解三角形及其應(yīng)用教師版

解三角形及其應(yīng)用1.(2024·海南校考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=83,b=6,A=60°,則sinB=().A.23 B.63 C.22 【答案】D【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,則83sin60°=6sinB,故2.(2024·四川模擬)在△ABC中,已知A=7π12,C=π6,AC=22,則AB邊的長為(A.22 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】由A=7π12,C=π6,可得B=π-A-C=π-7π12-π6=π4,由正弦定理可得ACsinB=AB3.(2024·浙江檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2=a2+c2-ac,則B=().A.π6 B.π3 C.3π4【答案】B【解析】依題意得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=124.(2024·湖南模擬)在△ABC中,BC=3,sinB+sinC=103sinA,且△ABC的面積為12sinA,則A=(A.π6 B.π4 C.π3 【答案】D【解析】設(shè)△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,因?yàn)閟inB+sinC=103sinA,所以由正弦定理可得b+c=103a=10,又S△ABC=12bcsinA=12sinA,所以由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc5.(2024·黑龍江統(tǒng)考)愛立信球形體育館位于瑞典斯德哥爾摩,其外形像一個(gè)大高爾夫球.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得愛立信體育館的直徑,在體育館外圍測(cè)得AB=406m,CD=80m,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A,B,C,D四點(diǎn)共面),據(jù)此可估計(jì)該體育館的直徑AD為().(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,7≈2.646)A.98m B.102m C.106m D.122m【答案】C【解析】如圖,連接AC,AD,在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=即AC32=40622在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,即AD2=1202+802-2×120×80×12=11200,所以AD=11200=407≈106(m)6.(2024·上海期中)在鈍角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,則最長邊c的取值范圍是().A.(6,3) B.(2,5)C.(5,22) D.(5,3)【答案】D【解析】因?yàn)椤鰽BC是鈍角三角形,a=1,b=2,且c是最長邊,所以由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0,即c2>a2+b2=5,又c>0,所以c>5.因?yàn)閏<a+b=3,7.(2024·山東統(tǒng)考)某數(shù)學(xué)興趣小組欲測(cè)量校內(nèi)旗桿頂部M和教學(xué)樓頂部N之間的距離,已知旗桿AM高15m,教學(xué)樓BN高21m,在與A,B同一水平面的C處測(cè)得的旗桿頂部M的仰角為30°,教學(xué)樓頂部N的仰角為60°,∠ACB=120°,則M,N之間的距離為().A.511m B.1137mC.1143m D.1173m【答案】D【解析】如圖,過點(diǎn)M作MD⊥BN于點(diǎn)D,則MD=AB.在Rt△ACM中,AM=15,∠ACM=30°,∴AC=3AM=153.在Rt△BCN中,BN=21,∠BCN=60°,∴BC=BN3=73.易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6在△ABC中,∠ACB=120°,由余弦定理得AB=A=(=1137,∴DM=AB=1137.在Rt△DMN中,∠MDN=90°,得MN=DM2+DN2=(8.(2024·浙江模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4,且該三角形有兩解,則b的取值范圍是()A.(23,+∞) B.(23,4)C.(0,4) D.(33,4)【答案】B【解析】由正弦定理得asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=4×sinπ3sinA=23sinA.因?yàn)樵撊切斡袃山?所以π3=B<A<2π3,A≠π2,故sin【方法解讀】解三角形之“三角形解的個(gè)數(shù)”問題在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解9.(2024·福建期中)(多選題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法不正確的是().A.若A>B,則sinA>sinBB.若sin2A+sin2B>sin2C,則△ABC是銳角三角形C.若sinA-sinB=cosB-cosA,則△ABC為等腰三角形D.若a=3,b=2,A=60°,則符合條件的△ABC有兩個(gè)【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,由正弦定理得asinA=bsinB=2R,即a=2RsinA,b=2RsinB,因?yàn)锳>B,所以a>b,所以2RsinA>2RsinB,得到sinA>sinB,對(duì)于選項(xiàng)B,sin2A+sin2B>sin2C,則由正弦定理得a2+b2>c2,即a2+b2-c2>0,又因?yàn)閏osC=a2+b2-c22ab,所以cosC>0,即C為銳角,但無法判斷對(duì)于選項(xiàng)C,由sinA-sinB=cosB-cosA,得sinA+cosA=sinB+cosB,則有2sinA+π4=2sinB+π4,即A=B或A+B=π2,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閍=3,b=2,A=60°,所以bsinA=2×32=3<a,又b<a,所以符合條件的△ABC只有1個(gè),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BCD10.(2024·上海模擬)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則C=.

【答案】π【解析】因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),變形得a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=1211.(2024·陜西模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.已知a=3,S為△ABC的面積,則S+3cosBcosC的最大值是.

【答案】3【解析】因?yàn)閍2=b2+c2+3bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=-32,因?yàn)?<A<π,所以A=5π6.設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,則2R=asinA=3sin5π6=23,所以b=2RsinB=23sinB,c=23sinC,所以S+3cosBcosC=12bcsinA+3cosBcosC=14bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),12.(2024·山西統(tǒng)考)以任意三角形的三條邊為邊,向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形,則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形(稱為拿破侖三角形)的頂點(diǎn).在△ABC中,已知A=90°,AC=23,BC=43,現(xiàn)以AB,BC,CA為邊向外作三個(gè)等邊三角形,其外接圓圓心依次記為D,E,F,則DE的長為().A.42 B.27 C.33 D.25【答案】B【解析】如圖,在Rt△ABC中,AB=BC2-AC2=6,由題意可知BE=12×BCsin60°=12×4332=4,BD=12×ABsin60°=12×632=23,且∠EBC=∠13.(2024·江蘇期中)(多選題)下列結(jié)論正確的是().A.在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形B.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要條件C.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=cos2xD.在△ABC中,若AB=3,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為34或【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)中,因?yàn)閟in2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形,所以A錯(cuò)誤B選項(xiàng)中,由A>B,得a>b,則由正弦定理得sinA>sinB,反之亦成立,所以B正確;C選項(xiàng)中,將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=sin2x+π4=sin2x+π2=cos2x的圖象,所以C正確;D選項(xiàng)中,由正弦定理得ABsinC=ACsinB,即3sinC=1sin30°,得sinC=32,則C=60°或C=120°,所以A=90°或A=30°,所以△ABC的面積為S=12×3×1×sin90°=32或S=12×3×114.(2024·湖北聯(lián)考)(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a=3,a2+b2-c2=2absinC,tanA-tanBtanA+tanBA.C=πB.△ABC外接圓的半徑為1C.c=2D.△ABC的面積為3+【答案】ABC【解析】因?yàn)閍2+b2-c2=2absinC,所以由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=sinC,故tanC=1.因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角由tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,得sinAcosA-sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinC-sinBsinC,則sin(A-B)sin(A+B)=sin(A+B)-sinBsin(A+B),整理得2sinBcosA=由正弦定理得c=asinCsinA=3×22因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=32×22+12×22=6+24,所以△ABC的面積S△ABC=12acsinB=12×3×2×6+15.(原創(chuàng))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,2sinB+3bcosA-32ab=0,△ABC的面積為3,則b+c=()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】因?yàn)閍=2,2sinB+3bcosA=3b,所以asinB+3bcosA=3b,由正弦定理可得sinA·sinB+3sinBcosA=3sinB,即2sinA+π3=3,得sinA+π3=32.因?yàn)棣?<A+π3<4π3,所以A+π3=2π3,得A=π3,所以S△ABC=12bcsinA=由余弦定理知a2=4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以b+c=4.16.(原創(chuàng))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足1tanA+1tanB=c3b【答案】1【解析】由1tanA+1tanB=c3bcosA,得cosAsinA+cosBsinB=sinC3sinB由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,所以a2bc的最小值為17.(原