2024年全國(guó)一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題7

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題7試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)。《圓錐曲線——大題》題目主要按長(zhǎng)短順序排版，具體有：短，中，長(zhǎng)，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。中4：（2024年粵J110珠海一中沖刺）18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，，的面積為.

(1)求的方程；（【答案】(1)(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值【分析】（1）依題意可得，即可得到為等邊三角形，由面積公式求出，從而求出、；（2）首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由斜率公式求出，即可得到，最后由斜率公式求出.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，又，所以為等邊三角形，所以，所以，又，所以，則，所以，所以橢圓方程為.（2）將代入解得，所以，由（1）可知，則直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，由得，由，【答案】(1)(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值【分析】（1）依題意可得，即可得到為等邊三角形，由面積公式求出，從而求出、；（2）首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由斜率公式求出，即可得到，最后由斜率公式求出.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，又，所以為等邊三角形，所以，所以，又，所以，則，所以，所以橢圓方程為.（2）將代入解得，所以，由（1）可知，則直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，由得，由，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年粵J109珠海一中沖刺）18．已知橢圓E：過(guò)兩點(diǎn)，，橢圓的上頂點(diǎn)為P，圓C：在橢圓E內(nèi)．

(1)求橢圓E的方程；（【答案】(1)(2)的最大值為，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)題意代入兩點(diǎn)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，則可得，再聯(lián)立，求出坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，代入坐標(biāo)計(jì)算，再求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓方程為.（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，當(dāng)兩條切線均存在斜率時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，則，整理得，所以有又以為直徑的圓的方程為則直線的方程為，整理得，令得，即，聯(lián)立，消去得，所以，即，不妨設(shè)直線的方程為【答案】(1)(2)的最大值為，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)題意代入兩點(diǎn)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，則可得，再聯(lián)立，求出坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，代入坐標(biāo)計(jì)算，再求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓方程為.（2）過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，當(dāng)兩條切線均存在斜率時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，則，整理得，所以有又以為直徑的圓的方程為則直線的方程為，整理得，令得，即，聯(lián)立，消去得，所以，即，不妨設(shè)直線的方程為，則，整理得，所以為方程的兩個(gè)根，則，又，所以，解得，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)兩條切線中一條斜率不存在時(shí)，，此時(shí)PA即y軸，此時(shí)，，綜上的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年閩J10泉州三測(cè)）19.已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過(guò)E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6．

（1）求E的方程；（【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件即可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與雙曲線相交，由弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線與雙曲線相交，由條件得出點(diǎn)S的軌跡可判斷結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，因?yàn)镋中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)E的方程為，令，解得，所以有①又由離心率為2【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件即可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與雙曲線相交，由弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線與雙曲線相交，由條件得出點(diǎn)S的軌跡可判斷結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，因?yàn)镋中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)E的方程為，令，解得，所以有①又由離心率為2，得②，由①②解得，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)及對(duì)稱性，知，聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)整理，得，所以，且，所以，解得，所以直線的方程是或．【小問(wèn)3詳解】若直線l斜率不存在，此時(shí)直線l與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)整理，得，依題意有，因?yàn)楹愠闪?，所以，故，解得：，設(shè)，，則由韋達(dá)定理，得，設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為，由，得，則，變形得到，將，代入，解得，將代入中，解得，消去k，得到點(diǎn)S的軌跡為定直線：上的一段線段（不含線段端點(diǎn)，，設(shè)直線與雙曲線切于，直線與漸近線平行時(shí)于交點(diǎn)為）．因?yàn)?，，且，取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，故，即S的軌跡方程為，表示以點(diǎn)H為圓心，半徑為的圓H，設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，且四條直線的斜率分別為：，，，，因?yàn)椋跃€段是線段的一部分經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿足條件的點(diǎn)S始終在圓H內(nèi)部，故不存在這樣的點(diǎn)S，使得，且成立．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交，常利用“設(shè)而不求”方法解決弦長(zhǎng)，面積，數(shù)量積，斜率等問(wèn)題.（2024年粵J102韶關(guān)二測(cè)）19.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和長(zhǎng)軸的概念建立方程組，解之即可求解；（2）①易知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式和點(diǎn)斜式方程表示出直線、方程，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)計(jì)算求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)T的軌跡方程；②利用面積公式建立關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】①【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和長(zhǎng)軸的概念建立方程組，解之即可求解；（2）①易知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式和點(diǎn)斜式方程表示出直線、方程，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)計(jì)算求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)T的軌跡方程；②利用面積公式建立關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】①：由（1）知，，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，由，解得，即；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線方程為，又直線方程為，由，得，即，解得，將代入直線方程，得，即，又，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)得軌跡方程以及面積問(wèn)題，第二問(wèn)關(guān)鍵是尋找點(diǎn)與直線的斜率之間的關(guān)系，即是求出直線方程的解題關(guān)鍵，表示出的代數(shù)式，需要扎實(shí)的計(jì)算能力才可以化簡(jiǎn)求解.

（2024年閩J12福州三檢）18．（17分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l的斜率為1時(shí)，．

（1）求C的方程；(18．（17分）解：（1）不妨設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立l與C的方程，得，∴，，則，∴由題可知當(dāng)時(shí)，，∴，∴C的方程為18．（17分）解：（1）不妨設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立l與C的方程，得，∴，，則，∴由題可知當(dāng)時(shí)，，∴，∴C的方程為．（2）由（1）知，將R的縱坐標(biāo)2m代入，得，易知C的準(zhǔn)線方程為，又l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，∴，則直線OP的方程為，聯(lián)立OP與C的方程，得，∴，∴Q，R的縱坐標(biāo)相等，∴直線軸，∴，∴，∵點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)），∴，∵，∴，∴，即．（2024年粵J120大灣區(qū)二模）18．雙曲線的焦點(diǎn)為（在下方），虛軸的右端點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)（在第一象限），與直線交于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為．

(1)若的一條漸近線為，求的方程；（18．(1)；(2)1.【分析】（1）根據(jù)結(jié)合雙曲線定義求出，然后根據(jù)漸近線求解即可.（2）設(shè)直線方程與（1）得到的雙曲線聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線相切表示k，再根據(jù)垂直以及向量關(guān)系求解即可.【詳解】（1）依題意，，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，則雙曲線方程為，設(shè)，過(guò)的直線的方程為，即，令，顯然，由消去y得，顯然，由直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得，代入得，由直線與雙曲線相切，得，而，于是，過(guò)點(diǎn)T且與垂直的直線的直線斜率為，方程為，令18．(1)；(2)1.【分析】（1）根據(jù)結(jié)合雙曲線定義求出，然后根據(jù)漸近線求解即可.（2）設(shè)直線方程與（1）得到的雙曲線聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線相切表示k，再根據(jù)垂直以及向量關(guān)系求解即可.【詳解】（1）依題意，，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，則雙曲線方程為，設(shè)，過(guò)的直線的方程為，即，令，顯然，由消去y得，顯然，由直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得，代入得，由直線與雙曲線相切，得，而，于是，過(guò)點(diǎn)T且與垂直的直線的直線斜率為，方程為，令，得，即，令，得，即，設(shè)，由，得，即，代入得，依題意，該雙曲線與雙曲線共焦點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為1.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).（2024年湘J41永州三模）19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為

(1)求軌跡的方程；(19．(1)(2)存在，或((3)【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解；（2）當(dāng)切線斜率都存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立方程組，消元后根據(jù)，整理為，結(jié)合韋達(dá)定理和垂直條件可得，再根據(jù)，即可求解；（3）將代入軌跡的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的面積，再將代入橢圓C的方程可得，由，可得，令，由①②可知，從而求得取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得19．(1)(2)存在，或((3)【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解；（2）當(dāng)切線斜率都存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立方程組，消元后根據(jù)，整理為，結(jié)合韋達(dá)定理和垂直條件可得，再根據(jù)，即可求解；（3）將代入軌跡的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的面積，再將代入橢圓C的方程可得，由，可得，令，由①②可知，從而求得取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，依題意得即，又點(diǎn)在軌跡上，，解得，或(當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時(shí)，結(jié)合圖像得不合題意，綜上，存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或(.（3）將代入軌跡的方程，可得，由，可得①，且，，所以，因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積，將代入橢圓C的方程可得，由，可得②，令，由①②可知，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，由題知的面積，又易知面積，從而四邊形的面積，所以四邊形的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是先求得的面積，再根據(jù)從而可得的面積，又易知面積，從而四邊形的面積.（2024年湘J48長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡四適）18．已知雙曲線：的漸近線為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，設(shè)是雙曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的兩條直線，分別平行于的兩條漸近線，與分別交于P，Q兩點(diǎn).

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程：（18．(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn).【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合即可求得的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作與平行的直線分別與雙曲線交于點(diǎn)，聯(lián)系直線方程與的方程，再結(jié)合的方程即可求得的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)，從而即可求得直線的方程，再由的方程求定點(diǎn)即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榈臐u近線方程為，所以，所以.又右焦點(diǎn)到漸近線的距離為18．(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn).【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合即可求得的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作與平行的直線分別與雙曲線交于點(diǎn)，聯(lián)系直線方程與的方程，再結(jié)合的方程即可求得的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)，從而即可求得直線的方程，再由的方程求定點(diǎn)即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榈臐u近線方程為，所以，所以.又右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，得.又因?yàn)?，所以，所?所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由（1）可知的方程為，設(shè)，所以有，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線分別與雙曲線交于點(diǎn)，由，得，整理得，所以，由于，故，則，故，所以.同理可得.所以直線：恒過(guò)定點(diǎn).（2024年魯J30泰安二模）19．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)與右焦點(diǎn)重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)與右頂點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率也為.

(1)求橢圓的方程；（19．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等面積法可得，利用斜率公式可得，即可求解橢圓方程，（2）根據(jù)對(duì)稱可得，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)斜式求解，的方程，得到，平方代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即可結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)距離求解.【詳解】（1）當(dāng)與右焦點(diǎn)重合時(shí)，,原點(diǎn)到直線距離為,，,當(dāng)與右頂點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率，,.橢圓的方程為（2）證明：為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且不與重合，（且）,，設(shè)方程為，，即，，得，設(shè)，，顯然，19．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等面積法可得，利用斜率公式可得，即可求解橢圓方程，（2）根據(jù)對(duì)稱可得，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)斜式求解，的方程，得到，平方代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即可結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)距離求解.【詳解】（1）當(dāng)與右焦點(diǎn)重合時(shí)，,原點(diǎn)到直線距離為,，,當(dāng)與右頂點(diǎn)重合時(shí)，直線的斜率，,.橢圓的方程為（2）證明：為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且不與重合，（且）,，設(shè)方程為，，即，，得，設(shè)，，顯然，，則，，直線方程為，直線方程為，兩式相除得：①式，①式平方得：，將，代入可得，，與同號(hào)，，由①式知與異號(hào)，，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，設(shè)，，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或者定值的求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.（2024年魯J33濰坊三模）17．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;（17．(1)(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接利用題中的條件列式并化簡(jiǎn)，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）要證為線段的中點(diǎn)，只需證即可，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由直線，可求得點(diǎn)，計(jì)算即可證.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）因?yàn)檩S，所以設(shè)，，，，17．(1)(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接利用題中的條件列式并化簡(jiǎn)，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）要證為線段的中點(diǎn)，只需證即可，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由直線，可求得點(diǎn)，計(jì)算即可證.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）因?yàn)檩S，所以設(shè)，，，，若要證為線段的中點(diǎn)，只需證即可，當(dāng)直線斜率不存在或斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設(shè)直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn).（2024年魯J40臨沂二模）18．已知向量，，點(diǎn)，，直線PD，QD的方向向量分別為，，其中，記動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，

（i）若l過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)C為E上異于A，B的一點(diǎn)，且直線AC，BC的斜率，均存在，求證：為定值；（18．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量分別與，平行列方程組，消去可得；（2）（i）根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，化簡(jiǎn)，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，由點(diǎn)差法化簡(jiǎn)可證；（ii）分斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程消去y，利用韋達(dá)定理代入，結(jié)合直線與圓相切可解.【詳解】（1）設(shè)，則，，又∵，，∴，，由已知得，，消得：18．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量分別與，平行列方程組，消去可得；（2）（i）根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，化簡(jiǎn)，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，由點(diǎn)差法化簡(jiǎn)可證；（ii）分斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程消去y，利用韋達(dá)定理代入，結(jié)合直線與圓相切可解.【詳解】（1）設(shè)，則，，又∵，，∴，，由已知得，，消得：，∴點(diǎn)D的軌跡方程為．（2）設(shè)直線l與E的兩個(gè)交點(diǎn)為，，（i）∵直線l過(guò)原點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．設(shè)，∴，由，得，∴．（ii）∵N為AB的中點(diǎn)，且，∴.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，此時(shí)點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，

∴，∵，∴，∴．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，由，得，∴，，

∵，∴，即，整理得：．又∵l與圓相切，∴．綜上可得，∴圓O的半徑是．（2024年魯J44日照三模）18．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，離心率為.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）由條件知，再根據(jù)，可得，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（i）設(shè)，，，由用與表示，，根據(jù)在雙曲線上，得到；同理由得，所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求的值.（ii）先把轉(zhuǎn)化成，的關(guān)系，結(jié)合（i）的結(jié)論表示出，再分析函數(shù)單調(diào)性，可求的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C：由題意得，，則，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）如圖：設(shè)，，，由與，得，即，將代入18．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）由條件知，再根據(jù)，可得，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（i）設(shè)，，，由用與表示，，根據(jù)在雙曲線上，得到；同理由得，所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求的值.（ii）先把轉(zhuǎn)化成，的關(guān)系，結(jié)合（i）的結(jié)論表示出，再分析函數(shù)單調(diào)性，可求的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C：由題意得，，則，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）如圖：設(shè)，，，由與，得，即，將代入的方程得：，整理得：①，同理由可得②.由①②知，，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根.顯然，由韋達(dá)定理知，所以為定值.（ii）由，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的范圍問(wèn)題的方法與策略：

（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.（2024年湘J51師附二模）17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為，P是直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；（17．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)右頂點(diǎn)和離心率求出和，進(jìn)而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設(shè)存在，然后對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入，即可求出的值.【詳解】（1）由題意在橢圓中，右頂點(diǎn)為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：（2）由題意及（1）得在橢圓中，設(shè)存在常數(shù)，使得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為：，代入橢圓方程得，，17．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)右頂點(diǎn)和離心率求出和，進(jìn)而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設(shè)存在，然后對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入，即可求出的值.【詳解】（1）由題意在橢圓中，右頂點(diǎn)為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：（2）由題意及（1）得在橢圓中，設(shè)存在常數(shù)，使得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為：，代入橢圓方程得，，此時(shí),可得當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程代入橢圓方程得：∴，∵P是直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)∴直線的方程為：∴由幾何知識(shí)得：，，∵∴將，，，代入方程，并化簡(jiǎn)得：解得：綜上，存在常數(shù)，使得（2024年魯J45泰安三模）18．已知的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為，點(diǎn)為的重心，邊，上的兩條中線的長(zhǎng)度之和為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求的方程；（18．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得重心Q到頂點(diǎn)距離之和為大于的定值，根據(jù)橢圓的定義即可求出曲線C的方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，進(jìn)而用弦長(zhǎng)公式表示出，再用所設(shè)斜率k表示出M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，得到面積S的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得到函數(shù)關(guān)系式，求值域即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，的邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為，所以，故由橢圓的定義可知曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）.設(shè)分別為該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距，所以，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得18．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得重心Q到頂點(diǎn)距離之和為大于的定值，根據(jù)橢圓的定義即可求出曲線C的方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，進(jìn)而用弦長(zhǎng)公式表示出，再用所設(shè)斜率k表示出M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，得到面積S的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得到函數(shù)關(guān)系式，求值域即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，的邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為，所以，故由橢圓的定義可知曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）.設(shè)分別為該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距，所以，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，設(shè)，則，即，代入橢圓方程得，所以，則，所以.由對(duì)稱性知，又，所以.，又，所以的取值范圍為，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的定義和直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于用所設(shè)直線的斜率表示出求面積所需邊長(zhǎng)，進(jìn)而用斜率表示出面積，最后化簡(jiǎn)成函數(shù)形式，求取函數(shù)值域即可。（2024年浙J38紹興四月適）18．已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)作直線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.

(1)求的方程；

(2)求的值；（18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由焦準(zhǔn)距的定義求出的值即得；（2）