專題強(qiáng)化02函數(shù)的概念與性質(zhì)必刷大題

專題強(qiáng)化02函數(shù)的概念與性質(zhì)必刷大題1．（2324高一上·河南商丘·期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)，，的值；(2)作出的大致圖象；(3)結(jié)合圖象求不等式的解集.【答案】(1)，，(2)圖象見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)解析式即可；（2）利用二次函數(shù)作出分段函數(shù)圖象；（3）利用圖象法解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)闀r(shí)，，若，則，所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以時(shí)，，而時(shí)，，所以，，.（2）由（1）知，的大致圖象如下：（3）當(dāng)時(shí)，由，得，解得或；當(dāng)時(shí)，由，得，解得或（舍去），結(jié)合（2）中圖象可知的解集為.2．（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）已知的定義域?yàn)?，且恒成?(1)求的值;(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)為上的增函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得，求得并檢驗(yàn)；（2）根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闈M足，故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，符合題意，故.（2）由（1）可知，.函數(shù)在上為增函數(shù).證明如下：任取，所以，所以所以.故為上的增函數(shù).3．（2324高一上·云南·期中）已知函數(shù)（）．(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式，求解即可；（2）不等式恒成立問(wèn)題可以參變分離求最值，也可以直接求得函數(shù)最值.【詳解】（1）由題意得的圖象開(kāi)口向上，其圖象的對(duì)稱軸為直線．因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以解得，即的取值范圍為．（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，即在上恒成立．方法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以（）的最小值為，所以，即的取值范圍為．方法二：因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所以，解得，即的取值范圍是?．（2324高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫出的值域．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由換元法令，求得，代入化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）根據(jù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，可求出時(shí)函數(shù)，的解析式；再由的單調(diào)性即可求出的值域．【詳解】（1）令，則，所以，所以的解析式為；（2）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?5．（2324高一上·北京·期中）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，對(duì)任意總有成立.(1)求與的值；(2)求使成立的的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用賦值法計(jì)算可得；（2）依題意可將不等式化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及定義域?qū)⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意的總有成立，令，可得，則，又，令，則.（2）因?yàn)椋?，所以不等式即，又函?shù)是定義在上的增函數(shù)，所以，解得，即的取值范圍為.6．（2324高一上·北京·期中）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；(2)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，并直接在本題給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像；(3)用表示，中的較大者，即，若，則求的值.【答案】(1)奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)，圖象見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義變形，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象作圖；（3）由，分類解方程和，求得方程的解后檢驗(yàn)是否滿足題意即得．【詳解】（1）函數(shù)為上的奇函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為上的奇函數(shù)；（2），圖象如圖所示，（3），若，則，此時(shí)，，滿足題意；若，顯然時(shí)，無(wú)解；因此，，解得，此時(shí)滿足題意．所以或7．（2324高一上·重慶永川·期中）已知二次函數(shù)的最小值為1，且．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(3)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出解析式.（2）求出在上的最小值，再列式求出即可.（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】（1）依題意，二次函數(shù)滿足，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，由函數(shù)的最小值為，設(shè)，由，得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由（1）知，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，要使函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.8．（2324高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)用定義法證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)求不等式的解集.【答案】(1)為奇函數(shù)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)與定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷即可；（2）任取，且，作差，再判號(hào)得到相應(yīng)結(jié)論；（3）先得到，為奇函數(shù)，從而根據(jù)奇偶性和第一問(wèn)求出的單調(diào)性解不等式，得到答案.【詳解】（1）由，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù).（2）任取，且，，因?yàn)?，且，故，，，，，所以，，故函?shù)在上單調(diào)遞增；（3）由（1）（2）為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，變形為，則要滿足，解得：，故不等式的解集為9．（2324高一上·廣東珠海·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由條件可得，求出的值，然后根據(jù)可求出；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（3）由條件先將不等式化為，結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得滿足的不等式組，從而得出答案.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，則，又因?yàn)?，則，解得，所以，對(duì)于，，即是奇函數(shù)，所以.（2），函數(shù)在上是增函數(shù).證明：任取，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，故函數(shù)在上是增函數(shù).（3）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，則，解得，所以的取值范圍是.10．（2324高一上·河南·期中）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.(1)求，的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)列方程組求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域是在區(qū)間上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)椋謩e是偶函數(shù)和奇函數(shù)，①，所以，即②①②可得，即，①+②可得，即.所以，；（2）由（1）可知，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，又容易得在區(qū)間上的值域?yàn)橛深}可知，的值域是在區(qū)間上值域的子集.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.所以，得.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．（2324高一上·江蘇·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)設(shè)（為實(shí)數(shù)），求在時(shí)的最大值：(3)對(duì)（2）中，若對(duì)任意及任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，求得的定義域，再由函數(shù)，進(jìn)而求得的值域；（2）令，轉(zhuǎn)化為即為函數(shù)的最大值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解；（3）由（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，且，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）解：令，則，由題意知，函數(shù)即為函數(shù)的最大值，拋物線的圖像的對(duì)稱軸為，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)，的圖像是開(kāi)口向下的拋物線的一段，①當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，②當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，③當(dāng)，即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，綜上可得，.（3）解：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，由對(duì)恒成立，即恒成立，即，令，對(duì)所有的，成立，只需，解得或或，所以的取值范圍是.12．（2324高一上·山東菏澤·期中）已知冪函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；(2)若在R上單調(diào)遞增，求函數(shù)在上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由冪函數(shù)定義得到方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，從而求出的解析式；（2）先由（1）得到，，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到在上的最大值在，，中取得，分，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到最值，得到答案.【詳解】（1）由題意，解得或，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，在定義域上不單調(diào)，所以，設(shè)，則，時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以；（2）由（1）可知，在R上單調(diào)遞增，滿足要求，由題意知，，作出大致圖象如圖：

易得，，所以可判斷在上的最大值在，，中取得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，①若，則；②若，則．綜上可知，在區(qū)間上，.13．（2324高一上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意，都有，且時(shí)，有．(1)令，求的定義域(2)解不等式．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用函數(shù)定義域的概念計(jì)算即可；（2）利用賦值法確定的奇偶性與單調(diào)性，后解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以有解得：，所以的定義域?yàn)椋?）令，可得，即，令，得，即，是奇函數(shù)．令，則，且為奇函數(shù)，，在上單調(diào)遞增．由題意可知，∴，即不等式的解為．14．（2324高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明．【答案】(1)，(2)在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)為定義在上的奇函數(shù)，則，求出的值，代入，求出的值.（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，則，此時(shí)，為奇函數(shù)，符合題意，又因?yàn)椋?，解得，所以，．?）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：取任意且，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即所以函?shù)在上為減函數(shù)15．（2324高一上·河南商丘·期中）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)令函數(shù)，記的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用及列方程組求解，然后利用奇函數(shù)定義檢驗(yàn)即可求解；（2）換元法，令，則，分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解最小值，然后根據(jù)的單調(diào)性求解值域即可.【詳解】（1）因?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，所以，所以，解得，所以.檢驗(yàn)：由解析式可知，的定義域?yàn)?，?duì)于，都有，且，所以是奇函數(shù)，滿足題意.故；（2）由題意知，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)，或時(shí)，的最小值；當(dāng)時(shí)，的最小值.；當(dāng)時(shí)，的最小值.所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是.16．（2324高一上·山東聊城·期中）已知函數(shù)，．(1)若命題：，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求函數(shù)的最小值；(3)若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)3(3)．【分析】（1）由否定的定義結(jié)合一元二次不等式的恒成立問(wèn)題求解即可；（2）去掉絕對(duì)值，分類討論得出最值；（3）由一元二次不等式的恒成立問(wèn)題得出，，利用基本不等式求出的最小值，從而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解：由命題：，為假命題可得，，即，，解得；即實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，（3），，即，則，即，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；又由（2）知當(dāng)時(shí)，有最小值3，即當(dāng)時(shí)，的最小值為7．所以．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．17．（2324高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)，，(1)若，成立，求的取值范圍；(2)若對(duì)，總，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)題意得到，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而求解即可；（2）先根據(jù)題意可得原條件等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分，，三種情況討論即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，成立，即，成立，所以，，設(shè)，則，解得或，故的取值范圍為.（2）對(duì)，總，使得，等價(jià)于，等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值，由于在上單調(diào)遞增，因此；因?yàn)殚_(kāi)口向上，且其對(duì)稱軸為，①若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，解得，不符合；②若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，即，解得，符合；③若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，即，無(wú)解，綜上所述，的取值范圍是．18．（2324高一上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式．(2)設(shè)函數(shù)，若的解集為，求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）考慮，和三種情況，解得，即，解不等式得到答案.（2）確定，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算值域得到答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，對(duì)應(yīng)方程的解為，①當(dāng)時(shí)，解集為；②時(shí)，解集為；③時(shí)，解集為；④時(shí)，解集為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.（2）的解集為，故，則，，則，令，則，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，，，故.19．（2324高一上·湖南常德·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，，求函數(shù)的最大值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用奇函數(shù)定義求出的函數(shù)關(guān)系式即可.（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)求解不等式即得.（3）求出給定區(qū)間上函數(shù)解析式，再分類求出在該區(qū)間上的最大值即得.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，有，則，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上為單調(diào)遞增，由函數(shù)為奇函數(shù)，不等式，化為，于是，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以函數(shù)的最大值.20．（2324高一上·江西南昌·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而列出方程組求解即可；（2）分和兩種情況求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意，，即，解得，，此時(shí)，則，即，所以，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.綜上所述，，由題意，存在，不等式成立，則只需要即可，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．（2324高一上·北京·期中）已知函數(shù).(1)若對(duì)任意，都有，則的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出等量關(guān)系，由此求解出的值，則解析式可知；（2）根據(jù)區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系列出不等式，由此求解出的取值范圍；（3）分析對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，且不恒為，所以，所以，所以；（2）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，又在區(qū)間上不單調(diào)，所以，所以，所以的取值范圍為；（3）的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，綜上可知，.22．（2324高一上·重慶·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足.對(duì)定義域內(nèi)的兩個(gè)任意滿足.當(dāng)時(shí)，有.(1)求，的值.(2)若不等式在區(qū)間恒成立.求的最大值.【答案】(1)，；(2)4.【分析】（1）利用給定的函數(shù)等式，結(jié)合求解即得.（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，變形給定不等式，再脫去法則，分離參數(shù)，利用基本不等式求出的取值范圍即得.【詳解】（1）由，，，得，解得，，所以，.（2）由，當(dāng)時(shí)，有，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（1）知，，則不等式，化為，即，于是，依題意，，，即，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，的最大值為4.23．（2324高一上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求a，b值；(2)用定義證明：在上單調(diào)遞減；(3)解關(guān)于t的不等式．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)，解得答案，再驗(yàn)證即可.（2）取，計(jì)算得到證明.（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，解得答