專題02 勾股定理中的翻折模型（原卷版）

專題02.勾股定理中的翻折模型翻折問(wèn)題屬于圖形變換中的實(shí)際問(wèn)題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問(wèn)題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因?yàn)榇蟛糠址蹎?wèn)題是對(duì)矩形進(jìn)行翻折，所以翻折后由于線段交錯(cuò)，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因?yàn)榉蹎?wèn)題本身是軸對(duì)稱的問(wèn)題，所以翻折前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段會(huì)被折痕所在直線垂直平分；折痕還會(huì)平分翻折所形成的的兩個(gè)角?？傊?，翻折問(wèn)題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識(shí)就能讓此類問(wèn)題迎刃而解了。【知識(shí)儲(chǔ)備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問(wèn)題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長(zhǎng)用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長(zhǎng)度。模型1.折痕過(guò)對(duì)角線模型【模型解讀】沿著矩形的對(duì)角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對(duì)角線AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對(duì)角線BD對(duì)折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6例2．（2022春·福建泉州·八年級(jí)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在處．(1)求CF的長(zhǎng)；(2)求重疊部分△AFC的面積．例3．（2023·貴州黔東南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為.將矩形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且交軸于點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.模型2.折痕過(guò)一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形紙片中，，，折疊紙片使的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，折痕為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．例2．（2022·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上F處，已知，，則______．例3．（2023春·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿折疊后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．例4．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)、在上，將，分別沿著，翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好重合在點(diǎn)處，則的值是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在矩形的邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，翻折后，點(diǎn)恰好落在邊上？這時(shí)重疊部分的面積等于多少？模型3.折痕任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南駐馬店·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形紙片中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，連接，則當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是．例2．（2022·成都市八年級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．例3．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)校考期中）如圖所示，四邊形是一張長(zhǎng)方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，，則的面積為_(kāi)________．例4．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)______例5．（2022·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)A、D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N．如果直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么的長(zhǎng)是__________．模型4.過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)所在直線（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過(guò)點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過(guò)點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長(zhǎng)為．(2)把沿著直線翻折，使得點(diǎn)C落在邊上E處，求的長(zhǎng)．例2．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，為的平分線，將沿向上翻折得到，使點(diǎn)在射線上，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·上海靜安·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，將沿著直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，連接．如果，那么的長(zhǎng)為．模型5.過(guò)斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；2）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.3）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．例2．（2023春·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_________．例3．（2023秋·上海徐匯·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)______模型6.過(guò)任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合；例1．（2022·河南·八年級(jí)期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿直線折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．3或 D．3或例2．（2022·重慶市七年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的F點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．模型7其他三角形翻折模型例1．（2022·成都西川中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時(shí)，線段EB的長(zhǎng)為_(kāi)____．例2．（2022·內(nèi)江九年級(jí)期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．例3．（2023春·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點(diǎn)，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點(diǎn)F，連接BE，則點(diǎn)E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．例4．（2023·陜西西安·八年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點(diǎn)，若把△BDE沿DE翻折，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處，則BD的長(zhǎng)是．例5．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，，,，點(diǎn)E在線段AC上，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)，，則．例6．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·河北保定·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知中，，將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點(diǎn)F．若，，則點(diǎn)E到的距離為（）A． B． C． D．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形ABCD中，，，P為AD上一點(diǎn)，將沿BP翻折至，PE與CD相交于點(diǎn)O，且，則AP的長(zhǎng)為（

）A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.54．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形ABCD沿EF翻折，使B點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，已知AD＝8，CD＝4，則折痕EF的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C． D．5．（2023·廣東·八年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，先將矩形沿著直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，再將沿著直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為()A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片翻折，使點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線交點(diǎn)O處，折痕為，點(diǎn)E在邊上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2023·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF翻折，點(diǎn)A恰好落在BC的處，若，，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．8．（2023·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)是______．9．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．10．（2023春·北京東城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，E為上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．11．（2023·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一塊長(zhǎng)方形紙片沿翻折后，點(diǎn)C與E重合，交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)度為．12．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）綜合實(shí)踐課上，小聰用一張長(zhǎng)方形紙ABCD對(duì)不同折法下的折痕進(jìn)行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝5，（1）把長(zhǎng)方形紙片沿著直線EF翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，如圖①，則折痕EF長(zhǎng)為；（2）在EF，A′D′上取點(diǎn)G，H，沿著直線GH繼續(xù)翻折，使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，如圖②，則折痕GH長(zhǎng)為．13．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，連接，將沿翻折，得到，交于點(diǎn)F，連接．若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．14．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CE，將沿直線CE翻折得到，連接．當(dāng)點(diǎn)落在邊AD上，且點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為．15．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)校聯(lián)考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為．16．（2023·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BC=5，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)F處，那么CE的長(zhǎng)度是________．17．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，將斜邊翻折使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為18．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，將此三角形沿DE翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE長(zhǎng)為．19．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考期中）如圖、將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求圖中的面積．21．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)期末）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時(shí)，連接AA'，求AA'的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時(shí)，連接A'D，求A'D的長(zhǎng)．22．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在學(xué)完矩形的性質(zhì)后，老師組織同學(xué)們利用矩形的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．小亮發(fā)現(xiàn)矩形折疊后，會(huì)出現(xiàn)全等的圖形；小穎發(fā)現(xiàn)矩形折疊后會(huì)得到直角三角形，請(qǐng)利用同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)解決下列問(wèn)題．(1)如圖1，矩形，，，將延對(duì)角線翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與