第三章 基本幾何元素的投影（3-2）

工程制圖濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院圖學(xué)中心第三章基本幾何元素的投影本章要求1.掌握點的投影規(guī)律；2.各種位置直線和平面的投影特性；3.幾何元素間的相對位置關(guān)系及其判別基本內(nèi)容第一節(jié)點的投影第二節(jié)直線的投影第三節(jié)平面的投影第四節(jié)幾何元素間的相對位置關(guān)系§3.2直線的投影第三章基本幾何元素的投影一、各種位置直線的投影二、直線上的點三、兩直線的相對位置四、直角投影定理

§3.2直線的投影

兩點確定一條直線。直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為點。因此作直線的投影，實質(zhì)上就是求作直線兩端點的投影，并連接兩端點的同面投影，即為直線的投影。

兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB真實性直線垂直于投影面投影重合為一點ab=0

積聚性a≡b≡mBAM●●●●直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab＜AB

類似性AB●●abα●●abAB●●●●一、各種位置直線的投影

§3.2直線的投影投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面一、各種位置直線的投影

§3.2直線的投影投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。一、各種位置直線的投影1、一般位置直線

§3.2直線的投影

§3.2直線的投影1.水平線的H面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。即a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；3.水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對V面的傾角β；與OYH軸的夾角，反映該直線對W面的傾角γ。水平線的投影特性一、各種位置直線的投影2、投影面平行線b

a

aba

b

b

aa

b

ba

在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另

兩投影面傾角。2.另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

§3.2直線的投影一、各種位置直線的投影2、投影面平行線H面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即：a′b′⊥ox軸a″b″⊥oz軸。鉛垂線投影特性一、各種位置直線的投影3、投影面垂直線

§3.2直線的投影鉛垂線正垂線側(cè)垂線2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)積聚為點積聚為點積聚為點

§3.2直線的投影一、各種位置直線的投影3、投影面垂直線例：判斷下列直線的空間位置d′C′dddCAB為水平線CD為側(cè)平線

§3.2直線的投影鉛垂線正垂線正平線例：找出AB、CD、DE直線的第三投影，判斷空間位置。

若點在直線上,則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。

若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb

若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。ABVHCbcac

b

a

d

d在不在C點直線AB上D點直線AB上D二、直線上的點如何判斷點是否在直線上？

§3.2直線的投影判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法是因a

k:kb≠ak:kb故點K不在AB上。二、直線上的點

§3.2直線的投影例:試在直線AB上取一點C，使AC:CB=1:2，求作C點。解：分點C的投影必在AB的同面投影上。且ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'二、直線上的點

§3.2直線的投影投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉1、平行

§3.2直線的投影abcda

b

c

d

例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CD①X三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉

§3.2直線的投影cbadd

b

a

c

b

d

c

a

對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。結(jié)論:AB與CD不平行例：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影如何判斷三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉

§3.2直線的投影HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。kk

交點是兩直線的共有點k

kK三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉2、相交

§3.2直線的投影●●cabb

a

c

d

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉

§3.2直線的投影例已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點。·aa'bb'cc'dd'mOXnn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。

§3.2直線的投影12●●d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)

同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。

“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼瘛ⅱ蚴牵置娴闹赜包c，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。3

4

●●投影特性：三、兩直線的相對位置關(guān)系——平行、相交、交叉3、交叉

§3.2直線的投影(3

)4

1(2)43341

2

12

§3.2直線的投影例判斷兩直線的相對位置OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩直線?！遖b與cd在一直線上，而ab∥cd，∴兩直線平行?！逤D為側(cè)平線，利用點分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。Emk

§3.2直線的投影1、垂直相交的兩直線的投影定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。2、交叉垂直的兩直線的投影定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。四、直角投影定理

§3.2直線的投影1、垂直相交的兩直線的投影cXb

a

c

baAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac

§3.2直線的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac2、交叉垂直的兩直線的投影

§3.2直線的投影abb′a′例：過Ｂ點作直線ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ為任意長度。XO四、直角投影定理

§3.2直線的投影abb′a′題意分析：XO水平線（實長）有無窮多解，可任意做一解。

§3.2直線的投影四、直角投影定理abcb′c′a′解：

過Ｂ點作直線ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ為任意長度。X