2.7 探索勾股定理1 浙教版數(shù)學八年級上冊學案

2.7探索勾股定理（1）課題探索勾股定理（1）單元第二章學科數(shù)學年級八年級學習目標了解拼圖驗證勾股定理的方法；掌握勾股定理，會利用兩邊邊長求直角三角形的另一邊長；會利用勾股定理解決實際問題．重點探索并掌握勾股定理難點運用勾股定理解決簡單的問題學法探究法教法講授法教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課觀看下面幾幅圖片CBCBA你知道這三個正方形的面積分別是多少嗎？如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會(ICM—2002)的會標.它的設計思路可追溯到3世紀中國數(shù)學家趙爽所使用的弦圖.用弦圖證明勾股定理在數(shù)學史上有著重要的地位.觀察聽課開門見山引入勾股定理合作學習（1）剪四個全等的直角三角形紙片（如圖1），把它們按圖2放入一個邊長為c的正方形中.這樣我們就拼成了一個形如圖2的圖形.（2）設剪出的直角三角形紙片的兩條直角邊的長a，b和斜邊長c，分別計算圖中的陰影部分的面積與大、小正方形的面積.（3）比較圖中陰影部分和大、小正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？大正方形的面積:c2小正方形面積:（b-a）2陰影部分面積:4×ab它們之間的關系是：化簡得：a2+b2=c2直角三角形三邊有下面的關系：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方動手操作，思考探究通過實踐活動得出直角三角形兩條直角邊和斜邊的關系講授新課勾股定理：直角形三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.（揭示直角三角形三邊之間的關系）幾何語言表示：在Rt△ABC中∵∠C=90°∴a2+b2=c2(AC2+BC2=AB2)聽課思考講解勾股定理例題講解例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c.(1)若a=1,b=2,求c;(2)若a=15,c=17,求b;解：（1）根據(jù)勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5∵c>0，∴c=（2）根據(jù)勾股定理，得b2=c2-a2=172-52=64∵b>0，∴b=8聽課思考講解例題，明白題型即時演練1.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2-1，2n（n＞1），那么它的斜邊長是（）A．2nB．n+1C．n2-1D．n2+1解：兩條直角邊與斜邊滿足勾股定理，則斜邊長是：==n2+12.在直角三角形中，已知其中兩邊分別為3和4，則第三邊等于__________．解：當此直角三角形的兩直角邊分別是3和4時，則第三邊為==5，當此直角三角形的一個直角邊為3，斜邊為4時，則第三邊為==．做練習及時訓練鞏固所學例題講解例2如圖所示是一個長方形零件的平面圖,尺寸如圖所示,求兩孔中心A,B之間的距離.(單位:毫米)解：過A作鉛垂線，過B作水平線，兩線交于點C，則∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm）由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2）∵AB>0,∴AB=130（mm）答：兩孔中心A,B之間的距離為130mm聽課講解課本例題即時演練鐵路上A,B兩站（視為直線上兩點）相距25km，C,D為兩村莊（視為兩個點），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如圖），已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站______km處．解：∵C,D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2．設AE為x，則BE=25-x，將BC=10，DA=15代入關系式為x2+152=（25-x）2+102，整理得，50x=500，解得x=10，∴E站應建在距A站10km處．做練習及時訓練鞏固所學達標測評1.下列幾組數(shù)據(jù)：（1）8，15，17；

（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中是勾股數(shù)組的有幾組（）A．1B．2C．3D．4解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，∴82+152=172，即8，15，17是一組勾股數(shù)；（2）∵72+122=49+144=193，152=225，∴72+122≠152，即7，12，15不是一組勾股數(shù)；（3）∵122+152=144+225=369，202=400，∴122+152≠202，即12，15，20不是一組勾股數(shù)；（4）∵72+242=49+576=625，252=625，∴72+242=252，即7，24，25是一組勾股數(shù)，則其中勾股數(shù)有2組．故選B．2.如圖，一架10米長的梯子斜靠在墻上，剛好梯頂?shù)诌_8米高的路燈．當電工師傅沿梯上去修路燈時，梯子下滑到了B′處，下滑后，兩次梯腳間的距離為2米，則梯頂離路燈______米.解：在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理，得：OB=6m，根據(jù)題意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的長度不變，在Rt△A′OB′中，根據(jù)勾股定理，得：OA′=6m．則AA′=8-6=2m．3.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，將△ABP繞點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′的位置，若AP=3，則PP′=______．解：依題意，得旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，∴△APP′為等腰直角三角形，∴PP′==3．故本題答案為：3．4.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm.△ABC的面積是6cm2.

（1）求AB的長度；（2）求△ABD的面積.解：（1）∵∠C=90°∴S△ABC=×BC×AC=6，∴AC=4（cm）．∵BC2+AC2=AB2，∴AB===5（cm）．（2）∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，∴AB2+BD2=AD2．∴∠ABD=90°．∴S△ABD=×AB×BD=×5×12=30（cm2）．5.如圖所示，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為8cm，一只螞蟻欲從正四棱柱底面上的頂點A沿棱柱的表面爬到頂點C＇處吃食物.那么它需要爬行的最短路程的長是多少？解：(1)沿側(cè)枝BB＇,將側(cè)面A＇B和側(cè)面B＇C展開如圖1所示，連接AC＇.

∵AB=BC=5cm，CC＇=8cm,

由勾股定理，得==(2)沿底邊A‘B’.將底面A‘C’和側(cè)面A‘B展開如圖2所示，連接AC’.

∵AB=5cm,BC’=BB’+B’C’=8+5=13cm,由勾股定理，得==（cm）∴易知沿DC展開和DD＇展開的情況同上述兩種情況一致.又∵>=2∴螞蟻需要爬行的最短路輕的長為2cm做題通過做對應的題目，來讓學生更深刻理解本節(jié)知識應用拓展已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求證：AB=BC；（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．證明：（1）連接AC．∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．∵CD⊥AD，∴AB=BC．∴AD2+CD2=AC2．∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，（2）過C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD=EF．∵∠ABE+∠BAE=90°，∠