全稱量詞與全稱命題

§3全稱量詞和存在量詞復(fù)習(xí)回顧什么是充分條件?什么是必要條件?什么是充要條件?在給定的真命題“若p則q”中，如果pq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件．如果pq且qp,則p是q的充要條件．填寫“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”。1）sinA>sinB是A>B的___________條件。2）在銳角ΔABC中，sinA>sinB是A>B的

________條件。既不充分又不必要充要條件全稱量詞與全稱命題分析理解在數(shù)學(xué)中,常常見到下列形式的命題:(1)所有正方形都是矩形;(2)每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式;(3)如果直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,那么直線垂直于平面;(4)任何實(shí)數(shù)乘0都等于0;(5)一切三角形的內(nèi)角和都等于180度.在上式的命題條件中,我們發(fā)現(xiàn)都有“所有”，“每一個(gè)”“任何一個(gè)”“任意一個(gè)”“一切”等這樣的描述．定義全稱量詞：像上面的描述，在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．全稱命題舉例：全稱命題符號記法：命題：對任意的n∈Z，2n+1是奇數(shù)；所有的正方形都是矩形。通常，將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么，全稱命題“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號簡記為：讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”。解：（1）假命題；（2）真命題；（3）假命題。例1判斷下列全稱命題的真假：（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）（3）對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)。歸納：——需要對集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立——只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立即可（舉反例）強(qiáng)調(diào)在某些全稱命題中,有時(shí)全稱量詞可以省略.如:末位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除;正方形是矩形;球面是曲面.練習(xí)：2

判斷下列全稱命題的真假：（1）每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）1課本P13總結(jié):什么是全稱量詞?什么是全稱命題?如何來判斷一全稱命題的真假性?存在量詞與特稱命題分析理解在還有一些數(shù)學(xué)命題中,反映的是對個(gè)體或整體一部分的判斷.如:(1)有些三角形是直角三角形;(2)如果兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù),那么這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù);(3)在素?cái)?shù)中,有一個(gè)是偶數(shù);(4)存在實(shí)數(shù),使得.定義存在量詞:在以上命題中,“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．特稱命題：這樣含有存在量詞的命題叫作特稱命題．例如,命題:有的平行四邊形是菱形;有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù);有的向量方向不定;存在一個(gè)函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);有一些實(shí)數(shù)不能取對數(shù).例題講解例１，判斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題：（１）奇數(shù)是整數(shù)；（２）偶數(shù)能被２整除；（３）至少有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)．解：（１）“奇數(shù)是整數(shù)”是指“所有的奇數(shù)都是整數(shù)”，所以它是全稱命題．（２）“偶數(shù)能被２整除”是指“每一個(gè)偶數(shù)都能被２整除”，所以它是全稱命題．（３）“至少有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是特稱命題．１，下列命題為特稱命題的是（）A偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B正四棱柱都是平行六面體C不相交的兩條直線是平行直線D存在實(shí)數(shù)大于等于3練習(xí)Ｄ２，下列特稱命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A0B1C2D3Ｄ３，判斷下列特稱命題的真假有一個(gè)實(shí)數(shù),使存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線;有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù).小結(jié)什么是存在量詞，特稱命題．全稱命題和特稱命題有什么區(qū)別？全稱命題與特稱命題的否定引入判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并說明命題的真假:(1)所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù);(2)數(shù)列{1,2,3,4,5}的每一項(xiàng)都是偶數(shù);(3)5個(gè)數(shù){-2,-1,0,1,2}都大于0.均是全稱命題,且都為假命題.分析理解從另一個(gè)角度來看以上問題,可知(1)只需指出“有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”就可以說明“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的．(2)只需指出“數(shù)列{1,2,3,4,5}中有一項(xiàng)不是偶數(shù)”就可以說明“數(shù)列{1,2,3,4,5}的每一項(xiàng)都是偶數(shù)”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的．(3)只需指出“５個(gè)數(shù){-2,-1,0,1,2}中有一個(gè)數(shù)不大于0”就可以說明“5個(gè)數(shù){-2,-1,0,1,2}都大于0”這個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的．抽象概括由上述例可知：要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例就可以了．實(shí)際上是要說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的．強(qiáng)調(diào)全稱命題的否定是特稱命題問題判斷命題是全稱還是特稱命題，并指出真假．命題(1)(2)均是特稱命題．且是假命題．分析理解上述兩命題的判斷可由另一個(gè)角度來考查:(1)中只需指出中的每一個(gè)數(shù)都不能被3整除,就可以說明原命題是錯(cuò)誤的.(2)也需只指出“方程的每一個(gè)根都不是負(fù)的”就可說明原命題是錯(cuò)誤的．抽象概括由上述例可知：要說明一個(gè)特稱命題“存在一些對象滿足某一性質(zhì)”是錯(cuò)誤的，就要說明所有的對象都不滿足這一性質(zhì)．實(shí)際上是要說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的．強(qiáng)調(diào)特稱命題的否定是全稱命題．例題講解例２，寫出下列全稱命題和特稱命題的否定:(1)三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品;(2)方程有一個(gè)根是偶數(shù).分析(1)“三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品”這是一個(gè)全稱命題,要否定它,只需說明“在這三個(gè)給定產(chǎn)品中，有一個(gè)產(chǎn)品不是次品”即可．(2)“方程有一個(gè)根是偶數(shù)”這是一個(gè)特稱命題，要否定它，只需說明“方程的每一個(gè)根都不是偶數(shù)”即可．解:(1)命題“三個(gè)給定產(chǎn)品都是次品”的否定是：三個(gè)給定產(chǎn)品中至少有一個(gè)是正品；(2)命題“方程有一個(gè)根是偶數(shù)”的否定是：方程的每一個(gè)根都不是偶數(shù)．同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：命題全稱命題特稱命題①所有的x∈M，p(x)成立②對一切x∈M，p(x)成立③對每一個(gè)x∈M，p(x)成立④任選一個(gè)x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x0∈M，使p(x)成立②至少有一個(gè)x0∈M，使

p(x)成立③對有些x0∈M，使p(x)