考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷6（共258題）

考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷6（共9套）（共258題）考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)X1，X2，…Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記EX＝μ，DX＝σ2，DS＞0，則A、S是σ的無(wú)偏估計(jì)．B、S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)．C、是μ2的無(wú)偏估計(jì)·D、是EX2的無(wú)偏估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：從上題知S2是無(wú)偏估計(jì)，應(yīng)選(B)．進(jìn)一步分析DS＝ES2一(ES)2>0(ES)2≠ES2＝σ2ES≠σ．σ2＋μ2≠μ2，2、設(shè)是從總體X中取出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，…，Xn的樣本均值，則是μ的矩估計(jì)，如果A、X～N(μ，σ2)．B、X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．C、P{X＝m}＝μ(1一μ)m－1，m＝1，2，…D、X服從[0，μ]上均勻分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若X～N(μ，σ2)，則EX＝μ，μ的矩估計(jì)為，應(yīng)選(A)．若x服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則，μ的矩估計(jì)；對(duì)于選項(xiàng)(C)，X服從參數(shù)為μ的幾何分布，EX＝，μ＝的矩估計(jì)；對(duì)選項(xiàng)(D)，EX＝，μ＝2EX，于是μ的矩估計(jì)．3、假設(shè)總體X的方差DX＝σ2存在(σ>0)，X1，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其方差為S2，且DS＞0，則A、S是σ的矩估計(jì)量．B、S是σ的最大似然估計(jì)量．C、S是σ的無(wú)偏估計(jì)量．D、S是σ的相合(一致)估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由各選項(xiàng)中概念的定義及知，正確選項(xiàng)是(D)，這是因?yàn)棣?DX的矩估計(jì)量，因而S不是σ的矩估計(jì)量，(A)不成立；題中未對(duì)X的分布做出假設(shè)，因此σ的最大似然估計(jì)量是否存在不知，(B)不成立。如果S2是σ2的最大似然估計(jì)量，根據(jù)最大似然估計(jì)的不變性，可以斷言S是σ的最大似然估計(jì)量，選項(xiàng)(B)成立，否則選項(xiàng)(B)不成立．如果S是σ的無(wú)偏估計(jì)即ES＝σ，由此得(ES)2＝σ2，又ES2＝σ2，所以DS＝ES2一(ES)2＝0，與假設(shè)矛盾，所以(C)不成立，因此選(D)．事實(shí)上，由大數(shù)定律及依概率收斂性質(zhì)知故，即S是σ的相合估計(jì)量．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)X1，X2，…Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量，則a＝_______，b＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：樣本方差是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)，所以5、設(shè)總體X服從(a，b)上的均勻分布，X1，X2，…Xn是取自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則未知參數(shù)a，b的矩估計(jì)量為＝______．＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)6、設(shè)總體X的概率分布為其中p(01，x2，…xn是總體X的一組樣本觀(guān)測(cè)值．(I)試求參數(shù)p的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)驗(yàn)證相應(yīng)兩個(gè)估計(jì)量的無(wú)偏性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)矩估計(jì)＝p，故p的矩估計(jì)量．最大似然估計(jì)：似然函數(shù)解得p＝，故p的最大似然估計(jì)量(Ⅱ)由于，要證無(wú)偏性只要驗(yàn)證即相應(yīng)的估計(jì)量均為無(wú)偏估計(jì)量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)總體X的概率密度為f(x，α，β)＝其中α和β是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x；α，β)≥0和f(x；α，β)dx＝1，得到α≥0，β≥0且α＋β＝1.于是(I)求矩估計(jì)值．由于而(－0．5＋0．3－0．2－0．6－0．1＋0．4＋0．5－0.8)＝，令E(X)＝，解得α的矩估計(jì)值．(Ⅱ)求最大似然估計(jì)值．由于在給定的8個(gè)樣本值中，屬(一1，0)的有5個(gè)，屬[0，1)的有3個(gè)，故似然函數(shù)為令，解得α的最大似然估計(jì)值(顯然這時(shí)L(α)最大)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求θ的矩估計(jì)量，并問(wèn)這個(gè)估計(jì)量是否為無(wú)偏估計(jì)量?標(biāo)準(zhǔn)答案：記EX＝μ，DX＝σ2，則由等式，因此參數(shù)θ的矩估計(jì)量為由于樣本均值與總體X的期望相等，因此，計(jì)算可知是θ的有偏估計(jì)量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、接連不斷地、獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊，直到命中為止，假定共進(jìn)行n(n≥1)輪這樣的射擊，各輪射擊次數(shù)相應(yīng)為k1，k2，…，后，試求命中率P的最大似然估計(jì)值和矩估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X＝k}＝p(1－p)k－1，k＝1，2，…，由于EX＝，所以p的矩估計(jì)值．樣本(k21，k2，…，kn)的似然函數(shù)L為L(zhǎng)(k1，k2，…，kn；p)＝P{X1＝k1，X2＝k2，…，Xn＝kn}因此P的最大似然估計(jì)值知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)X服從[0，6]上的均勻分布，X1，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求a，b的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)χ的樣本觀(guān)測(cè)值為x1，…，xn則似然函數(shù)顯然，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i＝1，…，n}＝{b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i＝1，…，n}＝{a≤(xi，…，xn)}，所以只有當(dāng)b＝max{Xi}，a＝{Xi}時(shí)，L才達(dá)到最大值，故a，b的最大似然估計(jì)值分別為，從而可知其最大似然估計(jì)量分別是．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、已知總體X的密度函數(shù)為其中θ，β為未知參數(shù)，X1，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求θ和β的矩估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此θ與β的矩估計(jì)量分別為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)為其中α>0為已知，θ>0是未知參數(shù)，試根據(jù)來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，…Xn，求θ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，x2，…，xn是樣本X1，…，Xn的觀(guān)測(cè)值，當(dāng)Xi>0(i＝1，2，…，n)時(shí)其似然函數(shù)為因此θ的最大似然估計(jì)值為，最大似然估計(jì)量為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)某種電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì))T服從指數(shù)分布，概率密度為其中λ＞0未知．現(xiàn)從這批器件中任取n只在時(shí)刻t＝0時(shí)投入獨(dú)立壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到預(yù)定時(shí)間T0結(jié)束，此時(shí)有k(0＜k＜n)只器件失效，試求λ的最大似然估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮事件A：“試驗(yàn)直至?xí)r間T0為止，有k只器件失效，而有n—k只未失效”的概率．記T的分布函數(shù)為F(t)，即有一只器件在t＝0時(shí)投入試驗(yàn)，則在時(shí)間T0以前失效的概率為P{T≤T0}＝F(T0)：1一；而在時(shí)間T0未失效的概率為P{T>T0}＝1一F(T0)＝．由于各只器件的試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，因此事件A的概率為這就是所求的似然函數(shù)．取對(duì)數(shù)得lnL(λ)＝lnCnk＋kln(1一)＋(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估計(jì)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)總體X在區(qū)間[0，θ]上服從均勻分布，X1，X2，…Xn取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，，X(n)＝max(X1，…，Xn)．(I)求θ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)求常數(shù)a，b，使均為θ的無(wú)偏估計(jì)，并比較其有效性；(Ⅲ)應(yīng)用切比雪夫不等式證明：均為θ的一致性(相合性)估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)依題意總體X的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為令μ＝EX=，解得θ＝2μ，于是θ的矩估計(jì)量為．又樣本X1，…，Xn的似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)為θ的單調(diào)減函數(shù)，且O≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，因此θ的最小取值為max(x1，…，xn)，θ的最大似然估計(jì)量＝max(X1，…，Xn)＝X(n)．為求得b，必須求X(n)的分布函數(shù)F(n)(x)及密度函數(shù)f(n)(x)，由X(n)＝max(X1，…，Xn)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)有一批同型號(hào)產(chǎn)品，其次品率記為P．現(xiàn)有五位檢驗(yàn)員分別從中隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品，檢測(cè)后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(I)若已知P＝2．5％，求n的矩估計(jì)值；(Ⅱ)若已知n＝100，求P的極大似然估計(jì)值；(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗(yàn)員從該批產(chǎn)品中再隨機(jī)檢測(cè)100個(gè)產(chǎn)品，試用中心極限定理近似計(jì)算其次品數(shù)大于3的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：記X為n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～B(n，P)．(Ⅰ)由＝EX＝np，即＝2.5%n，得＝80.(Ⅱ)(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心極限定理知X近似服從N(2，)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、假設(shè)批量生產(chǎn)的某種配件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，今隨機(jī)抽取16個(gè)配件，測(cè)得平均內(nèi)徑＝3．05毫米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s＝0．4毫米，試求μ和σ2的90％置信區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)，由于σ2未知，關(guān)于μ的置信區(qū)間公式為其中滿(mǎn)足P{｜t(15)｜＞}＝0．1，查表可知t0.05(15)＝1．753，于是置信度為90％關(guān)于μ的置信區(qū)間為I＝(3.05－×1.753，3.05＋×1.753)＝(2.87，3.23)μ未知關(guān)于σ2的置信區(qū)間公式為其中(n一1)分別滿(mǎn)足P{χ2(n－1)≥}＝0.05，P{χ2(n－1)≥1－}＝0.95，查χ2分布上分位數(shù)表得χ0.952(15)＝7．261，χ0.052(15)＝24．996，于是置信度為90％關(guān)于σ2的置信區(qū)間為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、在測(cè)量反應(yīng)時(shí)間中假設(shè)反應(yīng)時(shí)間服從正態(tài)分布，一心理學(xué)家估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差是0．05秒．為了以95％的置信度使他對(duì)平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差不超過(guò)0．01秒，應(yīng)取的樣本容量n為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于正態(tài)總體方差已知μ的置信區(qū)間為其中滿(mǎn)足P{｜U｜≥}＝0．95，U—N(0，1)，所以＝1．96對(duì)平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差為，解不等式因此應(yīng)取的樣本容量n至少為97．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、某裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠(chǎng)家稱(chēng)低于190℃．今從一個(gè)由16臺(tái)裝置構(gòu)成的隨機(jī)樣本測(cè)得工作溫度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為195℃和8℃，根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否支持廠(chǎng)家結(jié)論?設(shè)a＝0．05，并假定工作溫度近似服從正態(tài)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一個(gè)正態(tài)總體方差未知關(guān)于期望值μ的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：μ≥μ0＝190；H1：μ<190如果能根據(jù)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)拒絕H0，就可以支持“低于190℃”的結(jié)論．選取統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)μ＝μ0時(shí)T～t(15)，這是一單邊檢驗(yàn)，其拒絕域應(yīng)為R＝{T＜－tα(15)}＝{≤μ0－tα(15)}，其中P{｜T｜＞tα(15)}＝2α，P{T＜－tα(15)}＝α，T~t(15).查表得知tα(15)＝t0.05(15)＝1．753．拒絕域?yàn)镽＝{T<一1．753}，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的值根據(jù)樣本觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)不能拒絕H0，即不能支持廠(chǎng)家所稱(chēng)“平均工作溫度低于190℃”的結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)X～N(μ，16)，Y～N(μ，25)，p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，則：A、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，有p1=p2．B、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，有p1＜p2．C、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，有p1＞p2．D、只對(duì)部分實(shí)數(shù)μ，有p1=p2．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立同分布，P(X=一1)=P(X=1)=，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，則P(Y≥1)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件，第i個(gè)零件是次品的概率為，(i=1，2，3)．設(shè)這3個(gè)零件中有X個(gè)合格品(非次品即為合格品)，則P(X=2)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)隨機(jī)變量X服從(-a,a)上的均勻分布(a＞0)，且已知P(X＞1)=，則a=_____，D(X)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、隨機(jī)變量X的密度為：且知EX=6，則常數(shù)A=______，B=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且X～N(4，5)，Y～N(一2，9)，Z～N(2，2)，則P{0≤X+Y—Z≤3}=______．(=0．7734)標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2734．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、對(duì)隨機(jī)變量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=一1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X,Y)(X．Y)=0，ρ(X,Z)=，ρ(Y,Z)=．(ρ為相關(guān)系數(shù))則E(X+Y+Z)=_______，D(X+Y+Z)=________，cov(2X+Y，3Z+X)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布列為(如表)．其中α，β未知，但已知E(Y)=，則α=______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)(X，Y)在D：|x|+|y|≤a(a＞0)上服從均勻分布，則E(X)=_____，E(Y)=_______，E(XY)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0,0,0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)11、設(shè)飛機(jī)引擎在飛行中正常運(yùn)行的概率為p，且各引擎是否正常運(yùn)行是相互獨(dú)立的．如果有至少50％的引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就能成功飛行．問(wèn)對(duì)于多大的p而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更可取?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)4引擎與2引擎飛機(jī)分別有X與Y個(gè)引擎正常工作，則X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1一(1一p)4一4p(1一p)3，P(Y≥1)=1一(1一p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜p＜1，可解得p≥．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為問(wèn)X與Y是否獨(dú)立?|X|與|Y|是否獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：關(guān)于X的邊緣密度為fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy．若|x|≥1，則fX(x)=0；若|x|＜1，則fX(x)=關(guān)于Y的邊緣密度為fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx即X與Y不獨(dú)立．而(|X|，|Y|)的分布函數(shù)為F(x，y)=P{|X|≤x，|y|≤y}當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，f(x，y)undefinedundefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z獨(dú)立，均服從指數(shù)分布，參數(shù)依次為λ1，λ2，λ3(均為正)．求P{X=min(X，Y，Z)}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、函數(shù)是否可以是某隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：令a=c=0，b=d=2，則a＜b，c＜d，但F(b．d)一F(a，d)-F(b，c)+F(a，c)=1—1-1+0=一1＜0，可見(jiàn)F(x，y)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)X～U(0，1)且X與Y獨(dú)立同分布，求的分布函數(shù)(U(0，1)表示區(qū)間(0，1)上的均勻分布)F(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，(X，Y)的概率密度為u≤0時(shí)，F(xiàn)(u)=0；u≥1時(shí)，F(xiàn)(u)=1；其中G見(jiàn)圖1中陰影部分；其中D見(jiàn)圖2中陰影部分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)區(qū)域D為：由以(0，0)，(1，1)，為頂點(diǎn)的四邊形與以為頂點(diǎn)的三角形合成．而(X，Y)在D上服從均勻分布，求關(guān)于X和Y的邊緣密度f(wàn)X(x)和fY(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易算得D1的面積為，D2的面積為故D的面積為∴(X，Y)的概率密度為∴fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，fX(x)=0；而fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx．當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，fY(y)=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求Y=1-e-2x的概率密度f(wàn)Y(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)一電路裝有3個(gè)同種電氣元件，它們工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布(λ＞0)，當(dāng)3個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則電路不能正常工作．求電路正常工作的時(shí)間T的密度f(wàn)(t).標(biāo)準(zhǔn)答案：記X1，X2，X3為這3個(gè)元件的無(wú)故障工作的時(shí)間，則T=min(X1，X2，X3)的分布函數(shù)為FT(t)=P(T≤t)=1一P{min(X1，X2，X3)＞t}=1一[P(X1＞t)]3=1-[1一P(X1≤t)]undefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)隨機(jī)變量X的密度為f(x)=一∞＜x＜+∞，求E[min(1，|X|)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且X服從[2，4]上的均勻分布，Y～N(2，16)．求cov(2X+XY，(Y-1)2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：cov(2X+XY，(Y一1)2)=cov(2X+XY，Y2一2Y+1)=cov(XY，Y2一2Y)=cov(XY，Y2)一2cov(XY，Y)=E(XY3)一E(XY)E(Y2)一2EE(XY2)一E(XY).EY]=EX.EY3-EXEYEY2-2[EXE(Y2)一EX(EY)undefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、隨機(jī)變量X可能取的值為一1，0，1．且知EX=0．1，EX2=0．9，求X的分布列．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，X的分布列可設(shè)為：且知：a+b+c=1，0．1=EX=一a+c，0．9=E(X2)=(一1)2.a+12.c=a+c．可解得a=0．4，b=0．1，c=0．5，代回分布列表達(dá)式即可．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、在△ABC中任取一點(diǎn)P，而△ABC與△ABP的面積分別記為S與S1．若已知S=12，求ES1．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AB長(zhǎng)為r，△ABC高為h，c點(diǎn)坐標(biāo)為(u，h)．設(shè)△ABC所圍區(qū)域?yàn)镚，則G的畝積=12．又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X，Y)，則隨機(jī)變量(X，Y)在G上服從均勻分布，其概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、袋中裝有黑白兩種顏色的球，黑球與白球個(gè)數(shù)之比為3：2．現(xiàn)從此袋中有放回地摸球，每次摸1個(gè)．記X為直至摸到黑、白兩種顏色都出現(xiàn)為止所需要摸的次數(shù)．求E(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知線(xiàn)段AB=4，CD=1，現(xiàn)分別獨(dú)立地在AB上任取點(diǎn)A1，在CD上任取點(diǎn)C1，作一個(gè)以AA1為底、CC1為高的三角形，設(shè)此三角形的面積為S，求P(S＜1)和D(S)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記AA1長(zhǎng)度為X，CC1長(zhǎng)度為Y，則知X與Y為二相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，分別服從區(qū)間[0，4]和[0，1]上的均勻分布，(X，Y)的概率密度為其中D={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤1}知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(一1，1)上服從均勻分布，Y=X2，求(X，Y)的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X的概率密度為：故EX=0，EX2=DY=E(Y2)一(EY)2=E(X4)一(EX2)2=，cov(X，Y)=coy(X，X2)=E(X3)-EX.EX2=0，故知(X，Y)的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=0，協(xié)方差陣為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、現(xiàn)有k個(gè)人在某大樓的一層進(jìn)入電梯，該樓共n+1層．電梯在任一層時(shí)若無(wú)人下電梯則電梯不停(以后均無(wú)人再入電梯)．現(xiàn)已知每個(gè)人在任何一層(當(dāng)然不包括第一層)下電梯是等可能的且相互獨(dú)立，求電梯停止次數(shù)的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：i=2,3,…,n+1,而為電梯停的次數(shù)，故知平均停的次數(shù)為EX=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)某種元件的壽命為隨機(jī)變量且服從指數(shù)分布．這種元件可用兩種方法制得，所得元件的平均壽命分別為100和150(小時(shí))，而成本分別為c和2c元．如果制得的元件壽命不超過(guò)200小時(shí)，則須進(jìn)行加工，費(fèi)用為100元．為使平均費(fèi)用較低，問(wèn)c取值時(shí)，用第2種方法較好?標(biāo)準(zhǔn)答案：記用第一、第二種方法制得的元件的壽命分別為X、Y，費(fèi)用分別為ξ、η，則知X、Y的概率密度分別為：∴Eξ=(c+100)P(X≤200)+c.P(X＞200)=c+100p(X≤200)，Eη=(2c+100)P(Y≤200)+2cP(Y＞200)=2c+100P(Y≤200)，于是Eη一Eξ=c+100．[P(Y≤200)一P(X≤200)]=c+100，可見(jiàn)c＜時(shí)，Eη＜Eξ，用第2種方法較好(平均費(fèi)用較低)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)做一次實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用為1000元，如果實(shí)驗(yàn)失敗，則要另外再花300元對(duì)設(shè)備調(diào)整才能進(jìn)行下一次的實(shí)驗(yàn)．設(shè)各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，成功的概率均為0．2，并假定實(shí)驗(yàn)一定要進(jìn)行到出現(xiàn)成功為止．求整個(gè)實(shí)驗(yàn)程序的平均費(fèi)用．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)需進(jìn)行X次試驗(yàn)，則所需費(fèi)用為Y=1000+300(X—1)．而P(X=k)=0．8k-1.0．2，k=1，2，…，記g(x)=于是EX=，故EY=1000+300(EX一1)=2200(元)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、現(xiàn)有獎(jiǎng)券100萬(wàn)張，其中一等獎(jiǎng)1張，獎(jiǎng)金5萬(wàn)元；二等獎(jiǎng)4張，每張獎(jiǎng)金2500元；三等獎(jiǎng)40張，每張獎(jiǎng)金250元；四等獎(jiǎng)400張，每張獎(jiǎng)金25元．而每張獎(jiǎng)券2元，試計(jì)算買(mǎi)一張獎(jiǎng)券的平均收益．標(biāo)準(zhǔn)答案：記X和ξ分別為買(mǎi)1張獎(jiǎng)券的所得的獎(jiǎng)金和凈收益(單位為元)，則ξ=X一2，而X的概率分布為：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)～N(0，1；0，1；ρ)，求Emax(X，Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2cov(X，Y)=1+1—2ρ=2(1一ρ)，∴X一Y～N(0,2(1-ρ)),知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布且DX1=σ2，令，試求相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到兩次成功為止．設(shè)X為所需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的概率分布及E(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(X=k)=P{前k一1次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)1次成功，第k次試驗(yàn)成功}=．k=2，3，…，設(shè)出現(xiàn)第1次成功時(shí)進(jìn)行了ξ次試驗(yàn)，從第1次成功(不含)到第2次成功(含)進(jìn)行了η次試驗(yàn)，則X=ξ+η，且ξ與η服從同一幾何分布：P(ξ=k)=，k=1，2，…，可算得Eξ=Eη=故EX=Eξ+Eη=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、n個(gè)小球和n個(gè)盒子均編號(hào)1，2，…，n，將n個(gè)小球隨機(jī)地投入n個(gè)盒中去，每盒投1個(gè)球．記X為小球編號(hào)與所投之盒子編號(hào)相符的個(gè)數(shù)，求E(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、在長(zhǎng)為a的線(xiàn)段AB上獨(dú)立、隨機(jī)地取兩點(diǎn)C，D，試求CD的平均長(zhǎng)度．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)AC、AD的長(zhǎng)度分別為X、Y，由題意知X與Y獨(dú)立同分布，均服從區(qū)間(0，a)上的均勻分布，故(X，Y)的概率密度為：f(x，y)=其中D={(x，y)|0＜x＜a，0＜y＜a}，而CD的長(zhǎng)度為|X—Y|，故知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn，Xn+1獨(dú)立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1一p，記：(i=1，2，…，n)．求標(biāo)準(zhǔn)答案：EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1一p)，i=1，…，n=2np(1一p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1一p)，∴DYi=E(Yi知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、對(duì)任意兩個(gè)事件A和B，若P(AB)=0，則()．A、AB=B、C、P(A)P(B)=0D、P(A—B)=P(A)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選(D)，因?yàn)镻(A—B)=P(A)一P(AB)．2、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=(a＞0，A為常數(shù))，則P｛a＜x＜a+b｝的值()．A、與b無(wú)關(guān)，且隨a的增加而增加B、與b無(wú)關(guān)，且隨a的增加而減少C、與a無(wú)關(guān)，且隨b的增加而增加D、與a無(wú)關(guān)，且隨b的增加而減少標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤遥蓿辠(x)dx=1，所以∫a＋∞Ae－xdx=1，解得A=ea．由P(a＜X＜a＋b)=∫aa＋bf(x)dx=∫aa＋beae－xdx=－eae－x｜aa＋b=1一e－b，得P(a＜X＜a+b)與a無(wú)關(guān)，且隨b的增加而增加，正確答案為(C)．3、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服從均勻分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，則()．A、p的值與a無(wú)關(guān)，且p=B、p的值與a無(wú)關(guān)，且p=C、p的值隨口值的增大而增大D、p的值隨a值的增大而減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2上服從均勻分布，4、設(shè)(X1，X2，…，Xn)(n≥2)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由，選(D)．5、總體X～N(μ，52)，則總體參數(shù)μ的置信度為1－α的置信區(qū)間的長(zhǎng)度()．A、與α無(wú)關(guān)B、隨α的增加而增加C、隨α的增大而減少D、與α有關(guān)但與α的增減性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：總體方差已知，參數(shù)μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為，其中n為樣本容量，長(zhǎng)度為越大，所以置信區(qū)間的長(zhǎng)度隨α增大而減少，選(C)．6、以下命題正確的是()．A、若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則三個(gè)事件一定相互獨(dú)立B、設(shè)P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B獨(dú)立，則A，B一定互斥C、設(shè)P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，則A，B一定獨(dú)立D、A，B既互斥又相互獨(dú)立，則P(A)=0或P(B)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)P(A)＞0，P(B)＜0時(shí)，事件A，B獨(dú)立與互斥是不相容的，即若A，B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)＞0，則A，B不互斥；若A，B互斥，則P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不獨(dú)立，又三個(gè)事件兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立，選(D)．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則下列隨機(jī)變量中服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布的是()．A、X+YB、X—YC、max｛X，Y｝D、min｛X，Y｝標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于X～E(λ)，所以密度函數(shù)為f(x)=，分布函數(shù)為事實(shí)上，min(X，Y)的分布函數(shù)為P｛min(X，Y)≤x｝=1一P｛min(X，Y)＞x｝=1一P(X＞x，Y＞x)=1一P(X>x)P(Y＞x)=1-[1-F(x)]2=二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)8、設(shè)P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，則P(A+B)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．9知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A－B)+P(B)=0．8．9、設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，則P(Y≥1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)X表示12次獨(dú)立重復(fù)射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)，每次擊中目標(biāo)的概率為0．5，則E(X2)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：39知識(shí)點(diǎn)解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．11、設(shè)X，Y相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則E｜X—Y｜=_________，D｜X—Y｜=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镋｜Z｜2=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2，所以D｜Z｜=E｜Z｜2=(E｜Z｜)2=2一．12、設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，所以P(AB)=0．2．又因?yàn)?，所?P(A)+P(B)一2P(AB)=0．8—0．4=0．4．13、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則P｛｜X－E(X)｜＜2D(X)｝=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)X1，X2，…，X100相互獨(dú)立且在區(qū)間[一1，1]上同服從均勻分布，則由中心極限定理P()≈________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．8413知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)總體X，Y相互獨(dú)立且服從N(0，9)分布，(X1，…，X9)與(Y1，…，Y9)分別為來(lái)自總體X，Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則U=～__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)，因?yàn)閅1，…，Y9相互獨(dú)立且服從N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)，因此U=～t(9)．16、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，其中參數(shù)μ，σ未知，令，則假設(shè)H0：μ=0的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在σ未知的情況下，對(duì)參數(shù)μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)選用統(tǒng)計(jì)量t=，其中．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)17、設(shè)X～N(0，1)，Y=X2，求Y的概率密度函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析袋中有10個(gè)大小相等的球，其中6個(gè)紅球4個(gè)白球，隨機(jī)抽取2個(gè)，每次取1個(gè)，定義兩個(gè)隨機(jī)變量如下：就下列兩種情況，求(X，Y)的聯(lián)合分布律：18、第一次抽取后放回；標(biāo)準(zhǔn)答案：(X，Y)的可能取值為(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、第一次抽取后不放回．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、游客乘電梯從底層到頂層觀(guān)光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的5分、25分、55分從底層上行，設(shè)一游客早上8點(diǎn)X分到達(dá)底層，且X在[0，60]上服從均勻分布，求游客等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閄～[0，60]，所以X的密度函數(shù)為f(x)=．游客等電梯時(shí)間設(shè)為T(mén)，則T=，于是E(T)=∫－∞＋∞T(x)f(x)dx=[∫05(5一x)dx+∫525(25-x)dx+∫2555(55一x)dx+∫5560(65一x)dx]=11．67(分鐘)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立同分布，且X～N(0，σ2)，再設(shè)U=aX+bY，V=aX一bY，其中a，b為不相等的常數(shù)．求：21、E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρUV；標(biāo)準(zhǔn)答案：E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX—bY)=0，D(U)=D(V)=(a2+b2)σ2．Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX—bY)=a2D(X)一b2D(Y)=(a2一b2)σ2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)U，V不相關(guān)，求常數(shù)a，b之間的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：U，V不相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、一批種子中良種占，從中任取6000粒，計(jì)算這些種子中良種所占比例與之差小于0．01的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)6000粒種子中良種個(gè)數(shù)為X，則X～B(6000，)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)事件A，B獨(dú)立．證明：事件都是獨(dú)立的事件組．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A，B獨(dú)立，得P(AB)=P(A)P(B)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=，求y=eX的概率密度f(wàn)Y(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)，當(dāng)y≤1時(shí)，X≤0，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y＞1時(shí)，X＞0，F(xiàn)Y(y)=P(eX≤y)=P(X≤lny)=∫－∞lnyfX(x)dx=∫0lnye－xdx，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1｝，且變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，令Z=．26、令U=X+Z，求U的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=，U的分布函數(shù)為F(x)=P｛U≤x｝，當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=1；當(dāng)0≤x＜1時(shí)，F(xiàn)(x)=｛X+Z≤x｝=P｛Z=0，X≤x｝=P｛X＜Y，X≤x｝=∫0xdx∫x1dy=∫0x(1一x)dx=x一；當(dāng)1≤x＜2時(shí)，F(xiàn)(x)=P｛Z=0，X≤x｝+P｛Z=1，X≤x一1｝=P｛X＜Y，X≤1｝+P｛X≥Y，X≤x一1｝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、判斷X，Z是否獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(X，Z)的分布函數(shù)為F(x，z)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且，Z=｜X—Y｜，求E(Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Yi=Xi+Xn＋i(i=1，2，…，n)，則Y1，Y2，…，Yn為正態(tài)總體N(2μ，2σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，=(n一1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統(tǒng)計(jì)量U=的數(shù)學(xué)期望為E(U)=E[(n一1)S2]=2(n一1)σ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)X1，X2為相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，則一定是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的為()A、F1(x)+F2(x)B、F1(x)－F2(x)C、F1(x)F2(x)D、F1(x)／F2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：用排除法．因?yàn)镕1(x)，F(xiàn)2(x)都是分布函數(shù)，所以故(A)不正確．故(B)不正確．對(duì)于D，由于型未定式極限，因此不能保證故(D)不正確．容易證明F1(x)F2(x)是單調(diào)不減的右連續(xù)函數(shù)，且=1，故其一定是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，所以C正確．2、已知隨機(jī)變量Xn(n=1，2，…)相互獨(dú)立且都在(－1，1)上服從均勻分布，根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理有=()A、Ф(0)B、Ф(1)C、D、Ф(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知EXn=0，由中心極限定理，對(duì)任意x有3、設(shè)P(B)＞0，A1，A2互不相容，則下列各式中不一定正確的是()A、P(A1A2｜B)=0B、P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由A1A2=，得P(A1A2)=0，于是：P(A1A2｜B)==0，A正確；P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)－P(A1A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，B正確；=1－P(A1∪A2｜B)=1－P(A1｜B)－(A2｜B)不一定等于1，C錯(cuò)誤；=1－P(A1A2｜B)=1－0=1，D正確．4、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度f(wàn)(x，y)滿(mǎn)足f(x，y)=f(－x，y)，且ρXY存在，則ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镋(XY)=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx(∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(－t，y)dt=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(t，y)dt=－∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx=－E(XY)，所以E(XY)=0．同理，EX=∫－∞+∞x[∫－∞+∞f(x，y)dy]dx=0，所以ρXY=0．類(lèi)似地，當(dāng)f(x，y)=f(x，－y)時(shí)，ρXY=0．5、設(shè)X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分別是來(lái)自正態(tài)總體N(－1，4)和N(2，5)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且相互獨(dú)立，S12，S22分別為這兩個(gè)樣本的方差，則服從F(7，9)分布的統(tǒng)計(jì)量是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由因此本題選D．6、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，若則()A、μ1＜μ2B、μ1＞μ2C、σ1＜σ2D、σ1＞σ2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，故X－Y～N(μ1－μ2，σ12+σ22)．于是P{X＞Y)=P{X－Y＞0}=1－P{X－Y≤0}可知=>μ2＞μ1．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設(shè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，三個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且它們的概率相等，則P(A∪B∪C)的最大值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P()=3P(A)－3[P(A)]2故P(A∪B∪C)的最大值為=8、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計(jì)得P{｜X～75｜≥k}≤0．05，則k=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：P{｜X－75｜≥k}=P{｜X－EX｜≥k)≤即k=10．10、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其概率密度為f(x)=ke－x2－2x－1(－∞＜x＜+∞)，則常數(shù)k=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：∫－∞+∞f(x)dx=k∫－∞+∞e－(x－1)2d(x－1)11、設(shè)隨機(jī)變量X與Y的分布律為且相關(guān)系數(shù)則(X，Y)的分布律為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)(X，Y)的分布律如下(邊緣分布律也表示于表中)則E(XY)=p11，從而有由此得所以(X，Y)的分布律為12、設(shè)總體X～N(μ，8)，X1，X2，…，X36是來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是它的均值．如果是未知參數(shù)μ的置信區(qū)間，則置信水平為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.966知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知由此得置信水平1－α=0．966．13、市場(chǎng)上某產(chǎn)品由甲、乙兩廠(chǎng)各生產(chǎn)，已知甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)的產(chǎn)品指標(biāo)分別服從分布函數(shù)F1(x)和F2(x)，現(xiàn)從市場(chǎng)上任取一件產(chǎn)品，則其指標(biāo)服從的分布函數(shù)為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：[F1(x)+F2(x)]知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)隨機(jī)變量ξ1，為甲廠(chǎng)產(chǎn)品指標(biāo)，隨機(jī)變量ξ2為乙廠(chǎng)產(chǎn)品指標(biāo)，隨機(jī)變量ξ為任取一件產(chǎn)品指標(biāo)，事件A為“所取一件產(chǎn)品屬甲廠(chǎng)生產(chǎn)”．根據(jù)全概率公式，所求分布函數(shù)為三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且每一信號(hào)燈紅綠兩種信號(hào)顯示的概率均為，以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X=0}=P{第一個(gè)路口即為紅燈}=．P{X=1)=P{第一個(gè)路口為綠燈，第二個(gè)路口為紅燈}=以此類(lèi)推，得X的分布律為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為已知EX=2，P{1＜X＜3}=求：(1)a，b，c的值；(2)隨機(jī)變量Y=ex的數(shù)學(xué)期望和方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由題意有，1=∫－∞+∞f(x)dx=∫02axdx+∫24(cx+b)dx=2a+2b+6c，2=∫－∞+∞xf(x)dx=∫02ax2dx+∫24(cx+b)xdx解方程組(2)EY=E(eX)=∫－∞+∞exf(x)dx=E(Y2)=E(e2X)=∫－∞+∞e2xf(x)dx=DY=E(Y2)－(EY)2=e2(e2－1)2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，EX=μ，DX=σ2＜+∞，求EX，DX和E(S2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意有EXi=μ，DXi=σ2，進(jìn)而有E(Xi2)=DXi+(EXi)2=σ2+μ2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、某種零件的尺寸方差為σ2=1．21，抽取一批這類(lèi)零件中的6件檢查，得尺寸數(shù)據(jù)如下(單位：毫米)：32．56，29．66，31．64，30．00，21．87，31．03，設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問(wèn)這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是32．50毫米(α=0．05)．標(biāo)準(zhǔn)答案：?jiǎn)栴}是在σ2已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=32．50．因此H0的拒絕域?yàn)椋黌｜≥zα／2，其中z0．025=1．96，故又因｜Z｜=6．77＞1．96，所以否定H0，即不能認(rèn)為平均尺寸是32．50毫米．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)事件A出現(xiàn)的概率為p=0．5，試?yán)们斜妊┓虿坏仁?，估?jì)在1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)在450到550次之間的概率α．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X是“1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)”，則X～B(1000，0．5)，EX=1000×0．5=500，DX=1000×0．52=250．利用切比雪夫不等式，知α=P{450＜X＜550{=P{｜X－500｜＜50}≥=0．9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，甲命中目標(biāo)的概率是0．6，乙命中目標(biāo)的概率是0．5，求下列事件的概率：19、從甲、乙中任選一人去射擊，若目標(biāo)被命中，則是甲命中的概率；標(biāo)準(zhǔn)答案：該隨機(jī)試驗(yàn)分為兩個(gè)階段：①選人，A甲，A乙；②射擊，B={目標(biāo)被命中}．則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、甲、乙兩人各自獨(dú)立射擊，若目標(biāo)被命中，則是甲命中的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：該隨機(jī)試驗(yàn)不分階段，記A甲={甲命中}，A乙={乙命中}，B={目標(biāo)被命中}，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、某考生想借張宇編著的《張宇高等數(shù)學(xué)18講》，決定到三個(gè)圖書(shū)館去借，對(duì)每一個(gè)圖書(shū)館而言，有無(wú)這本書(shū)的概率均為0．5；若有，能否借到的概率也均為0．5，假設(shè)這三個(gè)圖書(shū)館采購(gòu)、出借圖書(shū)相互獨(dú)立，求該生能借到此書(shū)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A={該生能借到此書(shū)}，Bi={從第i館借到}，=1，2，3．則P(B1)=P(B2)=P(B3)=P{第i館有此書(shū)且能借到}=于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及標(biāo)準(zhǔn)答案：U=X－Y的概率密度為fU(u)=∫－∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．當(dāng)u≤－1或u≥1時(shí)，fU(u)=0；當(dāng)－1＜u≤0時(shí)，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u11dy=1+u；當(dāng)0＜u＜1時(shí)，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以Z=｜X－Y｜=｜U｜的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、若隨機(jī)變量序列X1，X2，…，Xn，…，滿(mǎn)足條件試證明：{Xn}服從大數(shù)定律．標(biāo)準(zhǔn)答案：由切比雪夫不等式，對(duì)任意的ε＞0有所以對(duì)任意的ε＞0，故{Xn}服從大數(shù)定律．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自均勻分布在(0，θ)上的一個(gè)樣本，試證：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：Tn=X(n)的分布函數(shù)為T(mén)n的概率密度為fT(t)=F’T(t)=nf(t)Fn－1(t)=由切比雪夫不等式有因此可知：當(dāng)n→∞時(shí)，故Tn是θ的相合估計(jì)量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=100，今抽了一個(gè)容量為26的樣本，計(jì)算平均值為1580，問(wèn)在顯著性水平α=0．05下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值μ不低于1600．標(biāo)準(zhǔn)答案：?jiǎn)栴}是在σ2已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ≥1600；H1：μ＜1600．H0的否定域?yàn)閆＜－zα／2，其中－z0．025=1．96．因?yàn)閆=－1．02＞－1．96=－z0．025，所以接受H0，即可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值μ不低于1600．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析產(chǎn)品壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)與概率密度分別為F(x)，f(x)．產(chǎn)品已工作到時(shí)刻x，在時(shí)刻x后的單位時(shí)間△x內(nèi)發(fā)生失效的概率稱(chēng)為產(chǎn)品在時(shí)刻z的瞬時(shí)失效率，記為λ(x)．26、證明標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)某產(chǎn)品壽命的瞬時(shí)失效率函數(shù)為λ(x)=a，其中參數(shù)α＞0，求產(chǎn)品壽命X的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：將λ(x)=α代入得上式兩邊積分得∫0xαdT=∫0x{－ln[l－F(t)])’dt，αx+C=－ln[l－F(x)]，即1－F(x)=e－(αx+C)，又F(0)=P{x≤0}=0，則C=0，故F(x)=1～e－αx，即產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)1、已知P(A)=p，P(B)=q，且A與B互斥，則A與B恰有一個(gè)發(fā)生的概率為()A、p+q．B、1-p+q．C、1+p-q．D、p+q-2pq．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A與B恰有一個(gè)發(fā)生可以表示為，故其概率為，故P(AB)=0，因而=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)=p+q，故選擇A．2、設(shè)A，B相互獨(dú)立，則下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A、A與相互獨(dú)立．B、與B相互獨(dú)立．C、D、A與B一定互斥．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于A，B相互獨(dú)立，因此A與相互獨(dú)立，從而A、B、C都是正確的說(shuō)法，故選D．3、設(shè)A，B，C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，且0＜P(C)＜1，則在下列給定的四對(duì)事件中可能不相互獨(dú)立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：相互獨(dú)立的隨機(jī)事件A1，A2，…，Am中任何一部分事件，包括它們的和、差、積、逆等運(yùn)算的結(jié)果必與其他一部分事件或它們的運(yùn)算結(jié)果都是相互獨(dú)立的．所以A、C、D三對(duì)事件必為相互獨(dú)立的．當(dāng)P(C)＜1，P(AC)>O時(shí)，如果獨(dú)立，即AC與C也獨(dú)立，則有P(AC∩C)=P(AC)P(C)，P(AC)=P(AC∩C)=P(AC)P(C)．因?yàn)镻(AC)＞0，等式兩邊同除以P(AC)得P(C)=1，與題目已知條件矛盾．所以此時(shí)AC與C不獨(dú)立，選B．4、已知f1(x)，f2(x)均為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則下列函數(shù)可以作為概率密度函數(shù)的是()A、f1(x)+f2(x)．B、f1(x)f2(x)．C、2f1(x)-f2(x)．D、0．4f1(x)+0．6f2(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A選項(xiàng)，函數(shù)[f1(x)+f2(x)]dx=2，不滿(mǎn)足概率密度的規(guī)范性，排除A；B選項(xiàng)，令f1(x)=f2(x)=則f1(x)，f2(x)均為隨機(jī)變量的概率密度，而f1(x)f2(x)=不滿(mǎn)足概率密度的規(guī)范性，排除B；C選項(xiàng)，令f1(x)=則2f1(x)-f2(x)=，不滿(mǎn)足概率密度的非負(fù)性，排除C；D選項(xiàng)，首先0．4f1(x)+0．6f2(x)≥0，同時(shí)因此0．4f1(x)+0．6f2(x)可以作為隨機(jī)變量的概率密度．故選D．5、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=(-∞＜x＜+∞)，則其分布函數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因F’(x)=f(x)，而A、C不滿(mǎn)足這個(gè)條件，故排除A、C；因f(x)為連續(xù)函數(shù)，則F(x)也是連續(xù)函數(shù)，而對(duì)D，，故排除D；選擇B．6、設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}，則()A、對(duì)任何實(shí)數(shù)μ，都有p1=p2．B、對(duì)任何實(shí)數(shù)μ，都有p1＜p2．C、只對(duì)μ的個(gè)別值，有p1=p2．D、對(duì)任何實(shí)數(shù)μ，都有p1＞p2．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，則p1=P(X≤λ-4}==Ф(-1)，p2=P{Y≥μ+5}==1-Ф(1)=Ф(-1)，因此，對(duì)任何實(shí)數(shù)μ，都有p1=p2，應(yīng)選A．7、已知f1(x)，f2(x)分別是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，則f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)為某個(gè)二維隨機(jī)變量概率密度的充要條件是()A、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=1．B、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=0．C、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=1．D、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由概率密度的充要條件可知f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)≥0，且所以h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，又由，故選D．8、已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且有相同的概率分布：P{Xi=-1}=，P{Xi=1}=(i=1，2)，則()A、X1與X1X2獨(dú)立且有相同的分布．B、X1與X1X2獨(dú)立且有不相同的分布．C、X1與X1X2不獨(dú)立且有相同的分布．D、X1與X1X2不獨(dú)立且有不相同的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知X1X2可取-1，1，且P{X1X2=-1}一P{X1=-1，X2=1)+P{X1=1，X2=-1}=P(X1=-1}P{X2=1}+P{X1=1}P(X2=-1}又P{X1=-1，X1X2=-1)=P{X1=-1，X2=1}=利用邊緣概率和條件概率之間的關(guān)系，得到(X1，X1X2)的概率分布：從而X1與X1X2有相同的概率分布，且由以上概率分布可知P{X1=i，X1X2=j{=P{X1=i)P{X1X2=j}，i=-1，1，j=-1，1．所以X1與X1X2相互獨(dú)立，故應(yīng)選A．9、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關(guān)，則()A、X與Y一定獨(dú)立．B、(X，Y)服從二維正態(tài)分布．C、X與Y未必獨(dú)立．D、X+Y服從一維正態(tài)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及二維正態(tài)分布與一維正態(tài)分布之間的關(guān)系．只有(X，Y)服從二維正態(tài)分布時(shí)，不相關(guān)與獨(dú)立才是等價(jià)的．即使X與Y都服從正態(tài)分布，甚至X與Y不相關(guān)也并不能推出(X，Y)服從二維正態(tài)分布．例如(X，Y)的聯(lián)合密度為不難驗(yàn)證X與y都服從正態(tài)分布N(0，1)，且相關(guān)系數(shù)ρXY=0，而(X，Y)不服從二維正態(tài)分布，X與Y也不相互獨(dú)立．本題僅僅已知X與Y服從正態(tài)分布，因此，由它們不相關(guān)推不出X與Y一定獨(dú)立，排除A；若X與Y都服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，則(X，Y)服從二維正態(tài)分布，但題設(shè)并不知道X，Y是否獨(dú)立，可排除B；同樣要求X與Y相互獨(dú)立時(shí)，才能推出X+Y服從一維正態(tài)分布，可排除D．故正確選項(xiàng)為C．10、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=的密度函數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：是一維隨機(jī)變量，密度函數(shù)是一元函數(shù)，排除A、B．對(duì)于D，因?yàn)?，所以D中所給函數(shù)不是某隨機(jī)變量的密度函數(shù)，排除D．故選C．11、已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(z)在x-1處連續(xù)，且F(1)-1，記Y=(abc≠0)，則Y的期望E(Y)=()A、a+b+c．B、a．C、b．D、c．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)在x=1處連續(xù)且F(1)=1，所以P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0，P{X＞1}=1-P{X≤1}=1-F(1)=0．P{X＜1)=P(X≤1}-P{X=1}=F(1)-0=1．E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1}=C．12、設(shè)隨機(jī)變量X～E(2)，Y～E(1)，且相關(guān)系數(shù)ρXY=-1，則()A、P(Y-2X+2}=1．B、P(Y=-2X-2}=1．C、P{Y=2X-2}=1．D、P{Y=-2X+2)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于ρXY=-1，因此P{Y=aX+b}=1．其中a＜0，b為常數(shù)，又1=E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=+b，1=D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=所以a=±2，由a＜0得a=-2，nb=2，故選D．13、設(shè)隨機(jī)變量X，Y的方差存在且不等于0，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A、不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件．B、獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件．C、不相關(guān)的充分必要條件．D、獨(dú)立的充分必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镈(X+Y)=D(X)+D(Y)+，且D(X)≠0，D(Y)≠0，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)ρXY=0(X，Y不相關(guān))．故選C．14、設(shè)總體X的均值為E(X)=1，方差為D(X)=1，X1，X2，…，X9是總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令統(tǒng)計(jì)量y=，則由切比雪夫不等式，有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于E(Y)=，因此由切比雪夫不等式，有P{｜Y-9｜＜ε}=P{｜Y-E(Y)｜＜ε}≥1-，故選B．15、隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4獨(dú)立同分布，都服從正態(tài)分布N(1，1)，且服從χ2分布，則常數(shù)k和χ2分布的自由度n分別為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用正態(tài)分布的性質(zhì)得到Xi～N(4，4)，標(biāo)準(zhǔn)化得到所以，n=1．故應(yīng)選A．16、設(shè)X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且X，Y獨(dú)立，分別在X，Y中取容量為m和n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本方差分別記為SX2和SY2，則T=[(m-1)SX2+(n-1)SY2]服從()A、t(m+n-2)．B、F(m-1，n-1)．C、χ2(m+n-2)．D、t(m+n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤?(n-1)，且χ2分布具有可加性，所以T～χ2(m+n-2)．故選C．17、設(shè)為θ的無(wú)偏估計(jì)，且必為θ2的()A、無(wú)偏估計(jì)．B、有偏估計(jì)．C、一致估計(jì)．D、有效估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)闉棣鹊臒o(wú)偏估計(jì)，所以≠θ2．故選B．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：19、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件是不合格品，則另1件也是不合格品的概率為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A={2件產(chǎn)品中有1件是不合格品}，B={2件都是不合格品}，則所求即為20、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為以Y表示對(duì)X的3次重復(fù)觀(guān)察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y=2}=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：21、隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則P{-2＜X＜4｜X＞0}=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1-e-ε知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，故P{X＞0}=，從而P{-2＜X＜4｜X＞0}=22、設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且P{X≥0，Y≥0}=，則P{min{X，Y}＜0}=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P{min{X，Y}＜0}=1-p{min{X，Y}≥0}=1-P{X≥0，Y≥0}=23、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=，則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)______，X的方差為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將f(x)改寫(xiě)為正態(tài)分布概率密度的一般形式f(x)=由上式知，X服從正態(tài)分布，所以E(X)=1，D(X)=24、D(X)=4，D(Y)=9，ρXY=0．5，則D(X-Y)=______，D(X+y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：7，19知識(shí)點(diǎn)解析：D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)同理可得D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=19.25、設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)則P{｜X-E(X)｜＜2}=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：P{｜X-E(X)｜＜2)=P{-2＜X-E(X)＜2}=P{-2＜X-＜2}26、設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值、樣本方差分別為，S2，則，E(S2)=_______，樣本(X1，…，Xn)的概率分布為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：總體X服從泊松分布，即P{X=k}=，所以E(X)=D(X)=λ．(X1，…，Xn)的概率分布為P{X1=x1，…，Xn=xn}27、設(shè)總體X和Y均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分別是來(lái)自總體X和Y的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它們的樣本方差分別為SX2和SY2，則統(tǒng)計(jì)量T=(SX2+SY2)服從的分布及參數(shù)為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ2(2n-2)知識(shí)點(diǎn)解析：～χ2(n-1)，且它們相互獨(dú)立，故(SX2+SY2)～χ2(2n-2)．考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、一種零件的加工由相互獨(dú)立的兩道工序組成，第一道工序的廢品率為p1，第二道工序的廢品率為p2，則該零件加工的成品率為()A、1－p1－p2B、1－p1p2C、1－p1－p2+p1p2D、(1－p1)+(1－p2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A={成品零件}，Ai={第i道工序?yàn)槌善穧，i=1，2．依題意有P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，則P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2，故選C．2、現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中18張為2元的，2張為5元的．今從中任取3張，則獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為()A、6B、7．8C、9D、11．2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：記獎(jiǎng)金為X，則X全部可能取值為6，9，12，并且因此本題選B．3、設(shè)x1，x2，…，xn是來(lái)自總體X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的觀(guān)察值，則σ2的最大似然估計(jì)值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：在μ未知時(shí)，σ2的最大似然估計(jì)值為因此本題選B．4、以下結(jié)論，錯(cuò)誤的是()A、若0＜P(B)＜1，P(A｜B)+=1，則A，B相互獨(dú)立B、若A，B滿(mǎn)足P(B｜A)=1，則P(A－B)=0C、設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，則(A－B)∪B=A∪BD、若當(dāng)事件A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則P(C)＜P(A)+P(B)－1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于A，即P(B)－P(B)P(B)=P(AB)+P(B)－P(A)P(B)－P(B)P(B)，則P(AB)=P(A)P(B)，故A正確．對(duì)于B，P(B｜A)==1=>P(AB)=P(A)=>P(A)－P(AB)=0=>P(A－B)=0，故B正確．對(duì)于C，(A－B)∪B==A∪B，C正確．對(duì)于D，ABC=>P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=>P(A)+P(B)－1，D錯(cuò)誤，故選D．5、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜P＜1)，則X+Y的分布函數(shù)()A、為連續(xù)函數(shù)B、恰有n+1個(gè)間斷點(diǎn)C、恰有1個(gè)間斷點(diǎn)D、有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：記Z=X+Y，則Z的分布函數(shù)是n+1個(gè)連續(xù)函數(shù)之和，所以為連續(xù)函數(shù)．因此本題選A．6、設(shè)總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn是分別來(lái)自總體X與Y的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量服從t(n)分布，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：應(yīng)用t分布的典型模式．由于U與V相互獨(dú)立，由t分布的典型模式有7、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，來(lái)自X的一個(gè)樣本為X1，X2，…，X2n記當(dāng)μ已知時(shí)，基于T構(gòu)造估計(jì)σ2的置信水平為1－α的置信區(qū)間為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因相互獨(dú)立，則二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域上服從均勻分布，則(X，Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(z)在點(diǎn)x=e處的值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖3—1陰影部分所示，它的面積所以(X，Y)的概率密度為9、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為則隨機(jī)變量Z=max(X，Y)的分布律為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0)=P{Z=1}=1－P{Z=0}=故Z的分布律為10、設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，對(duì)X作三次獨(dú)立重復(fù)觀(guān)察，至少有一次觀(guān)測(cè)值大于2的概率為，則λ=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因記A={X＞2}，y={對(duì)X作三次獨(dú)立重復(fù)觀(guān)察A發(fā)生的次數(shù)}，則Y～B(3，p)，p=P{X＞2}=∫2+∞λe－λxdx=ee－2λ，由題意有11、若X1，X2，X3兩兩不相關(guān)，且DXi=1(i=1，2，3)，則D(X1+X2+X3)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄1，X1，X3兩兩不相關(guān)，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．12、設(shè)總體X的概率密度為其中θ＞0為未知參數(shù)，又設(shè)x1，x2，…，xn是X的一組樣本值，則參數(shù)η的最大似然估計(jì)值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：似然函數(shù)為三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)13、某彩票每周開(kāi)獎(jiǎng)一次，每次提供十萬(wàn)分之一的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且各周開(kāi)獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的．某彩民每周買(mǎi)一次彩票，堅(jiān)持十年(每年52周)，那么他從未中獎(jiǎng)的可能性是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)i={第i次中獎(jiǎng)}(i=1，2，…，520)，p=P{在一次購(gòu)買(mǎi)彩票中中獎(jiǎng))．又事件A1，A1，…，A520相互獨(dú)立，且p=10－5．所以P{連續(xù)購(gòu)買(mǎi)十年從未中獎(jiǎng)}=(1－p)520=(1－10－5)520≈0．9948．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)電子管壽命X的概率密度為若一臺(tái)收音機(jī)上裝有三個(gè)這種電子管，求：14、使用的最初150小時(shí)內(nèi)，至少有兩個(gè)電子管被燒壞的概率；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y為在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，則Y～B(3，p)，其中所求概率為P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)Y的分布律；標(biāo)準(zhǔn)答案：Y的分布律為k=0，1，2，3，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、Y的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y的分布函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為而Y的概率密度為標(biāo)準(zhǔn)答案：(X，Y)的概率密度為如圖3—3所示，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、用切比雪夫不等式確定，擲一均質(zhì)硬幣時(shí)，需擲多少次，才能保證“正面”出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．9．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)需擲n次，正面出現(xiàn)的次數(shù)為Yn，則依題意應(yīng)有所以n≥250．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，設(shè)EX=μ，DX=σ2，，試確定常數(shù)C，使－CS2為μ2的無(wú)偏估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X－Y的概率密度f(wàn)Z(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X，y不是相互獨(dú)立的，所以記V=－Y時(shí)，(X，V)的概率密度不易計(jì)算．此時(shí)應(yīng)先計(jì)算Z的分布函數(shù)，再計(jì)算概率密度f(wàn)Z(z)．記Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P{Z≤z}=P{X－Y≤z)=其中Dz={(x，y)｜x－y≤z}(直線(xiàn)x－y=z的上方部分)，由Dz與D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x)(如圖3—10中帶陰影的△OSC)的相對(duì)位置可得：當(dāng)z＜0時(shí)，Dx與D不相交，所以當(dāng)0≤z＜1時(shí)，Dz∩D=四邊形OABC，=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x－zx3xdy=∫0zx2dx+∫z13xzdx當(dāng)z≥1時(shí)，Dz∩D=△OSC，由此得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)(X，Y)的概率密度為求的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析△ABC邊AB上的高CD長(zhǎng)度為h．向△ABC中隨機(jī)投擲一點(diǎn)P，求22、點(diǎn)P到邊AB的距離X的概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則當(dāng)x＜0時(shí)，有F(x)=0；當(dāng)x≥h時(shí)，有F(x)=1；當(dāng)0≤x＜h時(shí)，為了求概率．P{X≤x)，作EF∥AB，使EF與AB間的距離為x(如圖3—15)，利用幾何方法，可得綜上可得由此得X的概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、X的期望與方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上一小題知X與X2的數(shù)學(xué)期望分別為從而得X的方差知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求：(1)方差D(XY)；(2)協(xié)方差Cov(3X+Y，X－2Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2，其中(2)Cov(3X+y，X一2y)一3DlX一5Cov(X，Y)一2Dy(2)Cov(3X+Y，X－2Y)=3DX－5Cov(X，Y)－2DY=3DX－5E(XY)+5EXEY－2DY又(X，Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)總體X服從參數(shù)為N和p的二項(xiàng)分布，X1，X1，…，Xn為取自X的樣本，試求參數(shù)N和p的矩估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所以N和p的矩估計(jì)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、經(jīng)測(cè)定某批礦砂的5個(gè)樣品中鎳含量為X(％)：3．25，3．27，3．24，3．26，3．24，設(shè)測(cè)定值服從正態(tài)分布，問(wèn)能否認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3．25(α=0．01)?標(biāo)準(zhǔn)答案：?jiǎn)栴}是在σ2未知的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=3．25．H0的拒絕域?yàn)椋黷｜＞tα／2(4)．由因?yàn)椋黷｜=0．344＜4．6041=t0．005(4)，所以接受H0，即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3．25．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、假設(shè)一批產(chǎn)品的不合格品數(shù)與合格品數(shù)之比為R(未知常數(shù))．現(xiàn)在按還原抽樣方式隨意抽取的n件中發(fā)現(xiàn)k件不合格品．試求R的最大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)a是這批產(chǎn)品中不合格