浙江省杭州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題含解析

浙江省杭州市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，先求出集合，然后利用并集的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，又因?yàn)榧希刹⒓母拍羁芍?，，故選：.2.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則的值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得出，然后依據(jù)題意即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部為，所以，則，故選：.3.已知圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，可知底面圓的半徑，再求的底面圓的面積和圓錐的側(cè)面積，即可求得該圓錐的表面積.【詳解】由于圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，則圓錐底面圓的半徑為，底面圓的面積為，圓錐的表面積為.故選：C.4.2024年10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨其次十次全國(guó)代表大會(huì)成功閉幕．某班實(shí)行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)老師節(jié)目，假如將這兩個(gè)老師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個(gè)老師節(jié)目相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先插入第一個(gè)節(jié)目，再插入其次個(gè)節(jié)目，再依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算插入的狀況數(shù)量及這兩個(gè)老師節(jié)目恰好相鄰的狀況數(shù)量,再應(yīng)用古典概率公式求概率即可.【詳解】由題意可知，先將第一個(gè)老師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法，再將其次個(gè)老師節(jié)目插入到這6個(gè)節(jié)目中，有7種插入法，故將這兩個(gè)老師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有（種）狀況，其中這兩個(gè)老師節(jié)目恰好相鄰的狀況有（種），所以所求概率為.故選:D.5.已知，，，，過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，點(diǎn)滿意，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，由平面對(duì)量數(shù)量積的定義及余弦定理可得，再由平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】由題意，作出圖形，如圖，，，，，由可得，，又，則，.故選：D．6.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)由題意，可得，構(gòu)造，得到則，再令，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以令，則，令，則，所以上單調(diào)遞減，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕?，所以，所以，?故選：A.7.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線以及橢圓的定義可得，，進(jìn)而在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理即可得，結(jié)合均值不等式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則依據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，，，，設(shè)，，則：在△中由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，即，又，，即，即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為．故選：B8.已知在矩形中，，，，分別在邊，上，且，，如圖所示，沿將四邊形翻折成，設(shè)二面角的大小為，在翻折過(guò)程中，當(dāng)二面角取得最大角，此時(shí)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過(guò)作的垂線交與，交于，于，然后利用定義法可得為二面角的平面角，設(shè)，可得，，從而，然后求函數(shù)最大值時(shí)的值即可.【詳解】過(guò)作的垂線交與，交于，于，設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則在直線上，過(guò)作的垂線，垂足為，則為二面角的平面角，設(shè)，由題意，，則，由，，得，所以，所以，令，可得，則，所以，當(dāng)即，也即時(shí)，取到最大值，此時(shí)最大，即二面角取得最大角.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】AD【解析】【分析】利用概率對(duì)于即可推斷A；依據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可推斷B；依據(jù)百分位數(shù)的求法即可推斷C；利用方差公式求解即可推斷D.【詳解】對(duì)于A，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，以簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)方差是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B.的一個(gè)周期是C.的最大值為 D.是區(qū)間上的減函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式推斷與是否相等推斷A，推斷與是否相等推斷B，利用三角函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推斷CD.【詳解】由，對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的最大值為，?dāng)時(shí)，，取得最大值，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于D，，又函數(shù)連續(xù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.已知正四棱錐的全部棱長(zhǎng)均為，，分別是，的中點(diǎn)，為棱上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.異面直線、所成角的大小為B.直線與平面所成角的正弦值為C.周長(zhǎng)的最小值為D.存在點(diǎn)使得平面【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)空間中異面直線所成角，直線與平面所成角的定義，空間中折疊問(wèn)題以及垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)運(yùn)算求解即可．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又正四棱錐的全部棱長(zhǎng)均為，則，所以異面直線，所成角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)正方形的中心為，連接，，則平面，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，則，且平面，所以為直線與平面所成角，所以，中，，，，所以由余弦定理可得，所以，所以，故B正確；將正和沿翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以周長(zhǎng)的最小值為，故C正確；若平面，則，此時(shí)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，而此時(shí)，與明顯不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：BC．12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，且圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（）A. B.周期C.在單調(diào)遞減 D.滿意【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，得到的周期為,結(jié)合，求得，得到A正確，B錯(cuò)誤；再由的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，得出在單調(diào)遞減，可判定C正確；依據(jù)的周期求得，，，結(jié)合特殊函數(shù)的圖象，可判定D不正確.【詳解】由，可得的對(duì)稱(chēng)軸為，所以又由知：，因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，故，所以，即，所以，所以的周期為,所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，又圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，故C正確；依據(jù)的周期為，可得，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以且，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得在上單調(diào)遞增，如圖所示的函數(shù)中，此時(shí)，所以不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】規(guī)律探求：對(duì)于函數(shù)的基本性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題解答時(shí)，涉及到函數(shù)的周期性有時(shí)須要通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的時(shí)函數(shù)值隨自變量改變而改變的規(guī)律，因此在解題時(shí)，往往西藥借助函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知拋物線E：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，則__________.【答案】##1.5【解析】【分析】利用拋物線的定義結(jié)合三角形中位線定理求解即可.【詳解】設(shè)軸交準(zhǔn)線于，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，則由拋物線的定義可得，在中，，所以，故答案為：14.在的綻開(kāi)式中的系數(shù)為，則_______．【答案】2【解析】【分析】首先求出的綻開(kāi)項(xiàng)中的系數(shù)，然后依據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式綻開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題.15.已知正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)不等式特征可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式可得，再依據(jù)基本不等式即可求得的最小值是.【詳解】由題意可得將不等式變形成；又因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以；可構(gòu)造函數(shù)，易知函數(shù)為增函數(shù)，由可得，即，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，因此的最小值是.故答案為：16.函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，且.已知對(duì)隨意，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，的取值范圍為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得有兩個(gè)不相等的實(shí)根，利用換元法，分別參數(shù)，令，則，再利用導(dǎo)函數(shù)求的最小值即可.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，則，明顯不為零，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，所以即，，又，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】利用換元法，令，依據(jù)不為零，分別參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求解函數(shù)的最值，即可得出的取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若同時(shí)滿意下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．（1）滿意有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（2）請(qǐng)?jiān)冢?）全部組合中任選一組，求對(duì)應(yīng)的面積．【答案】（1）序號(hào)組合為①②③，①②④（2）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）推斷出③，④不能同時(shí)存在，由此確定正確答案.（2）選①②③，則利用余弦定理求得，進(jìn)而求得三角形的面積；選①②④，則利用余弦定理求得，進(jìn)而求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于③，；對(duì)于④，，即，且，則，故③，④不能同時(shí)存在，則滿意有解三角形的序號(hào)組合為①②③，①②④．【小問(wèn)2詳解】選①②③：時(shí)，由余弦定理：，整理得：且，則，的面積為．選①②④：時(shí)，由余弦定理：，整理得：，則，的面積．18.已知數(shù)列滿意．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）令（表示不超過(guò)的最大整數(shù)．提示：當(dāng)時(shí)，），求使得成立的最大正整數(shù)的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）9【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義證明即可；（2）結(jié)合（1）得，故，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而解時(shí)，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，即，所以．令函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．留意到：，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，特殊地，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則．明顯使得成立的最大正整數(shù)的值大于5，則時(shí)，，所以滿意條件的的最大值為9．19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，底面ABCD，，，，E為PA的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面BCE；（2）若二面角P-BC-E的余弦值為，求三棱錐P-BCE的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）線面垂直的性質(zhì)可得，若為中點(diǎn)，連接，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由線面垂直的性質(zhì)有面，最終依據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，結(jié)合二面角的余弦值求參數(shù)m，最終求、向量法求到面的距離，再由體積公式求棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD，面，則，由，，則，又，則，若為中點(diǎn)，連接，易知：為正方形，則，又，即，所以，綜上，，即，又，則面，又面，所以平面平面BCE.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，若，則，，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，則，又，即，由，則面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，則，所以.由上有：且面的一個(gè)法向量，則，故到面的距離，所以.20.法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜愛(ài)吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買(mǎi)一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱(chēng)自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000，上下浮動(dòng)不超過(guò)50.這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量聽(tīng)從期望為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布.（1）已知如下結(jié)論：若，從的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量.利用該結(jié)論解決下面問(wèn)題.（i）假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)25個(gè)面包，記隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)25個(gè)面包的平均值為，求；（ii）龐加萊每天都會(huì)將買(mǎi)來(lái)的面包稱(chēng)重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過(guò)分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說(shuō)明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；其次箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)選擇一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則，；②通常把發(fā)生概率小于的事務(wù)稱(chēng)為小概率事務(wù)，小概率事務(wù)基本不會(huì)發(fā)生.【答案】（1）（i）；（ii）理由見(jiàn)解析.（2）012【解析】【分析】（1）（i）由正太分布的對(duì)稱(chēng)性及原則進(jìn)行求解；（ii）結(jié)合第一問(wèn)求解的概率及小概率事務(wù)進(jìn)行說(shuō)明；（2）設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0,1,2,求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而求出分布列及數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】（i）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?；（ii）由第一問(wèn)知，龐加萊計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為，，而，為小概率事務(wù)，小概率事務(wù)基本不會(huì)發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；【小問(wèn)2詳解】設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0,1,2,則；，，故分布列為：012其中數(shù)學(xué)期望21.已知拋物線，開(kāi)口向上的拋物線與有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處有相同的切線，（1）求全部拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)T不重合，過(guò)點(diǎn)P且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，其中，問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù)，使得為定值？若存在，求出實(shí)常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（且（2）存在，.【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到，再由過(guò)點(diǎn)，求得，即可求得拋物線的方程；（2）依據(jù)題意得到即為公共點(diǎn)T處的切線，得出，設(shè)，求得切線方程為，聯(lián)立方程組，得到，令，得到，并代入整理得，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)求得為定值，分和，兩種狀況探討，結(jié)合，得到在點(diǎn)的兩側(cè)和同側(cè)，進(jìn)而得到答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，可得，拋物線，可得，因?yàn)閽佄锞€與有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處有相同的切線，可得，即，所以，因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，代入可得，即滿意條件的即拋物線的方程為且.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，若為常數(shù)，則，此時(shí)即為公共點(diǎn)T處的切線，故若存在，則.下面證明：時(shí)，為常數(shù)，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立方程組，