2024-2025學(xué)年人教版高二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 空間向量與立體幾何 鞏固訓(xùn)練

第一章空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)鞏固

一、單選題

1.在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體ABCD-A.B^D,中，

AA.AB==ABAD=60°,則AG的長(zhǎng)為()

A.2也B.275C.2底D.6

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,1,^)B.(2,1,4)C.(-2,-1,^)D.(2-1,4)

3.已知向量￡=(2,-1,3),5=(-1,4-2),2=(1,3，孫若2,5,工共面，則彳=()

A.4B.2C.3D.1

4.設(shè)x,yeR,向量商=,c=(2,-4,2),lb,b//c,則卜+可

等于()

A.2V2B.VlOC.3D.4

5.已知平面a的一個(gè)法向量為三=。,-2,2),點(diǎn)M在a外，點(diǎn)N在a內(nèi)，且

W=(-1,2,1),則點(diǎn)M到平面。的距離d=()

A.1B.2C.3D.近

2

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量市=(1,2,3),麗=(2,1,2),麗=(1,1,2),點(diǎn)0在直線如

上運(yùn)動(dòng)，則9?詼的最小值為()

A.-B.--C.-D.--

3333

7.已知空間單位向量￡,b,Z兩兩垂直，貝山-石+4=()

A.石B.V6C.3D.6

8.已知空間向量a,B的夾角為三，且同=2,忖=1,則￡+25與B的夾角是()

A.4B.2C.4D.塞

6644

9.如圖，在四面體如歐中，函=2赤=瓦元=八點(diǎn)M在線段如上，且

2OM=MA^N為BC中點(diǎn)、,

322

c11r1

C.-a+—b-—cD.——a+—b+—c

222322

10.已知方=（2,0,-1）,B=（3,-2,5）,則向量B在向量力上的投影向量是（）

iiii

A.-（3,-2,5）B.-（3,-2,5）C.-（2,0,-1）D.-（2,0,-1）

jJo3Jo

二、多選題

11.若加，瓦可是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+a

C.a+2b,2Z?+3?,3a-9cD.a+b+S,b,c

12.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）

A.若己方＞0,則向量心B的夾角是銳角

B.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

1__.1__o_

C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，^OP=-OA+-OB+-OC,則RA,B,。四點(diǎn)共面

D.若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不

共面

13.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AD=4,

ZABC=9Q°,PAL平面PA=AB=3C=2,下列說(shuō)法正確的是（）

A.必與5所成的角是60°

B.平面9與平面⑸8所成的銳二面角余弦值是亞

3

C.必與平面板所成的角的正弦值是￡

D.點(diǎn)/到平面/O的距離為孚

14.如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱ABC-4BC中，AC=2,BB、=C,

D,E分別為棱BC,B用的中點(diǎn)，則()

A.9〃平面

B.AD1QD

C.異面直線AC與。E所成角的余弦值為平

D.平面ADG與平面ABC的夾角的正切值為0

三、填空題

15.已知向量萬(wàn)與5的夾角為60。，\a\=2,\b\=6,則2方-5在4方向上的投影

為.

16.已知。=(6,3,3),b=(.-2,t,-l).若0與B的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)/的取值范圍

是.

17.已知石是兩個(gè)空間向量,若|回=2,出|=2,\a-b\=y/l,則cos〈￡,石〉=.

四、解答題

18.如圖所示，在三棱錐4一38中，DA、DB、加兩兩垂直，^.DA=DB=DC=2,

￡為a1的中點(diǎn).

⑴證明：AE1BC；

⑵求直線也與。。的夾角的余弦直

19.如圖，在正方體ABCD-ABCQ中，E,歹分別是即，。用的中點(diǎn).

(1)求證：4。〃平面3CC畫;

⑵求證：EF1A.D

20.如圖，已知四邊形被⑦為矩形，AB=4,AD=2,￡為。。的中點(diǎn)，將VADE沿

也進(jìn)行翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)夕重合，且

PB=26

(1)證明：PA±BE；

⑵求平面總與平面尸CE所成角的正弦

值.

21.如圖，四邊形A5co中，AB^AD,AD//BC,AD=6,BC=4,AB=2,分別

在3C,A￡＞上，EF//AB.現(xiàn)將四邊形樨F沿EF折起，使得平面平面跖DC.

⑴當(dāng)3E=1時(shí)，是否在折疊后的AO

上存在一點(diǎn)P,使得CP//平面AB￡F?

若存在，求出P點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)

明理由；

(2)設(shè)=問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A-CD尸的體積有最大值？并求出這個(gè)最

大值.

22.如圖，三棱柱ABC-AgG中，AB=AC=2,胡=6，AB=AC,點(diǎn)。為A3

的中點(diǎn)，且A4JC，4C,

8

(1)求證：的，平面A8C；

⑵若VABC為正三角形，求BC與平面A,DC所成角的正弦

XC

值.

B

參考答案

1.c

【分析】先將幅用福而，隨表示，然后再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.

【詳解】因?yàn)锳C1=AB+W+CQ=AB+AD+A^,所以

|AG|=(AB+AO+AAj=AB+AD+A4i+2AB-AD+2AB-AA.+2AD-AA.

=4+4+4+2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60°

=4+4+4+4+4+4=24,

從而|宿卜2"，即AG的長(zhǎng)為2?.

故選：C.

2.C

【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,-1,-4).

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)共面定理得心根￡+小，即可代入坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)槿隻,I共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)、”，使得％=拓+川，

2m-n=1m=l

ip(1,3,X)=m(2,-1,3)+M(-1,4,-2),gp<-m+4n=3,解得，w=l.

3m-2〃=XA=1

故選：D

4.C

【分析】由向量的位置關(guān)系列式求出不匕根據(jù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.

【詳解】?.不/片，

:.2y=-4xl,

???y=-2,.-.&=(1-2,1),

aVb，

:.d'b=xl+lx(-2)+l=0,

.'.x=l,..5=(1,1,1).

a+b=(2,-1,2),

:.\a+b\=^22+(-l)2+22=3.

故選：C.

5.A

【分析】由點(diǎn)到平面的距離的向量法公式直接計(jì)算求解即可.

【詳解】由題得d=W*」TT+2|=i.

同3

故選：A.

6.B

【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可表示出麗，進(jìn)而再求函，9的坐標(biāo)即可運(yùn)

算.

【詳解】而=(1,1,2),點(diǎn)0在直線冰上運(yùn)動(dòng)，

可設(shè)0Q=AOP=(尢A,22),

又向量市=(1,2,3),礪=(2,1,2),

/.04=(1-2,2-2,3-22),0B=(2-A,1-2,2-22),

則諉?雜=(1_九*(2_4+(2_為><(1_；1)+(3_2；1卜(2_2/1)=6；12_]6；1+10.

4?

易得當(dāng)4=§時(shí)，Q4QB取得最小值

故選：B.

7.A

【分析】先根據(jù)單位向量得出模長(zhǎng)，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求

解模長(zhǎng)即可.

【詳解】因?yàn)榭臻g單位向量4石忑兩兩垂直,

所以同=(D煙=1,同=。,cfb=cS)=bc=,

所以卜-B+W=+W=yja1+b2+c2-2cfb-bc+de

=71+1+1-0-0+0=73.

故選：A.

8.A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長(zhǎng)公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.

【詳解】由Z,B的夾角為（且同=2,忖=1得仿+2辦5=7B+27=2xlx（+2=3,

fl+2^|=7a2+4&2+4a-&=.4+4+4x2xlx-=2^,

a+2bYb

________3

設(shè)Z+2B與B的夾角為則cos0=

卜+25帆一2有一2j

由于夕e[o,可，故

o

故選：A

9.D

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.

［詳解］依題意，MN=MO+OB+BN=-^OA+OB+^BC=-^OA+OB+^(OC-OB)

1—,1—.1—.11-1

=一一OA+-OB+-OC=a+-b+-c.

322322

故選：D

10.C

【分析】直接利用向量的夾角運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求解投影向量.

【詳解】因?yàn)閍=（2,0,-1）,&=（3,-2,5）,則向量B在向量方上的投影為

展B_2x3+0x(-2)+(-1)x5_逐

同,4+15，

所以向量萬(wàn)在向量讓的投影向量是鄉(xiāng)后=冬也=卜=!（2,0,-1）.

3\Cl\JsjjJJ

故選:c.

11.ABD

【分析】根據(jù)空間向量基底的概念可得解.

【詳解】由已知b,^不共面，則2b,31不共面，A選項(xiàng)正確；

y=1

^a+b=x(b+c^+y[c+d)=ya+xb+^x+y^c,即<x=l方程無(wú)解，

x+y=0

所以M+5,b+c,i+型不共面，B選項(xiàng)正確；

3n=l

設(shè)a+2b=m(2b+3c^+n(3a-9c^=3na+2mb+(3m-9n^c,即<2m=2,解得：

3m-9n=0

m=l

<1,

I3

即G+2方=(25+33+/3萬(wàn)-9可，所以"25,25+33,3商一%共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)。+5+無(wú)=焉+〃},顯然三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

12.BC

【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷B；根據(jù)2虛>0,得到圓Be0a)，即可

判斷A；根據(jù)力1+；1+:9=1判斷四點(diǎn)共面即可判斷C;異面直線的平行線即可判斷

D.

【詳解】對(duì)A,若>B>0,貝詞,Be0弓],則向量以5的夾角可以為0不是銳角，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三

個(gè)向量一定共面，故B正確.

__.1__,1__,7___?119

對(duì)C,^OP=-OA+-OB+-OC,且不+1+；=1,所以P,B,A,C四點(diǎn)共面，故C

正確.

對(duì)D,分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量是

異面直線的平行線可以共面，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.AC

【分析】以鉆，M，AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由空間向量法求線線

夾角，二面角，線面角，點(diǎn)面距，從而各選項(xiàng).

【詳解】由已知，以鉆，心”為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則3(2,。,0),

C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2),

PB=2y[29CD=2y/29PC=(2,2,—2),

而=(2,0,-2),①=(-2,2,0),PBCD=-4,

__________、pR(JE)—4-1

c°s(麗也.同行0=<<MCZ5><180°,

所以＜而,該＞=120。，所以PB,CD的夾角是60。，A正確;

設(shè)平面尸CD的一個(gè)法向量是五=(x,y,z),

m?PC=2x+2y-2z=0

由＜取x=l,則y=l,z=2,即加=(1,1,2),

m-CD=-2x+2y=0

顯然平面F鉆的一個(gè)法向量是3=(0,1,0),

-一m-n1V6

cos＜m,n＞=]—n~~r——尸———

,憫V6xl6，

平面9與平面為8所成的銳二面角余弦值是逅，B錯(cuò);

6

_P_B__-_m__2-4__B

cos<PB,m>=

阿同2丘義底6'

所以必與平面板所成的角的正弦值是3，C正確;

6

而=(0,4,0),

4_2A/6

D錯(cuò).

故選：AC.

【分析】選項(xiàng)A由線面平行的判定定理可證；選項(xiàng)B由線面垂直可證線線垂直;

選項(xiàng)CD可由空間向量法可得.

【詳解】選項(xiàng)A：

如圖連接AC交AC于尸，連接。尸,

由題意可知/為AC的中點(diǎn)，又。為3c的中點(diǎn)，故48〃。尸，

又平面AOG,DFu平面A3G,故人呂〃平面故A正確;

選項(xiàng)B：由題意VA3C為等邊三角形，。為BC的中點(diǎn)，

^ADIBC,

又棱柱ABC-為直三棱柱，故AOL8與，

又Ben典=3,BCu平面BCC由，典u平面BCC4,

故ADL平面BCGA,又CQu平面BCC4,故AOLC］。，故B正確;

選項(xiàng)C：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0Q0),C（0,-l,0）,E\0,1,

因A0=2X^^=6，故/（V^O'O），

所以前=卜6,-1,0),DE=。，成

7

設(shè)異面直線AC與OE所成角為。，則

_V6

cosa-|cosAC,￡）E|=

二6

故c錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D：由題意平面A8C的一個(gè)法向量為7=(0,0,1),

G（0,-1,啦），次=（也,0,0）,南=（0,-1,0）,

設(shè)平面AQC］的法向量為7=(x,y,z),則

j-DA^O底=0J「E

I」，即L,設(shè)丁=應(yīng)，貝（J%=0,z=l,

[j-DC^O—1xy+，2z=0

故7=（0,0R,

CST1

設(shè)平面ADQ與平面ABC的夾角為P,則l°3，

_A/6

故sin￡=（l-cos?0=

一號(hào)'

故也”=黑=0，故D正確，

故選：ABD

15.1

【分析】根據(jù)題意可得無(wú)加=6,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合向量投影的定義運(yùn)算求

解.

【詳解】因?yàn)榉脚c方的夾角為60。，向=2,忖=6,則a/WWcos6(r=2x6xg=6,

則(2汗一5)0=2舊「一無(wú)5=2x22-6=2,

所以2”日在2方向上的投影為<I」=2=1.

同2

故答案為：L

16.S，-1)5-1,5)

【分析】

根據(jù)題意得出:7<0且0與后不共線，根據(jù)數(shù)量積公式列出不等式并排除向量反

向時(shí)/的值，即可得出答案.

【詳解】由題意可知，:7<0,且￡與B不共線.由：7=_12+3/-3<0,解得/<5?若

G與B共線，

則—=：=一，即，=-1，則￡=-3B，Z與B方向相反需要舍去，

因此實(shí)數(shù)，的取值范圍為(f,-03-1,5).

故答案為：(f-1)3-1，5)

17.1/0,125

O

【分析】將司=力■兩邊平方，求出的值，利用向量的夾角公式，即可求得

答案.

【詳解】由題意得1=2,|昨2,\a-bl=y/7,

則|Z-W=7,即藍(lán)一2力+坂2=7，則=g

故答案為：g

18.（1）證明見(jiàn)解析

⑵巫

6

【分析】（1）以。為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，DB,DC,分別為x，Xz軸建立空

間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)荏.元=0證明即可；

（2）根據(jù)空間向量的夾角公式求解即可.

【詳解】（1）以。為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，DB,DC,D4分別為x?，z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,2),3(2,0,0),C(0,2,0),E(l,l,0),

故荏=(1,1,-2),BC=(-2,2,0),

則謖屁=1x(—2)+lx2+(-2)x0=0,故18c.

(2)由(1)AE=(1,1-2),DC=(0,2,0),

,mAEDC1x2屈

milcosAE,DC=??

'JA￡.DC^12+12+(-2)2X26

故直線也與爪的夾角的余弦值為￡

6

19.（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則。(0,0,0),A(2,0,2),￡(2,2,1),*1,1,2),C(0,2,0),

所以皮=（0,2,0）,國(guó)=（2,0,2）,

因?yàn)镺C，平面BCC4,所以覺(jué)=（0,2,0）為平面BCCE的一個(gè)法向量,

又就訪=。，即發(fā)

又AOcz平面BCC百，所以〃平面8CGA.

（2）由（1）知麗=（一1,一1,1）,

所以而?B=-1X2+（-1）X0+1X2=0,所以E/rAQ.

20.（1）證明見(jiàn)解析

⑵逅

3

【分析】（1）利用勾股定理分別證出BELAE,BE±PE,進(jìn)而得出BE,平面R場(chǎng)，

即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系B-孫z,分別求出平面PCE和平面R4E一個(gè)法向量，利

用向量夾角公式即可求解.

【詳解】（1）證明：由題知AE=2E=2忘，

所以AB?二檢+3磨，

所以AABE為直角三角形，BE±AE,

因?yàn)镻B=DE=2,BE=25/2,PB=2框,

^^PB2=PE2+BE~,

所以△P3E為直角三角形，BELPE,

因?yàn)?瓦AE,尸Eu平面R4E,

所以BE_L平面B4E,因?yàn)镻Au平面B4E,

所以R4L3E；

（2）由題知以6為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系8-町z,

y

取四中點(diǎn)弘由題知PE=AE,所以PMLAE,

由（1）知BE_L平面外￡,所以PM_LBE,

因?yàn)锳EIBE=E,所以9,平面ABE,

B（0,0,0）,A（0,4,0）,C（2,0,0）,￡（2,2,0）,M（l,3,0）,P（l,3,72）,

CE=（0,2,0）,CP=（-1,3,V2）,

設(shè)平面力"的一個(gè)法向量為正=（無(wú),y,z）,

由（1）知BE_L平面B4E,

所以而是平面必￡的一個(gè)法向量，而=（2,2,0）,

設(shè)平面以￡與平面所成角為9,

所以13田=叵3=呂=￥，

\m\-\BE\V3.2V23

因止匕sin0—A/1—cos29—

21.（1）答案見(jiàn)解析

⑵x=3,最大值為3

AP7

【分析】（1）先找到點(diǎn)色=：,再證明此時(shí)CP//平面AB￡F.

(2)BE=x,AF=x(0<x<4),e=6-x,體積的表達(dá)式為V=-1(x-3)?+3得到

答案.

APa

【詳解】⑴存在點(diǎn)P,使得CP//平面筋防，止匕時(shí)器=￡

AP3.AP3

當(dāng)而二5時(shí)tH,而二二,

過(guò)點(diǎn)P作M