湖北省孝感市九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試題

湖北省孝感市20232024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末模擬試題滿(mǎn)分120分一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分）1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，能熟記中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．2.下列事件中的必然事件是（）A.地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn) B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心C.天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng) D.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈【答案】A【解析】【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，可得答案．【詳解】解∶A、地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)是必然事件，故A正確；B、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；C、天空出現(xiàn)三個(gè)太陽(yáng)是不可能事件，故C錯(cuò)誤；D、經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤；故選∶A．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3.已知是實(shí)數(shù)，則多項(xiàng)式的最小值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將代數(shù)式配方后討論最值即可．【詳解】解：．，，的最小值是，即的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式配方的應(yīng)用，判斷實(shí)數(shù)是解題關(guān)鍵．4.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線(xiàn)先沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后得到的拋物線(xiàn)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的平移口訣：左加右減，上加下減，即可解答．【詳解】解：先沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，可得：，即，故選：D．5.如圖，內(nèi)接于，過(guò)A點(diǎn)作直線(xiàn)，當(dāng)（）時(shí)，直線(xiàn)與相切．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先過(guò)點(diǎn)O作直徑AF，連接BF，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠C＝∠AFB，進(jìn)而可得到∠BAE＝∠F，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，可證出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代換可得∠BAE+∠BAF＝90°，進(jìn)而得到直線(xiàn)DE與⊙O相切．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與相切．理由如下：作AF交圓O于F點(diǎn)，連接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所對(duì)的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF為直徑，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直線(xiàn)DE與⊙O相切．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線(xiàn)的判定，關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，證明∠BAE+∠BAF＝90°．6.一個(gè)不遇明的盒子中裝有10個(gè)除顏色外無(wú)其他差別的小球，其中有1個(gè)黃球和3個(gè)綠球，其余都是紅球，從中隨機(jī)擺出一個(gè)小球．下列判斷正確的是（）甲：摸到紅球比摸到黃球的可能性大；乙：摸到紅球的概率為A.甲、乙都對(duì) B.甲、乙都不對(duì) C.只有甲對(duì) D.只有乙對(duì)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到紅球的個(gè)數(shù)，然后即可得到摸到紅球比摸到黃球的可能性大，以及摸到紅球的概率，從而可以判斷甲和乙的說(shuō)法是否正確．本題考查概率公式、可能性大小，解答本題關(guān)鍵是明確題意，利用概率的知識(shí)解答．【詳解】解：∵不透明的盒子中裝有10個(gè)除顏色外無(wú)其他差別的小球，其中有1個(gè)黃球和3個(gè)綠球，其余都是紅球，∴盒子中有個(gè)紅球，則摸到紅球比摸到黃球的可能性大，故甲的說(shuō)法正確，摸到紅球的概率為，故乙的說(shuō)法正確，故選：A．7.如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，四邊形是平行四邊形，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，得到，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是平行四邊形，，，，故選：C．8.如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在0,2和0,3兩點(diǎn)之間（不包含端點(diǎn)）．則下列結(jié)論中：①；②；③；④一元二次方程的兩個(gè)根分別為，；⑤（其中）．正確的個(gè)數(shù)是（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題干和圖像可得，該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，即；點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是；．將代入該拋物線(xiàn)解析式可判斷結(jié)論①；根據(jù)和將代入拋物線(xiàn)解析式得到的，聯(lián)立可求得、的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)可求的范圍，以此判斷結(jié)論②；將頂點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式得到，等量替換后得到與的關(guān)系再判斷范圍，以此判斷結(jié)論③；綜合和、和的數(shù)量關(guān)系式，解一元二次方程即可判斷結(jié)論④；結(jié)合二次函數(shù)圖象中可得，二次函數(shù)最小值為，則當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合、與數(shù)量關(guān)系式即可判斷結(jié)論⑤．【詳解】解：依題得：該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，即；點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是；．時(shí)，有，即，①錯(cuò)誤；，，又將代入拋物線(xiàn)解析式中得，，即，又，，，②正確；將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式中得，即，，又，，則，③正確；一元二次方程即，即，可解得，，④一元二次方程的兩個(gè)根分別為，正確；時(shí)，在該拋物線(xiàn)中有，，，，⑤（其中）正確；綜上，②③④⑤正確，故正確的個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號(hào)、解一元二次方程、不等式，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題．二．填空題（共8小題，滿(mǎn)分24分）9.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：由題意，得：，．，故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特征是解題的關(guān)鍵．10.在一個(gè)不透明的袋子中裝有白色和紅色的球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．每次攪拌均勻后，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下球的顏色再放回袋中，通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計(jì)袋子中的紅球的個(gè)數(shù)為_(kāi)______________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)頻率估算出概率，然后計(jì)算即可．【詳解】解：（個(gè)，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，熟練掌握概率知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11.將一個(gè)籃球放在高為的長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，發(fā)現(xiàn)籃球的一部分露出紙盒，其截面如圖所示，若測(cè)得，則該籃球的半徑為_(kāi)_____cm．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)為，作于點(diǎn)，取上的球心為，連接，設(shè)，，在中，利用勾股定理可求得籃球的半徑【詳解】解：如下圖所示：取的中點(diǎn)為，作于點(diǎn)，取上的球心為，連接，設(shè)，，∴，∴在中利用勾股定理可得：，將代入中可得：，化簡(jiǎn)整理求得：故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，12.在平面直角坐標(biāo)系中，若，，是二次函數(shù)圖像上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是______．（用“”號(hào)連接）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出其對(duì)稱(chēng)軸與開(kāi)口方向，然后根據(jù)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴對(duì)稱(chēng)軸為，∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向上，則離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)函數(shù)值越大，∵，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)得出對(duì)稱(chēng)軸與開(kāi)口方向是解本題的關(guān)鍵．13.“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣“，早在多年前，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積如圖所示的圓的內(nèi)接正十二邊形，若該圓的半徑為，則這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】如圖，過(guò)作于，由圓的內(nèi)接正十二邊形的性質(zhì)，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∵圓的內(nèi)接正十二邊形的中心角為，∴，∵，∴，∴,這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，含度角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．14.一座拱橋的輪廓是拋物線(xiàn)型（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為_(kāi)____米．【答案】3.5【解析】【分析】如圖所示，建立坐標(biāo)系，然后求出拋物線(xiàn)解析式，然后求出N點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)（10，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），N點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，∴，∴，∴拋物線(xiàn)解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，∴支柱MN的高度=84.5=3.5米，故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意正確建立坐標(biāo)系求解．15.在中，，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)陰影部分的面積＝扇形ADB的面積＋的面積－的面積進(jìn)行計(jì)算即可．詳解】解：∵，∴，由圖可知：陰影部分的面積＝扇形ADB的面積＋的面積－的面積，∵繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到，∴的面積＝的面積，∴陰影部分的面積＝扇形ADB的面積＝；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及扇形的面積．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形的面積是解題的關(guān)鍵．16.如圖，是半的直徑，點(diǎn)C在半上，，．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作于E，連接．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為_(kāi)___________．【答案】cm【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題．如圖，取的中點(diǎn)為，連接、，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接、，，，，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，是直徑，，在中，，，在中，，，當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為：（cm），故答案為：cm．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分72分）17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；（2）將方程化為一般式，再用因式分解法求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：，即，解得，；【小問(wèn)2詳解】解：即解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求解方法．18.如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中B（2、2）、請(qǐng)?jiān)谒o的直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問(wèn)題：（1）與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）的面積為_(kāi)_____；（3）將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為_(kāi)_____，并在網(wǎng)格中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的．【答案】（1）（2，2）（2）2.5（3）（0，1），圖形見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征求解，即可；（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積，即可；（3）連接，作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的旋轉(zhuǎn)中心，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)B和點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∵B（2、2），∴的坐標(biāo)為（2，2）；故答案為：（2，2）；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：的面積等于△ABC的面積，∴的面積等于；故答案為：2.5【小問(wèn)3詳解】解：如圖，連接，作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的旋轉(zhuǎn)中心，∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，1）；故答案為：（0，1）如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換——旋轉(zhuǎn)變換，中心對(duì)稱(chēng)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，中心對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．19.某商場(chǎng)服裝部為了了解服裝的銷(xiāo)售情況，5月份隨機(jī)抽查了25名營(yíng)業(yè)員的銷(xiāo)售額，繪制出了如下的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)信息解決問(wèn)題：（1）圖中m的值為_(kāi)_____，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，12萬(wàn)元扇形的圓心角等于______；（2）統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______萬(wàn)元，中位數(shù)是______萬(wàn)元，眾數(shù)是______萬(wàn)元；（3）如果規(guī)定銷(xiāo)售額24萬(wàn)元為A等級(jí)，銷(xiāo)售額15萬(wàn)元到21萬(wàn)元為B等級(jí)，銷(xiāo)售額12萬(wàn)元為C等級(jí)，從A、C等級(jí)中任意選出兩個(gè)營(yíng)業(yè)員，至少有一個(gè)是A等級(jí)的概率是多少？（用列表法或樹(shù)形圖求解）【答案】（1）28；（2）；18；21（3）【解析】【分析】（1）用1減去其他情況所占的百分?jǐn)?shù)，用乘上12萬(wàn)元所占的百分?jǐn)?shù)；（2）所有數(shù)據(jù)加起來(lái)除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)等于平均數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從大到小或者從小到大的順序排列，奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)最中間的數(shù)據(jù)即為中位數(shù)，偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的和的平均數(shù)即為中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù)；（3）用列表法將所有情況列出來(lái)即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：，，；故答案為：28；；【小問(wèn)2詳解】解：，平均數(shù)為萬(wàn)元，抽查了25名營(yíng)業(yè)員，中位數(shù)為從大到小排列后的第13個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)為18萬(wàn)元，21出現(xiàn)次數(shù)最多，出現(xiàn)了8次，眾數(shù)為21萬(wàn)元；故答案為：；18；21；【小問(wèn)3詳解】解：A等級(jí)3人，B等級(jí)2人，列表如下：一共有20種等可能結(jié)果，至少有一個(gè)是A等級(jí)的有18種，∴P（至少有一個(gè)是A等級(jí)）．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)的分析和概率的計(jì)算，正確理解并掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念，能熟練用列表法求概率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20.如圖，內(nèi)接于⊙O，且AB為的直徑，，與交于點(diǎn)E，與過(guò)點(diǎn)C的的切線(xiàn)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，證明，，證明為直角，由可得，結(jié)合，證明，即可得證；（2）先求出證明，可得，結(jié)合，表示出，即可求解；（3）如圖，延長(zhǎng)交于H，連接，證明，設(shè)的半徑為r,可得，再利用正切的定義進(jìn)行計(jì)算即可；【小問(wèn)1詳解】連接，∵為的切線(xiàn)，∴，∵為直徑，點(diǎn)C在上，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，解得，∴．【小問(wèn)3詳解】如圖，延長(zhǎng)交于H，連接，∵為直徑，，∴，∵，∴，∴∴，∴，∴，∵F為的中點(diǎn)，設(shè)，的半徑為r，∴，∴解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合應(yīng)用，勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．21.戴口罩是阻斷呼吸道病毒傳播的重要措施之一，某商家對(duì)一款成本價(jià)為每盒50元的醫(yī)用口罩進(jìn)行銷(xiāo)售，如果按每盒70元銷(xiāo)售，每天可賣(mài)出20盒．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每盒口罩售價(jià)每降低1元，則日銷(xiāo)售量增加2盒．設(shè)每盒售價(jià)降低元．（1）日銷(xiāo)量可表示為_(kāi)___________盒，每盒口罩的利潤(rùn)為_(kāi)___________元（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，商家可以獲得最大日利潤(rùn)？并求出最大日利潤(rùn)．（3）如果每銷(xiāo)售一盒口罩需支出元的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，商家日獲利的最大值為420元，求的值．【答案】（1），（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為65元時(shí)，商家可以獲得最大日利潤(rùn)，最大日利潤(rùn)為450元（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練建立二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用日銷(xiāo)售量降低的價(jià)格，每盒口罩的利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)日利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×每盒口罩利潤(rùn)建立二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．（3）設(shè)當(dāng)每盒降價(jià)為x元時(shí)，商家獲得的利潤(rùn)為W元，，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，商家日獲利的最大值為420元，從而可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知：每盒口罩售價(jià)每降低1元，則日銷(xiāo)售量增加2盒，∴降低x元，銷(xiāo)售量增加盒，那么日銷(xiāo)售量為盒，每盒口罩利潤(rùn)為元，故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)當(dāng)每盒降價(jià)為x元時(shí)，商家獲得的利潤(rùn)為W元，由題意可知：，∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，W有最大值，即元，∴售價(jià)應(yīng)定為元，答：當(dāng)每盒售價(jià)定65元時(shí)，商家可以獲得最大日利潤(rùn)，最大日利潤(rùn)為450元．小問(wèn)3詳解】設(shè)當(dāng)每盒降價(jià)為x元時(shí)，商家獲得的利潤(rùn)為W元，由題意可知：，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，W隨著x的增大而增大，∴時(shí)函數(shù)取最大值，又∵當(dāng)時(shí)，商家日獲利的最大值為420元，∴，解得：．22.在“綜合與實(shí)踐”課上，同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）探究發(fā)現(xiàn)如圖，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AD，連接，若，則的度數(shù)是．（2）類(lèi)比延伸如圖，在中，，．在內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，若，試判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）遷移應(yīng)用如圖，在中，，．在直線(xiàn)的上方有一點(diǎn)，連接，若∠，則存在實(shí)數(shù)使得成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差關(guān)系即可求解；（）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，得等腰直角，進(jìn)而得，再由勾股定理即可得出結(jié)論；（）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，得等腰，，進(jìn)而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：，理由如下：如圖中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連