20世紀(jì)數(shù)學(xué)觀省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

20世紀(jì)數(shù)學(xué)觀改變陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系張雄第1頁(yè)假如我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)未來(lái)，適當(dāng)路徑是研究這門(mén)科學(xué)歷史和現(xiàn)實(shí)狀況。Poincaré,JulesHenry(1854-1912)法國(guó)數(shù)學(xué)-物理學(xué)家第2頁(yè)

一門(mén)科學(xué)歷史，就是這門(mén)科學(xué)本身。歌德

JohannWolfgangvonGoethe(1749-1832)第3頁(yè)

數(shù)學(xué)史可劃分為三個(gè)階段：（1）初等數(shù)學(xué)：從古代到17世紀(jì)初；（2）高等數(shù)學(xué)階段：從17世紀(jì)初到19世紀(jì)末；（3）當(dāng)代數(shù)學(xué)：從19世紀(jì)末開(kāi)始至今。第4頁(yè)數(shù)學(xué)是什么？傳統(tǒng)經(jīng)典說(shuō)法（恩格斯）：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式科學(xué)?！皵?shù)”和“形”在三個(gè)階段里含義是很不相同。

初等數(shù)課時(shí)期：數(shù)是常量，形是孤立、簡(jiǎn)單幾何體。分別研究常量間代數(shù)運(yùn)算和幾何形體以及相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，形成代數(shù)、幾何兩大領(lǐng)域。其中數(shù)量都是常量，稱之常量數(shù)學(xué)。

高等數(shù)課時(shí)期：數(shù)是變量，形是曲線和曲面。研究它們之間各種函數(shù)關(guān)系和變換關(guān)系，數(shù)和形開(kāi)始緊密聯(lián)絡(luò)起來(lái)。發(fā)源與微積分?jǐn)?shù)學(xué)分析興起和發(fā)展，數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何、分析三大領(lǐng)域，稱之變量數(shù)學(xué)。第5頁(yè)

當(dāng)代數(shù)課時(shí)期：以康托集合論（1874）為起點(diǎn)。進(jìn)入20世紀(jì)后，數(shù)學(xué)便逐步形成了系列學(xué)科分支，如泛函分析、點(diǎn)集拓?fù)?、近世代?shù)（新三高）。應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展迅猛。

當(dāng)代數(shù)學(xué)研究對(duì)象是普通集合、各種空間和流形，它們都能用集合和影射概念統(tǒng)一起來(lái)，極難區(qū)分?jǐn)?shù)和形范圍。

當(dāng)代數(shù)學(xué)特點(diǎn)：（1）公理化、結(jié)構(gòu)化、統(tǒng)一化（2）泛函性（代數(shù)方法重視公理體系結(jié)構(gòu)，幾何方法富有幾何直觀性，分析方法以精細(xì)分析見(jiàn)長(zhǎng)，當(dāng)代數(shù)學(xué)結(jié)合三者綜合利用代數(shù)、幾何和分析方法，“泛函分析”充分顯示了這三種方法綜合利用。泛函分析特點(diǎn)是研究函數(shù)空間或稱做抽象空間，這本身是對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)一大突破）。（3）抽象性（4）應(yīng)用性第6頁(yè)20世紀(jì)數(shù)學(xué)觀改變：

人類從蠻荒時(shí)代結(jié)繩人計(jì)數(shù)，到如今應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)指揮宇宙航行，無(wú)時(shí)無(wú)刻不受到數(shù)學(xué)恩惠和影響。一個(gè)發(fā)達(dá)社會(huì)，沒(méi)有強(qiáng)盛數(shù)學(xué)研究是不可想象。歷史為我們作了回復(fù)。古埃及尼羅河邊幾何學(xué)為金字塔輝煌催生。伴隨古希臘文明出現(xiàn)是《幾何原本》。漫漫中世紀(jì)長(zhǎng)夜，歐洲數(shù)學(xué)歸于寂靜。文藝復(fù)興降臨，涌現(xiàn)出開(kāi)普勒、笛卡兒、巴斯卡、費(fèi)馬這么數(shù)學(xué)天才。17世紀(jì)偉大科學(xué)革命，始于一位偉大數(shù)學(xué)家牛頓（微積分創(chuàng)造者）。拿破侖凱旋，孕育了法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派。大數(shù)學(xué)家高斯、黎曼、克萊因、希爾伯特，伴隨德意志資產(chǎn)階級(jí)興盛而成長(zhǎng)。當(dāng)1933年希特勒葬送德國(guó)數(shù)學(xué)之后，世界數(shù)學(xué)中心移到美國(guó)普林斯頓。計(jì)算機(jī)出現(xiàn)與20世紀(jì)40年代美國(guó)，設(shè)計(jì)者是數(shù)學(xué)家：馮·諾依曼。第7頁(yè)

8月，在日本東京舉行第九屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，大會(huì)主席藤田宏教授提到數(shù)學(xué)發(fā)展史上四個(gè)高峰：（1）以《幾何原本》為代表古希臘公理化數(shù)學(xué)（公元前700—300）；（2）以牛頓創(chuàng)造微積分為代表無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)（17—18世紀(jì)）；（3）以希爾伯特為代表當(dāng)代公理化數(shù)學(xué)（19—20世紀(jì)中葉）；（4）以當(dāng)代計(jì)算機(jī)技術(shù)為代表信息時(shí)代數(shù)學(xué)（20世紀(jì)中葉—今天）。第8頁(yè)

我們基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程里，主要學(xué)習(xí)是17世紀(jì)以前數(shù)學(xué)，牛頓微積分尚且極少包括，19世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)，接觸得更少。20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)本身發(fā)生了巨大改變，在研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前拓展。尤其是20世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了一場(chǎng)脫胎換骨變革，其最大發(fā)展是應(yīng)用。數(shù)學(xué)已經(jīng)從幕后走到臺(tái)前，成為能夠創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益數(shù)學(xué)技術(shù)，數(shù)學(xué)上過(guò)分“形式化”趨勢(shì)有所改變。與此同時(shí)，純粹數(shù)學(xué)也發(fā)生了改變。離散數(shù)學(xué)、非線性數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)等發(fā)展迅猛。第9頁(yè)

一樣是古希臘數(shù)學(xué)，因?yàn)橐院髷?shù)學(xué)進(jìn)步，數(shù)學(xué)觀發(fā)生了改變。古希臘數(shù)學(xué)是比較嚴(yán)密，是從公理系統(tǒng)出發(fā)用邏輯方法演繹出來(lái)知識(shí)體系。不過(guò)，牛頓微積分方法，則是不嚴(yán)密（什么是無(wú)窮小？并沒(méi)有嚴(yán)密定義）。不嚴(yán)密數(shù)學(xué)卻非常有用。

這么，我們就看到了兩種不一樣數(shù)學(xué)：嚴(yán)密古希臘數(shù)學(xué)；不嚴(yán)密但有用微積分。第10頁(yè)

數(shù)學(xué)為了本身健康，必須保持邏輯上嚴(yán)密性。所以，從19世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)進(jìn)入了第三個(gè)時(shí)期：當(dāng)代公理化時(shí)期。群論出現(xiàn)，復(fù)數(shù)以及四元數(shù)利用，非歐幾何誕生，等等，再次證實(shí)數(shù)學(xué)本身內(nèi)部問(wèn)題也在推進(jìn)數(shù)學(xué)進(jìn)步，而全部這一切，都是圍繞著“群公理”、“復(fù)數(shù)和四元數(shù)公理”、“歐氏幾何公理”而展開(kāi)。與此同時(shí)，分析學(xué)嚴(yán)格化進(jìn)程也在加速，伴隨實(shí)數(shù)系公理化定義，ε-δ語(yǔ)言代替了自然描述語(yǔ)言，微積分奠定在嚴(yán)格基礎(chǔ)上。這一時(shí)期頂峰是康托提出“集合論”，比較無(wú)限“大小”，以及希爾伯特為歐氏幾何絕對(duì)嚴(yán)密化發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》著作。

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進(jìn)入20世紀(jì)以后，希爾伯特提出“形式主義”數(shù)學(xué)觀，風(fēng)靡世界。這種數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)只是一組相容、獨(dú)立、完備公理系，按照一定方式推理出來(lái)一堆“形式”，與它表示內(nèi)容無(wú)關(guān)。20世紀(jì)中葉發(fā)展起來(lái)布爾巴基學(xué)派，將現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)按最嚴(yán)密方式加以梳理，組成了一個(gè)比較嚴(yán)密“結(jié)構(gòu)主義”數(shù)學(xué)體系。第12頁(yè)

這股思潮影響了兩個(gè)世紀(jì)。不過(guò)，數(shù)學(xué)畢竟不是形式，數(shù)學(xué)最豐富源泉在于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系。20世紀(jì)30年代，哥德?tīng)栕C實(shí)了（不完備性定理），希爾伯特提出公理系假如包含自然數(shù)在內(nèi)，那么總存在一個(gè)命題，用公理無(wú)法判斷其為真，也無(wú)法判斷其為假。于是，這個(gè)公理系在形式上是不完備，即不能自圓其說(shuō)。于是，形式主義數(shù)學(xué)觀得到了致命批判。第13頁(yè)藤田宏提到數(shù)學(xué)發(fā)展史上四個(gè)高峰，有兩個(gè)發(fā)生在20世紀(jì)。第三個(gè)高峰期留給人們?cè)S多數(shù)學(xué)精品，抽象數(shù)學(xué)成為人類思維能力最高典范。不過(guò)，現(xiàn)實(shí)世界在不停地向數(shù)學(xué)提出新挑戰(zhàn)，使得數(shù)學(xué)也在發(fā)生嬗變。第14頁(yè)

在第二次世界大戰(zhàn)期間，許多數(shù)學(xué)家投入了反對(duì)希特勒法西斯努力，一大批直接服務(wù)于戰(zhàn)爭(zhēng)需要數(shù)學(xué)技術(shù)隨之產(chǎn)生。1940年，英國(guó)和美國(guó)海軍為了對(duì)付德國(guó)潛艇威脅，創(chuàng)建了運(yùn)籌學(xué)。在不增加設(shè)備情況下，依靠數(shù)學(xué)智力，運(yùn)籌學(xué)能夠幫助提升設(shè)備效能。1942年，前蘇聯(lián)柯?tīng)柲曷宸蚝兔绹?guó)維納分別研究火炮自動(dòng)跟蹤裝置，發(fā)展隨機(jī)過(guò)程預(yù)測(cè)和濾波理論，提升空防效率。1939年起，英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈幫助英國(guó)情報(bào)部門(mén)破譯德軍密碼成功。美國(guó)破譯日軍密碼電報(bào)，擊落日本大將山本五十六座機(jī)。1944年，馮·諾依曼創(chuàng)建對(duì)策論用于太平洋戰(zhàn)爭(zhēng)戰(zhàn)術(shù)決議。美國(guó)政府組織“應(yīng)用數(shù)學(xué)小組（AMP）”，參加空中火箭發(fā)射、水下彈道、B—52轟炸機(jī)計(jì)算等。數(shù)學(xué)家參加原子彈研制。第15頁(yè)

數(shù)學(xué)在反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)中卓有成效工作，極大地改造了數(shù)學(xué)本身。戰(zhàn)后和平時(shí)期數(shù)學(xué)技術(shù)，基于計(jì)算機(jī)應(yīng)用在更遼闊范圍內(nèi)展開(kāi)。1946年，馮·諾依曼設(shè)計(jì)電子計(jì)算機(jī)方案得以實(shí)施。1948年，維納發(fā)表《控制論》，申農(nóng)發(fā)表《通信數(shù)學(xué)理論》。1950年用計(jì)算機(jī)首次進(jìn)行數(shù)值天氣預(yù)報(bào)。這些標(biāo)志性事件，揭開(kāi)了新時(shí)代數(shù)學(xué)序幕。第四個(gè)數(shù)學(xué)高峰是以計(jì)算機(jī)技術(shù)為標(biāo)志，與牛頓時(shí)代第二個(gè)高峰有許多相同之處。大量實(shí)際問(wèn)題，一系列新方法，與其它科學(xué)學(xué)科親密聯(lián)絡(luò)，處理人類面臨各種問(wèn)題成為數(shù)學(xué)首先關(guān)心課題。第16頁(yè)

計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)使得飛機(jī)設(shè)計(jì)無(wú)須都在風(fēng)洞中試驗(yàn)，測(cè)試大炮性能無(wú)須都采取實(shí)彈射擊，原子彈等地下核試驗(yàn)?zāi)軌蛟谟?jì)算機(jī)上模擬，甚至能夠在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行軍事演練。

1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)授予美國(guó)柯馬克和英國(guó)洪斯費(fèi)爾德，褒獎(jiǎng)他們利用數(shù)學(xué)上拉東變換原理，設(shè)計(jì)了CT層析儀。造福千千萬(wàn)萬(wàn)人民人體層析攝影技術(shù)，原來(lái)歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)實(shí)現(xiàn)。第17頁(yè)飛機(jī)起飛降落定位需要卡爾曼濾波技術(shù)，汽車設(shè)計(jì)需要計(jì)算機(jī)模擬，企業(yè)管理需要數(shù)學(xué)模型，醫(yī)院看病使用數(shù)學(xué)技術(shù)，藥品效果有賴統(tǒng)計(jì)分析，股票漲落需要數(shù)學(xué)預(yù)計(jì)，計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)使用二進(jìn)位制，軟件設(shè)計(jì)依賴離散數(shù)學(xué)，人工智能基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)方法。支持電視數(shù)字化是一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)—小波技術(shù)，它能將龐大數(shù)據(jù)壓縮到最低程度，使得圖像數(shù)字傳輸成為可能。在社會(huì)科學(xué)方面，人口預(yù)測(cè)、環(huán)境控制、保險(xiǎn)精算、交通管理、社會(huì)發(fā)展模型，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)參加?！都t樓夢(mèng)》作者是誰(shuí)？統(tǒng)計(jì)學(xué)家能作出有依據(jù)判斷。人們享受數(shù)學(xué)文明能夠說(shuō)無(wú)處不在。第18頁(yè)

20世紀(jì)90年代以前，日本是電視大國(guó)。為研制高清楚度電視制式，日本和西歐國(guó)家在模擬制式上投入了數(shù)十億美元。不過(guò)，1993年，美國(guó)數(shù)字化電視方案出世后，馬上“橫掃千軍”，使模擬式方案變成一張費(fèi)紙。支持電視數(shù)字化是一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)—小波技術(shù)。它能將龐大數(shù)據(jù)壓縮到最低程度，使得圖象數(shù)字傳輸成為可能。這么，二十一世紀(jì)世界電視業(yè)領(lǐng)導(dǎo)權(quán)也就落入美國(guó)手中。第19頁(yè)

有些人預(yù)言，未來(lái)數(shù)學(xué)研究，只有10%工作以發(fā)表論文為目標(biāo)，90%數(shù)學(xué)將是到各行業(yè)用計(jì)算機(jī)處理那里問(wèn)題。（該預(yù)計(jì)可能有點(diǎn)言過(guò)其實(shí)，但作為一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)，不無(wú)道理）數(shù)學(xué)進(jìn)步推進(jìn)力，總有兩個(gè)部分：數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和來(lái)自數(shù)學(xué)外部問(wèn)題推進(jìn)。第20頁(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)一樣，關(guān)鍵數(shù)學(xué)一樣在飛速發(fā)展。關(guān)鍵數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢(shì)最少有以下特點(diǎn)：（1）從線性到非線性，混沌、分形、動(dòng)力系統(tǒng)等研究快速發(fā)展；（2）從交換到非交換，矩陣、算子乘法都是不可交換；（3）從一維數(shù)學(xué)到到高維數(shù)學(xué)，尤其是四維和無(wú)窮維；（4）隨機(jī)數(shù)學(xué)和確定性數(shù)學(xué)、離散和連續(xù)、局部性質(zhì)和整體性質(zhì)間對(duì)立與整合。第21頁(yè)可見(jiàn)，“關(guān)鍵數(shù)學(xué)”愈加“關(guān)鍵”，“應(yīng)用數(shù)學(xué)”愈加“應(yīng)用”?？傊?0世紀(jì)數(shù)學(xué)觀發(fā)生了以下改變：（1）公理化方法、形式演繹依然是數(shù)學(xué)特征之一，不過(guò)數(shù)學(xué)不等于形式。數(shù)學(xué)正在走出形式主義光環(huán)。（2）在計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下，數(shù)學(xué)重視應(yīng)用。（3）數(shù)學(xué)不等于邏輯，要做“好”數(shù)學(xué)。大數(shù)學(xué)家H·外爾指出，邏輯是數(shù)學(xué)家為了保持?jǐn)?shù)學(xué)健康而實(shí)施衛(wèi)生規(guī)則。陳省身說(shuō)：“有些數(shù)學(xué)有開(kāi)創(chuàng)性，有發(fā)展前途，是好數(shù)學(xué)。還有一些數(shù)學(xué)也蠻有意思，但漸漸地變成一個(gè)游戲了?！钡?2頁(yè)

大量數(shù)學(xué)觀依然停留在第三個(gè)數(shù)學(xué)高峰時(shí)代。諸如數(shù)學(xué)教學(xué)中：“數(shù)學(xué)是公理化體系”，“數(shù)學(xué)能力關(guān)鍵是邏輯思維能力”，“數(shù)學(xué)是思想體操”等等。（數(shù)學(xué)一個(gè)側(cè)面）這種數(shù)學(xué)觀把數(shù)學(xué)應(yīng)用斥之以“實(shí)用主義”、“短視行為”。第23頁(yè)

數(shù)學(xué)文化觀數(shù)學(xué)是人類文化主要組成部分。正如音樂(lè)不但僅是音符節(jié)拍，繪畫(huà)不但僅是線條和色彩，數(shù)學(xué)也不但僅是一些公式、規(guī)則、方程式堆砌。數(shù)學(xué)和其它人類創(chuàng)建文明一樣，含有特定文化價(jià)值。第24頁(yè)數(shù)學(xué)是一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)，有來(lái)自于內(nèi)部和外部文化基因。首先，數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言，深刻地影響著人類文明進(jìn)步；另首先，數(shù)學(xué)又從普通文化發(fā)展中汲取營(yíng)養(yǎng)，受到所處時(shí)代文化制約。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化教育。數(shù)學(xué)教學(xué)要揭示數(shù)學(xué)背后隱藏文化價(jià)值，突出數(shù)學(xué)文化本質(zhì)。不然，象豬八戒吃人參果，不知滋味。第25頁(yè)怎樣揭示數(shù)學(xué)文化價(jià)值（文化本質(zhì)）？假如只是簡(jiǎn)單地陳說(shuō)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理，似乎沒(méi)有文化意味。不過(guò)，只要問(wèn)“為何要研究這些概念、這些定理？”馬上就會(huì)包括文化價(jià)值。比如，函數(shù)是數(shù)集之間一個(gè)對(duì)應(yīng)，表面好象沒(méi)有文化意義。不過(guò)，為何要研究函數(shù)？函數(shù)為何主要？你就會(huì)看到社會(huì)需要，牛頓創(chuàng)建微積分，哲學(xué)上對(duì)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)說(shuō)，宏觀變量說(shuō)、微觀對(duì)應(yīng)說(shuō)、形式關(guān)系說(shuō)等等。函數(shù)文化底蘊(yùn)就在其中了。（相反，只是歷史上各種函數(shù)定義羅列，并不能揭示其文化價(jià)值）所以，研究數(shù)學(xué)文化，應(yīng)從數(shù)學(xué)思想方法和普通文化互動(dòng)過(guò)程中展開(kāi)。第26頁(yè)什么是文化？文化通常被了解成與自然相正確概念，它是指經(jīng)過(guò)人活動(dòng)對(duì)自然狀態(tài)變革而創(chuàng)造結(jié)果，即一切非自然、由人類所創(chuàng)造事物或?qū)ο蟆?shù)學(xué)是人創(chuàng)造。“數(shù)學(xué)是人類最高智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特創(chuàng)作，音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能感人心弦，哲學(xué)使人取得智慧，科學(xué)能夠改進(jìn)物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給給予上一切。”（克萊因）第27頁(yè)數(shù)學(xué)家在研究數(shù)課時(shí)，不可防止打上那個(gè)時(shí)代文化烙印。數(shù)學(xué)家創(chuàng)造，是他所處時(shí)代文化產(chǎn)物，反過(guò)來(lái)又豐富了那個(gè)時(shí)代文化。1、數(shù)學(xué)是人類文明火車頭人類文明往往以數(shù)學(xué)成就作為特殊標(biāo)志。古希臘文明博大精深，不過(guò)傳流于世一個(gè)標(biāo)志性著作是歐幾里得《幾何原本》，印刷量?jī)H次于圣經(jīng)。17世紀(jì)資本主義文明，是以牛頓科學(xué)成就為標(biāo)志，他創(chuàng)建微積分成為那個(gè)科學(xué)黃金時(shí)代基礎(chǔ)。以愛(ài)因斯坦相對(duì)論為代表當(dāng)代科學(xué)文明，則是建立在黎曼幾何之上。20世紀(jì)下半葉開(kāi)始信息時(shí)代，則以數(shù)學(xué)信息論、數(shù)學(xué)控制論以及電子計(jì)算機(jī)馮·諾依曼方案為代表。第28頁(yè)2、數(shù)學(xué)打上了人類各個(gè)文化發(fā)展階段烙印以古希臘數(shù)學(xué)和中國(guó)古代數(shù)學(xué)為例，說(shuō)明不一樣民族文化會(huì)產(chǎn)生不一樣格調(diào)數(shù)學(xué)，它們都含有鮮明時(shí)代文化烙印?！皩?duì)頂角相等”是否需要證實(shí)？《幾何原本》中命題15：對(duì)頂角相等。證實(shí)：A+C=B+C=平角。由公理3：等量減等量，其差相等。所以，A=B。這是經(jīng)典用公理進(jìn)行邏輯推演結(jié)果，展現(xiàn)了古希臘文明在探求真理上理性思維。第29頁(yè)

試問(wèn)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)里為何沒(méi)有對(duì)頂角相等這么定理呢？這要研究數(shù)學(xué)與民主關(guān)系。中國(guó)古代為何數(shù)學(xué)?皇家科學(xué)與職業(yè)科學(xué)家第30頁(yè)

Mathematicians:歷算家編制歷法Astronomers:天文家儀器制造與天象觀察

Astrologers:星占家（太乙家）

用天文現(xiàn)象預(yù)測(cè)影響未來(lái)重大事件第31頁(yè)數(shù)學(xué)家Ⅰ：普通人趙爽(三國(guó),三世紀(jì)):《周髀算經(jīng)》注

劉徽(三國(guó),三世紀(jì)):《九章算術(shù)》注

賈憲(宋,11世紀(jì)):開(kāi)方法

秦九韶(1202?~1261):數(shù)書(shū)九章(1247)

楊輝:

詳解九章算法(1261)、楊輝算法(1275)

朱世傑:算學(xué)啓蒙(1299)、四元玉鑑(1303)程大位

(1533~1606):算法統(tǒng)綜(1592)、珠算

第32頁(yè)數(shù)學(xué)家Ⅱ：職業(yè)科學(xué)家劉焯(544~610):皇極暦、內(nèi)插法；《隋書(shū)》卷75:太學(xué)博士李淳風(fēng)(602~670):算經(jīng)十書(shū)、麟德暦《舊唐書(shū)》卷79:太史令李冶(1192~1279):測(cè)圓海鏡、天元術(shù)《元史》卷160:翰林學(xué)士王恂(1233~1281):授時(shí)暦、三次內(nèi)插法《元史》卷164:太史令第33頁(yè)

祖沖之(429~500)大明暦、綴術(shù)π=113/355長(zhǎng)水校尉張衡(78~139)靈憲、渾天儀后漢書(shū)太史令第34頁(yè)

沈括(1031~1095)

夢(mèng)溪筆談

十二氣暦

積術(shù)

宋史（隙卷331）

翰林學(xué)士

授時(shí)暦元史（卷164）太史令一行（673—727）大衍暦內(nèi)插法正切函數(shù)表郭守敬（1231—1316）第35頁(yè)數(shù)學(xué)家:普通v.s.職業(yè)普通:生涯不詳、小官僚、數(shù)學(xué)家劉徽、秦九韶、朱世傑職業(yè):有傳記、大臣、歷算家祖沖之、一行、郭守敬第36頁(yè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)也有光芒成就。標(biāo)志性著作《九章算術(shù)》在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已經(jīng)初步形成。中國(guó)古代數(shù)學(xué)崇尚實(shí)用?！毒耪滤阈g(shù)》中問(wèn)題，多半是謀士（包含數(shù)學(xué)家）向君王提議管理國(guó)家理念和數(shù)學(xué)方法（學(xué)術(shù)是經(jīng)過(guò)謀士向君王提議治國(guó)之道而形成）。比如，為了核實(shí)財(cái)產(chǎn)，需要丈量田畝；為了抽稅，需要有百分比計(jì)算；為了水利工程，需要計(jì)算土方；為了測(cè)量天文和地理，有時(shí)需要解方程。計(jì)算便捷準(zhǔn)確，成為中國(guó)數(shù)學(xué)特征。這么以來(lái)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成了官方“管理國(guó)家”“文書(shū)”。假如說(shuō)，中國(guó)數(shù)學(xué)是世界上“管理數(shù)學(xué)”最早文件，大約是不會(huì)錯(cuò)。顯然，君王不需要“對(duì)頂角相等”這么數(shù)學(xué)（與管理數(shù)學(xué)沒(méi)有什么關(guān)系）。第37頁(yè)古希臘城幫實(shí)施奴隸主民主政治。民主要求說(shuō)服（有了證實(shí)動(dòng)機(jī)），說(shuō)服需要證實(shí)，證實(shí)源頭只公理（真理），公理化方法得到應(yīng)用（證實(shí)最好路徑是從大家公認(rèn)真理出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理得到結(jié)論）。在這么文化背景下用“等量減等量”公理證實(shí)“對(duì)頂角相等”，就是很自然事了。可見(jiàn)，古希臘數(shù)學(xué)和中國(guó)數(shù)學(xué)是在兩種不一樣文化影響下產(chǎn)生。不一樣文化孕育了不一樣數(shù)學(xué)。古希臘數(shù)學(xué)閃耀著理性思維光芒，不迷信權(quán)威，不感情用事，不人云亦云，客觀、冷靜、邏輯地思索問(wèn)題，探求真理。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)，含有“算法數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)機(jī)戒化”特征。（祖沖之，吳文?。┑?8頁(yè)3、數(shù)學(xué)應(yīng)從社會(huì)文化中汲取營(yíng)養(yǎng)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造數(shù)學(xué)時(shí)候，不停地從普通文化中汲取營(yíng)養(yǎng)。許多數(shù)學(xué)本原思想和人類普通思想是相同。比如，數(shù)學(xué)和文學(xué)。（1）對(duì)稱與幾何變換。幾何學(xué)研究是變換之后不變量。經(jīng)軸對(duì)稱、中心對(duì)稱后，圖形位置變了，不過(guò)圖形大小、形狀沒(méi)有變，長(zhǎng)度、角度都沒(méi)有變。所以是“改變中不變性質(zhì)”。

第39頁(yè)

再看，數(shù)學(xué)上“對(duì)稱”和中國(guó)對(duì)聯(lián)、文學(xué)中“對(duì)仗”是相通。數(shù)學(xué)上對(duì)稱，是指在運(yùn)動(dòng)改變中保持某種不變性。對(duì)仗一樣是要求“改變中不變性質(zhì)”，上聯(lián)變?yōu)橄侣?lián)過(guò)程中，保持著意境、詞語(yǔ)某種不變性。王維著名詩(shī)句：“明月松間照，清泉石上流”。其中，“明月”對(duì)“清泉”，“松”對(duì)“石”，“照”對(duì)“流”。對(duì)仗十分工整。字詞是變了，但變中有不變，形容詞對(duì)形容詞，名詞對(duì)名詞，自然景物依然是自然景物。這么“守恒”，表達(dá)著睿智和均衡美。

第40頁(yè)

文化上看，二者異曲同工。只是數(shù)學(xué)愈加準(zhǔn)確、抽象而已。研究改變中不變性質(zhì)，實(shí)際上是普遍科學(xué)規(guī)律。物理學(xué)能量守恒、動(dòng)量守恒；化學(xué)中平衡方程式；數(shù)學(xué)中方程同解；恒等式sin2x+cos2x=1;代數(shù)不變量；幾何不變量，拓?fù)洳蛔兞?；多面體歐拉定理；七橋問(wèn)題等等都是如此。第41頁(yè)（2）時(shí)間和空間初唐詩(shī)人陳子昂詩(shī)云：“前不見(jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者，念天地之悠悠，獨(dú)愴（chuang)然而涕下?！边@是古人乃至今天人們對(duì)時(shí)間和空間認(rèn)識(shí)。詩(shī)人處于原點(diǎn)，兩頭茫茫皆不見(jiàn)，于是時(shí)間模型是一條直線：天地各為兩個(gè)平面，悠悠地、無(wú)限延伸著。我們幾何就是在這么空間里展開(kāi)。（一維時(shí)間、三維天地，時(shí)間直線和三維歐氏幾何）。為何愴然涕下？因?yàn)榭臻g廣袤，個(gè)人顯得渺小。第42頁(yè)（3）數(shù)學(xué)和意境“古帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流?！泵枥L數(shù)學(xué)上“極限”意境，可稱絕妙。（徐利治）眾里尋他千baidu，驀然回首，那人