn)中還進(jìn)行了單軸應(yīng)變壓縮、體積壓縮和簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn),這些試驗(yàn)在低應(yīng)變水平下進(jìn)行,以此將塑性效應(yīng)最小化,并在溫度較低(4℃)時(shí)進(jìn)行試驗(yàn),將黏滯作用最小化。由于試驗(yàn)中沒(méi)有卸載,故假設(shè)所測(cè)得的應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變。

5.1單軸應(yīng)變壓縮試驗(yàn)

這個(gè)試驗(yàn)中,試件周長(zhǎng)保持不變時(shí)的應(yīng)力為軸向應(yīng)力。由于這種配置使試件產(chǎn)生側(cè)限應(yīng)力,進(jìn)而產(chǎn)生單軸應(yīng)變狀態(tài)。該試驗(yàn)的應(yīng)變張量為:

=(5)

因此可得到:

I1+11+22+33=0(6)

I2=[+++2+2+2]=(7)

I3=[+++311+311+322+333+322+333+6121323]=(8)

根據(jù)等式(4)得到:

11=(2a1+a2)0+(3a3+a4+a5)+(4a6+a7+a8+2a9)(9)

5.2體積壓縮試驗(yàn)

試驗(yàn)的應(yīng)變狀態(tài)為:

=(10)

從而:I1=3(11)

I2=(12)

I3=(13)

再根據(jù)等式(4)得到:

11=(6a1+a2)+(27a3+a4+a5)+(108a6+3a7+4a8+18a9)(14)

5.3簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)

簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)與重復(fù)簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)(RSSR-CH)相似,其應(yīng)變狀態(tài)為:

=(15)

因此:

I1=0(16)

I2=(17)

I3=0(18)

由等式(4)得到的剪切應(yīng)力為:

12=a2+2a7(19)

法向應(yīng)力為:

11=(a4+a5)(20)

建立最小二乘方程式為:

f=(-)uniaxial+(-)2volumetric+(-)shear(21)

其中,N1,N2和N3分別為單軸試驗(yàn)、體積試驗(yàn)和剪切試驗(yàn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量。為第i個(gè)由彈性模型的應(yīng)力得到的數(shù)據(jù)點(diǎn),為第i個(gè)由彈性模型的應(yīng)力得到的數(shù)據(jù)點(diǎn),3個(gè)試驗(yàn)同步擬合,從而得到一系列獨(dú)特的參數(shù)。采用同步擬合的方法,是因?yàn)?個(gè)試驗(yàn)的試驗(yàn)參數(shù)貢獻(xiàn)不一致,例如,簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)中,剪切應(yīng)力僅僅取決于參數(shù)2和7。如果能得到一系列獨(dú)特的參數(shù),對(duì)相同材料進(jìn)行試驗(yàn),模型就可以成功用于預(yù)測(cè)試驗(yàn)結(jié)果。后文中,將進(jìn)行聯(lián)合模型的模擬,從其中一個(gè)試驗(yàn)中獲得的參數(shù)可以正確預(yù)測(cè)得到其他試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果。

通過(guò)使用MATLAB最優(yōu)化工具來(lái)將最小二乘等式最小化,得到的參數(shù)值大小見(jiàn)表1。

圖1~圖3為分別利用單軸壓縮試驗(yàn),體積壓縮試驗(yàn)和剪切試驗(yàn)的試驗(yàn)參數(shù)將Sousa(1994)的試驗(yàn)結(jié)果和模型模擬結(jié)果進(jìn)行比較的情況。各圖中,試驗(yàn)結(jié)果與模型結(jié)果都非常一致;圖4為剪切試驗(yàn)的軸向應(yīng)力模型預(yù)測(cè)結(jié)果及剪切應(yīng)變圖。

這一系列試驗(yàn)都沒(méi)有得到圖中有關(guān)這些變差的試驗(yàn)結(jié)果,但不管怎樣,圖形還是表示出了模型模擬連鎖現(xiàn)象和膨脹性的能力。

6塑性模型

經(jīng)典塑性理論模型無(wú)法預(yù)估隨著荷載循環(huán)次數(shù)增加,亦即荷載重復(fù)作用達(dá)到一定的應(yīng)力水平而導(dǎo)致的永久變形累積。因此,這些模型不能預(yù)估前文討論的棘輪力學(xué)行為;廣義塑性可以用于這一目的。在這種理論中,材料達(dá)到卸載開(kāi)始的狀態(tài)之前,重復(fù)加載和塑性應(yīng)變就開(kāi)始累積。這一理論作為一種特殊的情況,包括了傳統(tǒng)和經(jīng)典的塑性理論。這是一種基于熱力學(xué)內(nèi)部變量的局部理論。

廣義塑性基于帶有內(nèi)部變量的非彈性理論所共有的一個(gè)基本假定,即通過(guò)控制變量(盡管混合控制是可能的,但是還是比較典型的溫度和應(yīng)力應(yīng)變部分)及數(shù)量有限的內(nèi)部變量來(lái)確定局部熱力學(xué)狀態(tài)。此外,因?yàn)檫@是一種與速率無(wú)關(guān)的理論,由內(nèi)部變量導(dǎo)出的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系不依賴于速率。

廣義塑性理論和經(jīng)典塑性理論的區(qū)別在于引入了有別于屈服平面的加載平面概念。此外,盡管屈服平面仍然存在,但是在廣義屬性中,并不需要一個(gè)屈服平面。加載平面可以定義為彈塑性材料彈性范圍的邊界。通過(guò)應(yīng)力(或者在應(yīng)變控制下的應(yīng)變)張量和內(nèi)部變量可以確定彈性范圍,并且將其定義為由目前的應(yīng)力點(diǎn)能夠彈性的達(dá)到的應(yīng)力所組成的區(qū)域。經(jīng)典塑性是一種特例,其彈性范圍僅僅依賴于內(nèi)部變量。屈服平面可以定義為應(yīng)力空間中某一區(qū)域的邊界,在該區(qū)域中,卸載后的加載和再加載僅僅會(huì)產(chǎn)生彈性應(yīng)變,這一區(qū)域稱之為彈性域并且是彈性范圍的一個(gè)子集。如果在目前的應(yīng)力點(diǎn)下,有可能出現(xiàn)塑性變形,那么這個(gè)點(diǎn)就應(yīng)該在加載平面上,并且應(yīng)該在屈服平面上或在屈服平面以外。如果從屈服平面以外的點(diǎn)到屈服平面上或其以外的點(diǎn)發(fā)生彈性卸載,那么在再加載時(shí)就會(huì)立即出現(xiàn)塑性變形。最后,如果內(nèi)部變量保持恒定,這一過(guò)程就可以定義為彈性的。

6.1加載平面

從上文的討論可見(jiàn),加載平面是廣義塑性概念的核心,并且這一理論模擬實(shí)際材料行為的能力主要依賴于對(duì)加載平面的選擇。本文研究中,基于以下考慮提出了模擬瀝青混合料的平面形式。瀝青及其黏結(jié)在一起的集料組成了瀝青混合料。由于集料的存在,瀝青混合料的行為在很多方面與砂土等顆粒類材料相似,其中之一就是兩種材料都會(huì)在剪切荷載的作用下發(fā)生膨脹。因此,這里提出的加載平面的形式類似于Vermeer為砂土建立的屈服平面。但是,必須注意到,這里的塑性模型是基于廣義塑性理論,而Vermeer模型是基于經(jīng)典塑性理論。加載平面的表達(dá)式如下:

f=IⅡ+Ⅲ-Hk(22)

其中,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ為應(yīng)力張量的不變量,定義為

Ⅰ=tr()

Ⅱ=(∶-I2)

Ⅲ=det()(23)

其中,指出了雙重收縮,例如∶=ijij,i,j=1,2,3及其總和;H為各向同性硬化參數(shù);k為各向同性硬化變量;α為參數(shù)。路面中的重復(fù)試驗(yàn)以一種方向模擬交通條件,也就是說(shuō),路面交通朝向一個(gè)方向行駛。因此,僅僅考慮各向同性硬化就足夠了。如果要模擬雙向交通,那么在模型中就必須包括運(yùn)動(dòng)硬化。

6.2流動(dòng)法則

由于在非線性非彈性理論的演化方程中經(jīng)常采用先驗(yàn)的方式,Lubliner根據(jù)元素集理論和拓?fù)淅碚撎岢隽藦V義塑性理論的流動(dòng)法則和內(nèi)部變量演化方程式。流動(dòng)法則如下:

i=h(,i,)(v∶)(24)

其中,εi表示非彈性(這里就是塑性)應(yīng)變;σ為應(yīng)力張量;ξ為內(nèi)部變量張量;λ為塑性流動(dòng)方向;h強(qiáng)化了塑性狀態(tài)的定義性,因此,在塑性狀態(tài)下必須為正值,在彈性狀態(tài)下為0;v為加載平面上的法向張量;上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo);麥考利括號(hào)定義如下:

(x)=0,x≤0x,x>0(25)

對(duì)于λ=v時(shí)的關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,塑性流動(dòng)方程式為:

i=h(v∶)(26)

關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則在預(yù)估顆粒類材料過(guò)高的塑性膨脹時(shí)有一些缺陷。此外,從等式(22)和(23)可見(jiàn),對(duì)于簡(jiǎn)單剪切試驗(yàn)中的瀝青混合料,關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則只能余個(gè)法向塑性應(yīng)變。由于試件的高度保持恒定,需要在塑性應(yīng)變中加入額外的彈性應(yīng)變,從而使加載循環(huán)末期的總法向應(yīng)變?yōu)?;這也就意味著,需要對(duì)試件施加法向壓力。但是,很明顯,在試驗(yàn)中并沒(méi)有這樣的殘余壓力。根據(jù)上述解釋,尤其是不能預(yù)估法向塑性應(yīng)變的缺點(diǎn),對(duì)瀝青混合料提出了非關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。在這種情況下,潛在的塑性與加載方程和λ=μ的情況有所不同,其中μ為潛在塑性函數(shù)g的梯度,這里假定為vonMises類:

g=(27)

那么非彈性應(yīng)變速率為:

i=h(v∶)(28)

帶入等式27中的g有:

i=h(v∶)(29)

最后,根據(jù)重復(fù)加載下觀測(cè)得到的永久剪應(yīng)變的演化情況選擇h的形式,流動(dòng)法則的最終形式為:

i=(v∶)(30)

其中,β為應(yīng)力維數(shù)參數(shù);x,l,m為3個(gè)其他參數(shù)。

6.3硬化法則

在廣義塑性理論中,內(nèi)部變量的演化方式如下:

=h(,i,)(v∶)(31)

這里,h采用與流動(dòng)法則中相同的形式,從而無(wú)需引入其他參數(shù);在廣義塑性理論的框架中,不排除流動(dòng)法則和硬化法則有相同的形式。硬化變量的演化等式為:

(v∶)(32)

其中,所有字母與流動(dòng)法則中的意義相同。

通過(guò)將應(yīng)變分解為彈性和非彈性(這里為塑性)部分,前述模型方程可以更改為:

=el+i(33)

其中,彈性部分由三階超彈性模型控制,非彈性部分由塑性模型控制。這種分解過(guò)程中采用了小應(yīng)變假設(shè)。提出的模型是一個(gè)完全的非線性材料模型(即,由非線性模型控制彈性應(yīng)變和非彈性應(yīng)變)但同時(shí)也是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)的線性模型。通過(guò)試驗(yàn)中觀察得到的應(yīng)變大小,可以判別這一結(jié)論,見(jiàn)圖5。由于多次加載循環(huán)后的永久應(yīng)變,路面中可以發(fā)現(xiàn)明顯的車轍現(xiàn)象。

7數(shù)值實(shí)現(xiàn)

應(yīng)用非線性方程組的數(shù)值解可以實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的模擬和實(shí)現(xiàn)。目前在計(jì)算中出現(xiàn)的主要問(wèn)題為:使[0,T]成為有意義的時(shí)間區(qū)間。當(dāng)時(shí)間tn在區(qū)間[0,T]時(shí),假定總應(yīng)變張量εn,塑性應(yīng)變部分εni以及硬化變量kn已知。那么確定彈性應(yīng)變張量為:

=n-n(34)

使u為時(shí)段{tn,tn+1}的位移增量?；镜挠?jì)算問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)楂@取與塑性本構(gòu)方程式的形式一致的tn+1。這一問(wèn)題是應(yīng)變驅(qū)動(dòng)的,總的應(yīng)變張量按照下式變化:

n+1=n+su(35)

其中,s(.)=[(.)+T(.)]

使用無(wú)條件穩(wěn)定的且為一階準(zhǔn)確的向后歐拉準(zhǔn)則,可以即時(shí)離散化內(nèi)部變量的演化方程。得到的方程組如下:

=+(vn+1∶(n+1-n))(36)

k=kn+(vn+1∶(n+1-n))(37)

前面的方程組必須依據(jù)加載-卸載標(biāo)準(zhǔn)求解。這里,廣義塑性理論的結(jié)構(gòu)與經(jīng)典塑性理論相比,具有計(jì)算方面的優(yōu)勢(shì)。這種優(yōu)勢(shì)源于未使用屈服表面及協(xié)調(diào)條件。經(jīng)典塑性理論中的演化方程式定義了一個(gè)單方面約束的演化問(wèn)題,與此不同,廣義塑性理論中的演化方程定義了一個(gè)普通微分方程系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)并不受到一致條件強(qiáng)化的約束。對(duì)這一方程組的求解,可以采用Panoskaltsis等提出的步驟。

加載-卸載算法的標(biāo)準(zhǔn)如下所示:

如果fn+1≤0,就處于彈性狀態(tài);

如果fn+1>0,就處于塑性狀態(tài)。

此外,

如果vn+1:(σn+1-σn)0,為塑性加載;

通過(guò)預(yù)測(cè)-校正算法,可以求解離散的方程組。

7.1預(yù)測(cè)階段

凍結(jié)內(nèi)部變量,則該問(wèn)題可以視為彈性的。那么,可以得到如下的試驗(yàn)關(guān)系式:

=,k=kn,=-

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,可以計(jì)算σ和v,然后就可以計(jì)算f和v∶(σ-σ)的大小。如果該值小于或等于0,可以接受這一試驗(yàn)狀態(tài)而進(jìn)入下一個(gè)時(shí)段;如果兩個(gè)數(shù)值都為正值,則內(nèi)部變量必須進(jìn)行更新,從而進(jìn)入校正階段。

7.2校正階段

經(jīng)典的彈塑性案例中,算法的校正階段包括了一個(gè)朝向屈服平面的松弛過(guò)程,這一過(guò)程不斷演化,即稱之為返回映射的過(guò)程,與此不同,在廣義塑性案例中,校正階段包括了對(duì)等式(36)和(37)的直接求解過(guò)程。利用相應(yīng)的算法,將麥考利括號(hào)帶入到這些等式中。利用多維的Newton-Raphson法則,可以求解這一方程組。

校正階段變量的初值是試驗(yàn)中求解的數(shù)值。這樣有,

=,k=kn,σ=σ

其中,括號(hào)中的上標(biāo)表示迭代次數(shù)。

算法采用了Newton-Raphson法則來(lái)求解時(shí)間tn+1時(shí)塑性方程的最終應(yīng)力,時(shí)間tn+1時(shí)的各向同性硬化變量值以及時(shí)間tn+1時(shí)的非彈性應(yīng)變值。

非線性方程(k)迭代的殘值為:

R=--(v∶(-n))(38)

S=k-k+(v∶(-n))(39)

這些等式是線性的,可以求解增量,和k,這些增量體現(xiàn)了從迭代k到迭代k+1的變化。然后將應(yīng)力,非彈性應(yīng)變以及硬化變量更新至迭代k+1。迭代過(guò)程一致持續(xù)直到殘值等式(38)和(39)小于給定的限制。隨后,接受這種求解結(jié)果,并進(jìn)入下個(gè)時(shí)間階段。

8模型模擬和預(yù)估

最終模型的參數(shù)是a1~a9以及x,l,H,α,η和m;這些參數(shù)可以通過(guò)非線性優(yōu)化過(guò)程獲得,這一過(guò)程類似于前文介紹的獲取彈性參數(shù)a1~a9的過(guò)程。優(yōu)化過(guò)程的目標(biāo)函數(shù)為:

f=(-)2(40)

式中:N:數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量;

:第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)模型預(yù)估的非彈性應(yīng)變數(shù)值;

:第j個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)值。

采用前文提出的預(yù)估-校正算法,可以計(jì)算出非彈性應(yīng)變。綜合(超彈性-塑性)模型的結(jié)果,見(jiàn)圖5。圖形表明了在兩個(gè)RSST-CH試驗(yàn)中,隨著循環(huán)次數(shù)變化永久剪切應(yīng)變演化的試驗(yàn)結(jié)果,這兩個(gè)試驗(yàn)中一個(gè)的剪應(yīng)力大小為8psi,另一個(gè)為10psi。模型能夠擬合剪應(yīng)力為8psi的試驗(yàn)結(jié)果;即可以確定等式(40)所示的目標(biāo)方程的最小值以及一系列參數(shù)。參數(shù)的數(shù)值,見(jiàn)表2。利用這些參數(shù),就可以確定剪應(yīng)力為10psi時(shí)模型的預(yù)估值。見(jiàn)圖5,對(duì)于兩種應(yīng)力大小,模型預(yù)估值和試驗(yàn)測(cè)試值之間的相關(guān)性較好。要求在不同的應(yīng)力水平下使用同樣的參數(shù)集合使本構(gòu)模型符合試驗(yàn)結(jié)果是非常重要的,因?yàn)樵谥T如路面結(jié)構(gòu)的邊界值問(wèn)題中(其中本構(gòu)模型將會(huì)用于預(yù)估路面變形),路面上不同的點(diǎn)處于不同的應(yīng)力狀態(tài)。

9結(jié)論

提出了瀝青混合料永久變形的本構(gòu)模型。瀝青路面的重要病害之一,即車轍,主要源于瀝青混合料層的永久變形,因此十分需要這種本構(gòu)模型。根據(jù)現(xiàn)有的理論,并不存在模擬和預(yù)估循環(huán)加載下永久變形的模型。過(guò)去,大量的模擬工作主要主要著眼于瀝青混合料的性能方面,而為了描述永久應(yīng)變隨著循環(huán)次數(shù)的演化,需要使用一維經(jīng)驗(yàn)公式。

提出的本構(gòu)模型包括了帶有一系列塑性模型的非線性超彈性模型,其中的塑性模型是建立在廣義塑性理論基礎(chǔ)上的。在模擬隨著加載循環(huán)次數(shù)增加而引發(fā)的永久應(yīng)變累積的過(guò)程中,與經(jīng)典塑性相比,廣義塑性結(jié)構(gòu)具有一定的優(yōu)勢(shì)。在試驗(yàn)室對(duì)瀝青混合料進(jìn)行重復(fù)加載的試驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象,通常稱之為棘輪效應(yīng)。選擇三階超彈性模型并模擬了在剪應(yīng)力作用下瀝青混合料的膨脹現(xiàn)象。塑性部分的流動(dòng)法則與阻止加載循環(huán)末期法向應(yīng)力的發(fā)展無(wú)關(guān)。

建立了求解模型方程式的數(shù)值方法。這種方法基于向后的歐拉方法以及預(yù)估-校正算法。使用NewtonRaphson迭代算法可以求解離散方程。與經(jīng)典塑性相比,在數(shù)值計(jì)算方面,建立在廣義塑性理論基礎(chǔ)上的模型具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

模型模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,對(duì)比結(jié)果之間有很好的相關(guān)性。在不同應(yīng)力水平下