《建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)》拉伸和壓縮變形時(shí)的承載力計(jì)算

《建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)》拉伸和壓縮變形時(shí)的承載力計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能夠進(jìn)行構(gòu)件與結(jié)構(gòu)截面軸力計(jì)算及準(zhǔn)確地畫軸力圖。能進(jìn)行計(jì)算軸向拉（壓）桿的強(qiáng)度及工程實(shí)際應(yīng)用。能夠?qū)Σ牧系臋z驗(yàn)及性能的比較?！局R(shí)點(diǎn)】變形固體的概念及其基本假設(shè)；桿件變形的基本形式；內(nèi)力、截面法；應(yīng)力、正應(yīng)力、剪應(yīng)力、軸向拉壓桿變形和應(yīng)變；軸向拉壓桿強(qiáng)度計(jì)算；金屬材料性能與檢驗(yàn)?！竟ぷ魅蝿?wù)】任務(wù)軸向拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算實(shí)驗(yàn)1軸向拉伸實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2軸向壓縮實(shí)驗(yàn)【教學(xué)設(shè)計(jì)】引入實(shí)際工程中軸向拉伸與壓縮實(shí)例，建立受力構(gòu)件有關(guān)基本知識(shí)、基本理論，明確軸向拉（壓）是力學(xué)與結(jié)構(gòu)研究的第一種基本變形；為此本單元設(shè)計(jì)一個(gè)工作任務(wù)和兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)構(gòu)件的外力→內(nèi)力→應(yīng)力→建立強(qiáng)度條件→材料檢驗(yàn)；從而對(duì)軸向拉（壓）構(gòu)件有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)和知識(shí)體系，達(dá)到分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！蝿?wù)布置：如圖4-1a所示的三角形托架，其桿AB是由兩根等邊角鋼所組成。已知荷載P＝75kN，三號(hào)鋼的許用應(yīng)力［］＝160MPa，試選擇等邊角鋼的型號(hào)。圖4-1※相關(guān)知識(shí)：1、軸向拉伸與壓縮構(gòu)件受力分析；2、軸向拉伸與壓縮構(gòu)件內(nèi)力—軸力計(jì)算；3、構(gòu)件軸力圖的繪制；4、構(gòu)件應(yīng)力計(jì)算；5、材料軸向拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能；6、利用強(qiáng)度條件選擇構(gòu)件截面?！蝿?wù)解決：（六步法）１、咨迅學(xué)生收集相關(guān)設(shè)計(jì)資料及工程實(shí)際調(diào)研、提出問(wèn)題，教師講授知識(shí)點(diǎn)。２、決策、計(jì)劃擬定設(shè)計(jì)方案，學(xué)生獨(dú)立作出決策任務(wù)--→學(xué)生動(dòng)手準(zhǔn)備--→學(xué)生提出問(wèn)題--→教師講授知識(shí)點(diǎn)３、實(shí)施學(xué)生以小組為單位，完成設(shè)計(jì)任務(wù)。４、檢查、評(píng)估學(xué)生自查、小組互查、教師檢查，分析老師、學(xué)生二者評(píng)分偏差的原因，指出學(xué)生錯(cuò)誤的地方及注意事項(xiàng)。4.1軸向拉伸與壓縮構(gòu)件工程實(shí)例在工程實(shí)際中，經(jīng)常有承受軸向拉伸荷載或軸向壓縮荷載的等直桿。例如圖4-2a所示桁架的豎桿、斜桿和上、下弦桿，圖4-2b所示起重機(jī)構(gòu)架的各桿及起吊重物的鋼索，圖4-2c所示的鋼筋混凝土電桿上支承架空電纜的橫擔(dān)結(jié)構(gòu)，BC、AB桿，此外，千斤頂?shù)穆輻U，連接氣缸的螺栓及活塞連桿等都是軸間拉壓桿。圖4-2工程實(shí)際中的軸向受拉（壓）桿拉伸和壓縮時(shí)的受力特點(diǎn)是：沿著桿件的軸線方向作用一對(duì)大小相等、方向相反的外力。當(dāng)外力背離桿件時(shí)稱為軸向拉伸，外力指向桿件時(shí)稱為軸向壓縮。拉伸和壓縮時(shí)的變形特點(diǎn)是：拉伸時(shí)桿件沿軸向伸長(zhǎng)，橫向尺寸縮小；壓縮時(shí)桿件沿軸向縮短，橫向尺寸增大?！竟W(xué)結(jié)合】教師帶學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)觀察已安裝好的軸向拉伸與壓縮構(gòu)件，分析其受力特征，確定其構(gòu)件計(jì)算簡(jiǎn)圖。4.2軸向拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力4.2.1軸向拉伸與壓縮的基本知識(shí)4.2.1.1變形固體固體材料在外力作用下都會(huì)或多或少的產(chǎn)生變形，將這些固體材料稱為變形固體。變形固體在外力作用上會(huì)產(chǎn)生兩種不同性質(zhì)的變形：一種是當(dāng)外力消除時(shí)，變形也隨著消失，這種變形稱為彈性變形；另一種是外力消除后，變形不能全部消失而留有殘余，這種不能消失的殘余變形稱為塑性變形。一般情況下，物體受力后，既有彈性變形，又有塑性變形。只有彈性變形的物體稱為理想彈性體。只產(chǎn)生彈性變形的外力范圍稱為彈性范圍。大多數(shù)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生變形后，其幾何尺寸的改變量與構(gòu)件原始尺寸相比，常是極其微小的，我們稱這類變形為小變形。由于變形很微小，我們?cè)谘芯繕?gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí)，就可采用構(gòu)件變形前的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算。4.2.1.2變形固體的基本假設(shè)1．均勻連續(xù)假設(shè)假設(shè)變形固體在其整個(gè)體積內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿了物質(zhì)。而且各點(diǎn)處材料的力學(xué)性能完全相同。2．各向同性假設(shè)假設(shè)材料在各個(gè)方向具有相同的力學(xué)性能。常用的工程材料如鋼材、玻璃等都可認(rèn)為是各向同性材料。如果材料沿各個(gè)方向具有不同的力學(xué)性能，則稱為各向異性材料。綜上所述，根據(jù)研究對(duì)象，是由均勻連續(xù)、各向同性的變形固體材料制成的構(gòu)件，且限于小變形范圍。4.2.1.3桿件變形的基本形式1．桿件所謂桿件，是指長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。橫截面是與桿長(zhǎng)方向垂直的截面，而軸線是各截面形心的連線。桿各截面相同、且軸線為直線的桿，稱為等截面直桿。如圖4-3。圖4-32．桿件變形的基本形式(1)軸向拉伸和壓縮在一對(duì)大小相等、方向相反：作用線與桿軸線相重合的外力作用下，桿件將發(fā)生長(zhǎng)度的改變(伸長(zhǎng)或縮短)。(圖4-4a；b)(2)剪切在一對(duì)相距很近、大小相等、方向相反的橫向外力作用下，桿件的橫截面將沿外力方向發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。（圖4-4c）(3)扭轉(zhuǎn)在一對(duì)大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的兩平面內(nèi)的力偶作用下，桿的任意兩橫截面將繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。（圖4-34）(4)彎曲在一對(duì)大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內(nèi)的力偶作用下，桿件的軸線由直線彎成曲線。（圖4-4e）由兩種或兩種以上基本變形組成的復(fù)雜變形稱為組合變形。圖4-44.2.1.4內(nèi)力、截面法、應(yīng)力1．內(nèi)力的概念桿件在外力作用下產(chǎn)生變形，從而桿件內(nèi)部各部分之間就產(chǎn)生相互作用力，這種由外力引起的桿件內(nèi)部之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。2．截面法研究桿件內(nèi)力常用的方法是截面法。截面法是假想地用一平面將桿件在需求內(nèi)力的截面處截開(kāi)，將桿件分為兩部分；取其中一部分作為研究對(duì)象，此時(shí)，截面上的內(nèi)力被顯示出來(lái)，變成研究對(duì)象上的外力；再由平衡條件求出內(nèi)力。截面法可歸納為如下三個(gè)步驟：(1)截開(kāi)用一假想平面將桿件在所求內(nèi)力截面外截開(kāi)，分為兩部分；(2)代替取出其中任一部分為研究對(duì)象，以內(nèi)力代替棄掉部分對(duì)所取部分的作用，畫出受力圖；(3)平衡列出研究對(duì)象上的靜力平衡方程，求解內(nèi)力。3．應(yīng)力將內(nèi)力在一點(diǎn)處的分布集度，稱為應(yīng)力。為了分析圖4-5a所示截面上任意一點(diǎn)E處的應(yīng)力，圍繞E點(diǎn)取一微小面積△A，作用在微小面積△A上的合內(nèi)力記為△P，則比值(4-1)圖4-5稱為△A上的平均應(yīng)力。平均應(yīng)力不能精確地表示E點(diǎn)處的內(nèi)力分布集度。當(dāng)△A無(wú)限趨近于零時(shí)，平均應(yīng)力Pm的極限值p才能表示E點(diǎn)處的內(nèi)力集度，即(4-2)上式中p稱為E點(diǎn)處的應(yīng)力。應(yīng)力p的方向與截面既不垂直也不相切。通常將應(yīng)力p分解為與截面垂直的法向分量σ和與截面相切的切向分量τ。垂直于截面的應(yīng)力分量σ稱為正應(yīng)力或法向應(yīng)力；相切于截面的應(yīng)力分量τ稱為切應(yīng)力或切向應(yīng)力(剪應(yīng)力)。圖4-5（b）應(yīng)力的單位為Pa，常用單位是MPa或GPa。常用“mm”作為長(zhǎng)度單位，則4.2.1.5變形和應(yīng)變概念桿件受外力作用后，其幾何形狀和尺寸一般都要發(fā)生改變，這種改變量稱為變形。變形的大小是用位移和應(yīng)變這兩個(gè)量來(lái)度量。位移是指位置改變量的大小，分為線位移和角位移。應(yīng)變是指變形程度的大小，分為線應(yīng)變和切應(yīng)變。圖4-6微小正六面體，棱邊邊長(zhǎng)的改變量△u稱為線變形，△u與△x的比值稱為線應(yīng)變。線應(yīng)變是無(wú)量綱的。(4-3)上述微小正六面體的各邊縮小為無(wú)窮小時(shí)，通常稱為單元體。單元體中相互垂直棱邊夾角的改變量y，稱為切應(yīng)變或角應(yīng)變(剪應(yīng)變)。角應(yīng)變用弧度來(lái)度量，它也是無(wú)量綱的。圖4-64.2.2軸向拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力（1）．軸向拉伸和壓縮時(shí)桿件的內(nèi)力——軸力圖4-7用截面法求桿的內(nèi)力為設(shè)計(jì)軸向拉壓桿，需首先研究桿件的內(nèi)力，為了顯示桿中存在的內(nèi)力和計(jì)算其大小，我們采用截面法。（如圖4-7a）所示等直桿，假想地用一截面m-m將桿分割為I和II兩部分。取其中的任一部分（例如I）為脫離體，并將另一部分（例如II）對(duì)脫離體部分的作用，用在截開(kāi)面上的內(nèi)力的合力N來(lái)代替（圖4-7b），則可由靜力學(xué)平衡條件：求得內(nèi)力同樣，若以部分II為脫離體（圖4-7c），也可求得代表部分I對(duì)部分II作用的內(nèi)力為N＝P，它與代表部分II對(duì)部分I的作用的內(nèi)力等值而反向，因內(nèi)力N的作用線通過(guò)截面形心即沿桿軸線作用，故稱為軸力。軸力量綱為［力］，在國(guó)際單位制中常用的單位是N（牛）或kN（千牛）。（2）．軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為區(qū)別拉伸和壓縮，并使同一截面內(nèi)力符號(hào)一致，我們規(guī)定：軸力的指向離開(kāi)截面時(shí)為正號(hào)軸力；指向朝向截面時(shí)為負(fù)號(hào)軸力。即拉力符號(hào)為正，壓力符號(hào)為負(fù)。據(jù)此規(guī)定，圖4-6所示m-m截面的軸力無(wú)論取左脫離體還是右脫離體，其符號(hào)均為正。（3）．軸力圖將表明沿桿長(zhǎng)各個(gè)橫截面上軸力變化規(guī)律的圖形，稱為軸力圖。畫軸力圖時(shí)，將正的軸力畫在軸線上方，負(fù)的軸力畫在軸線。【例4-1】變截面桿受力情況如圖4-8所示，試求桿各段軸力并作軸力圖。解：（1）先求支反力固定端只有水平反力，設(shè)為XA，由整個(gè)桿平衡條件，－XA+5－3+2＝0，XA＝5+2－3＝4kN（2）求桿各段軸力力作用點(diǎn)為分段的交界點(diǎn)，該題應(yīng)分成AB、BD和DE三段。在AB段內(nèi)用任一橫截面1-1將桿截開(kāi)后，研究左段桿的平衡。在截面上假設(shè)軸力N1為拉力如圖4-8(b)。由平衡條件得N1－XA＝0，N1＝4kN。結(jié)果為正，說(shuō)明原假設(shè)拉力是正確的。在BC及CD段，橫截面積雖有改變，但平衡方程式與截面大小無(wú)關(guān)，故只取一段。如在BD段用任一截面2-2將桿截開(kāi)，研究左段桿的平衡。在截面上軸力N2仍設(shè)為拉力如圖4-8（c）。由平衡條件，N2+5－4＝0，N2＝－1kN。結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明實(shí)際方向與原假設(shè)的N2方向相反，即為壓力。同理在DE段，用任一截面3-3將桿截開(kāi)，研究右段桿的平衡，因?yàn)樵摋U段的外力較少，計(jì)算簡(jiǎn)例，假設(shè)軸力N3為拉力如圖4-8（d），由，得N3＝2kN。圖4.8結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明實(shí)際方向與原假設(shè)的N2方向相反，即為壓力。同理在DE段，用任一截面3-3將桿截開(kāi)，研究右段桿的平衡，因?yàn)樵摋U段的外力較少，計(jì)算簡(jiǎn)例，假設(shè)軸力N3為拉力如圖4-8（d），由，得N3＝2kN。（3）作軸力圖取一直角坐標(biāo)系，以與桿軸平行的坐標(biāo)軸x表示截面位置，對(duì)齊原題圖下方畫出坐標(biāo)軸。然后，選定比例尺，縱坐標(biāo)N表示各段軸力大小。根據(jù)各截面軸力的大小和正負(fù)號(hào)畫出桿軸力圖，如圖4-8（e）。由軸力圖可看出，最大軸力Nmax＝4kN，發(fā)生在AB段內(nèi)?！纠?-2】：圖4-9(a)表示一等直木柱，若此柱在橫截面A和B的中心受有軸向荷載P1＝P2＝100kN，如圖中所示，試求柱中的軸力并作出軸力圖。圖4-9解：（1）假設(shè)在AB段內(nèi)的任一橫截面1-1處將桿截開(kāi)，取上段為脫離體，并用軸力N1代替下段對(duì)上段的作用。根據(jù)上段桿（圖4.9b）的平衡方程N(yùn)1+P1＝0可得N1＝－P1＝－100kN同樣，假設(shè)在BC段內(nèi)用一橫截面2-2將桿截開(kāi)，并用軸力N2代替下段的作用，根據(jù)上段桿（圖4.9c）的平衡方程，N2+P1+P2＝0可得N2＝－P1－P2＝－100－100＝－200kN算得結(jié)果為負(fù)，表示軸力N2實(shí)際上是壓力，同樣，在BC段內(nèi)所有各截面上的軸力都是N2＝－200kN（2）作軸力圖取直角坐標(biāo)系，以與桿軸線平行的坐標(biāo)為x軸，表示截面位置，與桿軸線垂直的坐標(biāo)軸為N軸，表示橫截面上軸力的大小。根據(jù)各橫截面上軸力的大小和正負(fù)號(hào)（拉力為正，壓力為負(fù)）畫出桿的軸力圖，如圖4.8d所示。注意軸力圖上要標(biāo)明正負(fù)號(hào)，以及數(shù)字大小和單位。由作出軸力圖可容易看到，在木柱中的最大軸力Nmax＝200kN（壓力），發(fā)生在BC段內(nèi)的各截面上。而且在B截面處發(fā)生了由－100kN到－200kN的突變。這是因?yàn)锽截面上作用有集中力P2＝－100kN，故B截面上、下兩側(cè)軸力就不同了。【實(shí)訓(xùn)練習(xí)】按分析任務(wù)（資訊）、確定解決方案（計(jì)劃、決策）、實(shí)施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評(píng)價(jià)六步法完成以下實(shí)訓(xùn)任務(wù)。1．舉出一些熟悉的軸向拉壓桿的實(shí)例。2．試判斷圖所示構(gòu)件中哪些屬于軸向拉伸或軸向壓縮？3．繪出圖示軸向拉(壓)桿的軸力圖。4．拔河時(shí)，繩子的受力情況如圖所示，已知各個(gè)運(yùn)動(dòng)員雙手的合力為：P1＝400N，P2＝300N，P3＝350N，P4＝350N，P5＝250N，P6＝450N，試作出繩子軸力圖。4.3軸向拉、壓桿橫截面上的正應(yīng)力4.3.1橫截面的應(yīng)力要找出內(nèi)力在截面上的分布規(guī)律，通常采用的方法是先做實(shí)驗(yàn)。取一根等直桿如圖4-10，為了便于通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察軸向受拉桿所發(fā)生的變形現(xiàn)象，受力前在桿件表面均勻地畫上若干與桿軸線平行的縱線及與軸線垂直的橫線，使桿表面形成許多大小相同的方格。然后在桿的兩端施加一對(duì)軸向拉力P，可以觀察到，所有的縱線仍保持為直線，各縱線都伸長(zhǎng)了，但仍互相平行，小方格變成長(zhǎng)方格。所有的橫線仍保持為直線，且仍垂直于桿軸，只是相對(duì)距離增大了。根據(jù)上述現(xiàn)象，可作如下假設(shè)：圖4-101、平面假設(shè)若將各條橫線看作是一個(gè)橫截面，則桿件橫截面在變形以后仍為平面且與桿軸線垂直，任意兩個(gè)橫截面只是作相對(duì)平移。2、軸向拉桿橫截面上的內(nèi)力是均勻分布的，也就是橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)力相等。由于拉壓桿的軸力是垂直于橫截面的，故與它相應(yīng)的分布內(nèi)力也必然垂直于橫截面，由此可知，軸向拉桿橫截面上只有正應(yīng)力，而沒(méi)有剪應(yīng)力。由此可得結(jié)論：軸向拉伸時(shí)，桿件橫截面上各點(diǎn)處只產(chǎn)生正應(yīng)力，且大小相等，即：(4-4)式中N一一桿件橫截面上的軸力；A——桿件的橫截面面積。當(dāng)桿件受軸向壓縮時(shí)，正應(yīng)力也隨軸力N而有正負(fù)之分，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)?！纠?-3】圖4-11示的等直桿，當(dāng)截面為50mm50mm正方形時(shí)，試求桿中各段橫截面上的應(yīng)力。【解】桿的橫截面面積A=50×50=25×102mm2繪出桿的軸力圖如圖4-11，由正應(yīng)力計(jì)算公式可得：AB段內(nèi)任一橫截面上的應(yīng)力：BC段內(nèi)任一橫截面上的應(yīng)力：圖4-11【例4-4】圖4-12表示用兩根鋼絲繩起吊一扇平板閘門。若每根鋼絲繩上所受的力為20kN，鋼絲繩圓截面的直徑d＝20mm，試求鋼絲繩橫截面上的應(yīng)力。圖4-12解：鋼絲繩的軸力N＝P＝20kN＝2×104N鋼絲繩的橫截面積，由公式可求得鋼絲繩橫截面上的應(yīng)力為4.3.2斜截面上的應(yīng)力為了全面了解軸向受拉（壓）桿中各處的應(yīng)力情況，在研究了其橫截面上的應(yīng)力以后，還有必要進(jìn)一步研究其斜截面上的應(yīng)力。如圖4-13表示一軸向受拉桿，假設(shè)用一與其橫截面mk成角的斜截面mn（簡(jiǎn)稱為截面）將其分成為I、II兩部分，并取部分I為脫離體（圖4-13c），圖4-13軸向受拉桿斜截面上的應(yīng)力圖由靜力學(xué)平衡方程，可求得截面上的內(nèi)力(4-5)在截面上的應(yīng)力為，其指向與桿軸線平行。由上節(jié)已知，桿的所有縱向“纖維”具有相同的縱向伸長(zhǎng)，故應(yīng)力在整個(gè)截面上也是均勻分布的（圖4-13c）。內(nèi)力即截面上應(yīng)力的合力。若以與A分別表示截面m－n與橫截面m－k的面積，則(4-6)由圖4-12可知(4-7)將式（4-5）、（4-7）代入式（4-6），即可求得截面上的應(yīng)力為(4-8)式中的為橫截面mk上的正應(yīng)力（圖4-13b）。為了研究方便，通常將分解為兩個(gè)分量，即沿截面法線方向（或垂直于截面）的分量與沿截面切線方向（或平行于截面）的分量。前者是正應(yīng)力，在圖4-13d中，為拉應(yīng)力，它趨向于使桿在它作用的截面處被拉斷；后者是剪應(yīng)力，它趨向于使桿在它作用的截面處被剪斷。由圖4-13d可知(4-9)將上面公式代入，則(4-10)同樣由圖4-13d可知(4-11)上述公式表達(dá)出軸向受拉桿斜截面上一點(diǎn)處的和的數(shù)值隨斜截面位置（以角表示）而變化的規(guī)律。同樣它們也適用于軸向受壓桿。關(guān)于角度和應(yīng)力、的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：角以自橫截面的外向法線量起，到所求斜截面的外向法線為止，是反時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，是順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)；正應(yīng)仍以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；剪應(yīng)力以它對(duì)所研究的脫離體內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的轉(zhuǎn)向是順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正，是反對(duì)時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)（如4-14圖）。圖4-14、、【例4-5】有一受軸向拉力P＝100kN的拉桿（圖4-15a），其橫截面面積A＝1000mm2。試分別計(jì)算＝0°、＝90°及＝45°各截面上的和的數(shù)值。解：（a）＝0°的截面即桿的橫截面（如圖4-15中的截面1-1）。由公式可分別算得：（b）＝90°的截面為與桿軸線平行的縱截面（如圖4-15a中的截面2-2），同樣可算得：圖4-15（c）＝45°時(shí)，同樣可算得：分析本例題的答案，可得出如下結(jié)論，即：在軸向受拉（壓）桿的橫截面上，只有正應(yīng)力；在與桿軸線平行的縱截面上，既不存在正應(yīng)力，也不存在剪應(yīng)力；在所有的斜截面上，即有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力；當(dāng)在0°～90°之間變動(dòng)時(shí)，最大正應(yīng)力產(chǎn)生在＝0°的橫截面上且等于，即，而最大剪應(yīng)力產(chǎn)生在＝45°的斜截面上，其數(shù)值等于最大正應(yīng)力的一半，即。由此可見(jiàn)，根據(jù)其材料抗拉能力和抗剪能力的強(qiáng)弱，軸向受拉（壓）桿在軸力較大時(shí)，可能沿橫截面發(fā)生拉斷破壞，也可能沿45°斜截面發(fā)生剪斷破壞?！緦?shí)訓(xùn)練習(xí)】按分析任務(wù)（資訊）、確定解決方案（計(jì)劃、決策）、實(shí)施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評(píng)價(jià)六步法完成以下實(shí)訓(xùn)任務(wù)。1．軸向拉（壓）桿中，發(fā)生最大正應(yīng)力的橫截面上，其剪應(yīng)力等于零。在發(fā)生最大剪應(yīng)力的截面上，其正應(yīng)力是否也為零。2．圖示－承受軸向拉力P＝10kN的等直桿，已知桿的橫截面面積A＝100mm2。試求出＝0°、30°、45°、60°、90°時(shí)各斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。3．圖示各桿均為圓截面，其直徑及荷載如圖，材料的抗拉、抗壓性能相同。求桿橫截面的最大工作應(yīng)力。4．圖示屋架的下弦桿用兩根等邊角鋼組成，并在某截面處鉆有直徑的個(gè)孔，求桿的橫截面上的最大工作應(yīng)力。4.4軸向拉、壓桿的變形4.4.1軸向受拉（壓）桿的變形軸向受拉桿的變形主要是軸向伸長(zhǎng)。除此以外，桿的橫向尺寸也有所縮小。至于軸向受壓桿，其主要變形為軸向縮短，同時(shí)其橫向尺寸也有所增大。下面先以軸向受拉桿的變形情況為例，介紹一些有關(guān)的基本概念。設(shè)有一原長(zhǎng)為的等直桿，受到一對(duì)軸向拉力P作用后，其長(zhǎng)度增大為，如圖4-16所示，則桿的軸向伸長(zhǎng)為(4-12)它給出桿的總伸長(zhǎng)量為進(jìn)一步了解桿的變形程度，在桿各部分都為均勻伸長(zhǎng)的情況下，可求出每單位長(zhǎng)度桿的軸向伸長(zhǎng)，即軸向線應(yīng)變?yōu)?4-13)從式（4-12）知為正值，故軸向受拉桿的亦為正值。圖4-16軸向受拉桿的變形圖下面再研究軸向受拉桿的橫向變形，設(shè)桿的原有橫向尺寸為d，受力變形后縮小為d1（圖4-16），故其橫向縮小為（4-14）而與其相應(yīng)的橫向線應(yīng)變?yōu)椋?-15）從式（4-14）可知，受拉桿的為負(fù)值，故亦為負(fù)值，它與軸向線應(yīng)變有相反的正負(fù)號(hào)。上面介紹的這些基本概念同樣適用于軸向受壓桿，但受壓桿的縱向線應(yīng)變?yōu)樨?fù)值，而橫向線應(yīng)變則為正值。4.4.2胡克定律由工程中常用材料（例如低碳鋼、合金鋼等）所制成的軸向受拉（壓）桿，已經(jīng)過(guò)一系列的實(shí)踐證明：當(dāng)桿所受的外力不超過(guò)某一限度時(shí)，桿的伸長(zhǎng)（縮短）與桿所受的外力P、桿的原長(zhǎng)以及桿的橫截面面積A之間有如下的比例關(guān)系∝(4-16)引進(jìn)比例常數(shù)E，則有(4-17)由于P＝N，此式又可改寫為(4-18)上述公式(4-18)所表達(dá)的關(guān)系，是英國(guó)科學(xué)家胡克在一六七八年首先發(fā)現(xiàn)的，故稱為胡克定律。式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，它表示材料在拉伸（壓縮）時(shí)抵抗彈性變形的能力，其量綱為，在國(guó)際單位制中的常用單位是Pa。E的數(shù)值隨材料而異，是通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定的。將桿的外力P或軸力N代入上述公式，即可計(jì)算出桿的伸長(zhǎng)（縮短）。EA稱為桿的抗拉（壓）剛度，顯然對(duì)于長(zhǎng)度相等、軸力N相同的受拉（壓）桿，其抗拉（壓）剛度EA越大，則所發(fā)生的伸長(zhǎng)（縮短）變形越小。若將公式(4-18)改寫為，并以軸向應(yīng)力及軸向線應(yīng)變代入，則可得出胡定律的另一表達(dá)式為(4-19)故胡克定律也可簡(jiǎn)述為：當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限（即正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比的最高限應(yīng)力）時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。【例4-6】有一橫截面為正方形的階梯形磚柱，由下下I、II兩段組成。其各段的長(zhǎng)度、橫截面尺寸和受力情況如圖4-17所示。已知材料的彈性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。試求磚柱頂面的位移。解：假設(shè)磚柱的基礎(chǔ)沒(méi)有沉陷，則磚柱頂面A下降的位移等于全柱的縮短。由于柱上、下兩段的截面尺寸和軸力都不相等，故應(yīng)用公式分段計(jì)算，即P圖4-17【實(shí)訓(xùn)練習(xí)】按分析任務(wù)（資訊）、確定解決方案（計(jì)劃、決策）、實(shí)施、檢查（自我檢查、教師檢查）、評(píng)價(jià)六步法完成以下實(shí)訓(xùn)任務(wù)。1．圖示一等直桿，其橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，受力情況如圖所示。試作桿的軸力圖，并求桿下端點(diǎn)D的位移。2．有一兩端固定的水平鋼絲如圖中虛線所示。已知鋼絲橫截面的直徑d＝1mm，當(dāng)在鋼絲中點(diǎn)C懸掛一集中荷截P后，鋼絲產(chǎn)生的應(yīng)變達(dá)到0.09％，鋼絲的彈性模量E＝0.2×106MPa（a）鋼絲內(nèi)的應(yīng)力為多大？（b）鋼絲在點(diǎn)C處下降的距離為多少？（c）荷載P是多大？3．圖示軸向拉(壓)桿均為圓截面桿，各桿直徑、縱向尺寸及所受荷載如圖所示。求各桿的最大工作應(yīng)力及縱向變形。圖(a)的桿，其材料的彈性模量圖(b)的桿，其材料的彈性模量，容重4.5材料軸向拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能4.5.1概述研究軸向拉（壓）桿中的內(nèi)力、應(yīng)力、變形，知道桿截面上任一點(diǎn)的應(yīng)力與截面上的內(nèi)力大小和截面尺寸大小都有關(guān)系，且桿中產(chǎn)生的最大工作應(yīng)力必須有個(gè)限度，否則桿就會(huì)發(fā)生破壞。不同的材料有著不同的應(yīng)力限度，這就需要研究各種材料本身固有的力學(xué)性質(zhì)（或機(jī)械性質(zhì)）。材料的力學(xué)性質(zhì)不但是為構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算、剛度計(jì)算或選擇恰當(dāng)材料的重要依據(jù)，也是指導(dǎo)研制新材料和制定加工工藝技術(shù)指標(biāo)的重要依據(jù)。在工程實(shí)際中，通常是采用試驗(yàn)的方法來(lái)研究材料的力學(xué)性質(zhì)。4.5.2金屬（鋼材）材料的拉伸試驗(yàn)根據(jù)國(guó)家頒布的測(cè)試規(guī)范，在做拉伸試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)將金屬材料做成標(biāo)準(zhǔn)試件，使其幾何形狀和受力條件都能符合軸向拉伸的要求。如圖4-18表示一般金屬材料試件的形式。在試驗(yàn)以前，要在試件中部的等截面直桿部分用與試件軸線垂直的二細(xì)線（或圓環(huán)線）標(biāo)出一工作段，并稱其長(zhǎng)度為標(biāo)距。為便于比較不同精細(xì)試件的工作段在拉斷后的變形程度，通常將圓截面標(biāo)準(zhǔn)試件的標(biāo)距與橫截面直徑d的比例規(guī)定為＝10d或＝5d(4-20)將矩形截面標(biāo)準(zhǔn)試件的標(biāo)距與橫截面面積A的比例規(guī)定為或(4-21)試件圖4-18由于拉伸圖與試件尺寸有關(guān)，為消除尺寸對(duì)材料本身的力學(xué)性質(zhì)的影響，需對(duì)拉伸圖進(jìn)行整理，通常是將試件拉伸圖中的拉力P除以試件的原有截面面積A求得試件中的正應(yīng)力，將伸長(zhǎng)除以標(biāo)距l(xiāng)求得試件的軸向線應(yīng)變；然后根據(jù)求得的值和值畫出材料的應(yīng)力－應(yīng)變曲線（曲線）。如圖4-19所示為低碳鋼的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。從低碳鋼的應(yīng)力－應(yīng)變曲線可以看到，在整個(gè)拉伸試驗(yàn)過(guò)程中，與拉伸圖中所示的I、II、III、IV四個(gè)階段相對(duì)應(yīng)，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系也大致可分為如下的四個(gè)階段：（1）彈性階段即OB直線段。當(dāng)應(yīng)力未超過(guò)點(diǎn)B所示的數(shù)值以前，若將所加的荷載去掉，試件的變形可全部消失，使試件完全恢復(fù)到原有的形狀和大小，將能隨著外力去掉而消失的變形叫做彈性變形，故這一階段稱為彈性階段。由圖中還可看到OA段為一直線，這表示應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系（即線性關(guān)系）。超過(guò)點(diǎn)A以后，這種正比關(guān)系即不存在了，故我們將相應(yīng)于點(diǎn)A的應(yīng)力叫做材料的比例極限，并用符號(hào)表示，而將相應(yīng)于彈性階段最高點(diǎn)B的應(yīng)力叫做材料的彈性極限，并用符號(hào)表示。（2）屈服階段當(dāng)荷載繼續(xù)增加，使應(yīng)力接近點(diǎn)C所示的應(yīng)力值時(shí)，應(yīng)變的增長(zhǎng)將比應(yīng)力的增長(zhǎng)要快一些，且在過(guò)點(diǎn)C以后一直到點(diǎn)D時(shí)，幾乎應(yīng)力保持不變而應(yīng)變卻繼續(xù)不斷地迅速增加，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服（或流動(dòng)）。我們把與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力叫做材料的屈服極限（或流動(dòng)極限），并用符號(hào)表示，故這一階段稱為屈服階段（或流動(dòng)階段）。試驗(yàn)證明，低碳鋼在屈服階段內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)變可達(dá)到比例極限所有應(yīng)變的10～15倍。考慮到低強(qiáng)度鋼材在屈服時(shí)會(huì)發(fā)生較大的塑性變形，使構(gòu)件不能正常地工作，故在進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計(jì)時(shí)，一般應(yīng)將構(gòu)件的最大工作應(yīng)力限制在屈服極限以內(nèi)。是衡量鋼材強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)。（3）強(qiáng)化階段經(jīng)過(guò)屈服階段以后，鋼材因塑性變形使其內(nèi)部的晶體結(jié)構(gòu)得到了調(diào)整，抵抗能力有所增強(qiáng)，故如圖中DE段曲線所示，應(yīng)力又逐漸升高，這個(gè)階段稱為強(qiáng)化階段。與曲線最高點(diǎn)E相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是材料在被拉斷前所能承受的最大應(yīng)力，叫做材料的強(qiáng)度極限（或極限強(qiáng)度），用符號(hào)表示，它也是衡量材料強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)。4-19低碳鋼應(yīng)力與應(yīng)變曲線圖（4）頸縮階段當(dāng)應(yīng)力超過(guò)強(qiáng)度極限以后，試件的變形開(kāi)始集中在某一小段內(nèi)，使此小段的橫截面面積顯著地縮小，這一現(xiàn)象稱為頸縮現(xiàn)象。顯然，根據(jù)低碳鋼的應(yīng)力－應(yīng)變曲線可確定低碳鋼的一些主要力學(xué)性質(zhì)，例如：屈服極限、強(qiáng)度極限是衡量其強(qiáng)度的兩個(gè)重要指標(biāo)，而塑性應(yīng)變是恒量其塑性的一個(gè)重要指標(biāo)。作為衡量材料塑性的重要指標(biāo)，其值常用百分?jǐn)?shù)表示，稱為伸長(zhǎng)率（或延伸率），并用符號(hào)表示，即(4-22)式中的是試件斷裂后標(biāo)矩段的總長(zhǎng)度（試驗(yàn)完后需測(cè)出的），是試件斷裂后標(biāo)矩段的總伸長(zhǎng)。在工程實(shí)際中，通常將發(fā)生顯著塑性變形（）以后才斷裂的材料稱為塑性材料，而將在沒(méi)有發(fā)生顯著變形以前（<5％）即斷裂的材料稱為脆性材料。衡量材料塑性的另一指標(biāo)，稱為面積收縮率，即(4-23)式中的A1是試件斷裂后在斷口處的橫截面面積。4.5.3金屬（鋼材）材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（1）鋼材的壓縮試驗(yàn)鋼材的壓縮試件通常做成圓柱體，其高度為直徑的1.5～2倍（如圖4-20所示）。試驗(yàn)時(shí)將試件放在試驗(yàn)機(jī)的二壓座間，施加軸向壓力。圖4-20壓縮試件由試驗(yàn)繪出的壓力P與縮短之間的關(guān)系曲線稱為試件的壓縮圖。象拉伸試驗(yàn)?zāi)菢?，若使，也可將壓縮圖整理為鋼材在壓縮時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。如圖4-21中的實(shí)線即為低碳鋼在壓縮時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。為了比較低碳鋼在拉伸時(shí)和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)，在4-21圖中還用虛線繪出了低碳鋼在拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。從這兩條曲線可以看出：在屈服階段以前，它們基本上是重合的，這說(shuō)明低碳鋼在壓縮時(shí)的比例極限、屈服極限和彈性模量都與拉伸時(shí)相同。但在超過(guò)屈服極限以后，因低碳鋼試件被壓成鼓形（如圖4-20），受壓面積越來(lái)越大，不可能產(chǎn)生斷裂，也無(wú)法測(cè)定材料的壓縮強(qiáng)度極限。故一般說(shuō)來(lái)，鋼材的力學(xué)性質(zhì)主要是用拉伸試驗(yàn)來(lái)確定。圖4-21低碳鋼壓縮曲線圖圖4-22鑄鐵壓縮試驗(yàn)（2）鑄鐵的壓縮試驗(yàn)作為脆性材料典型代表的鑄鐵在受壓時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖4-22所示。試驗(yàn)證明，鑄鐵試件在壓縮變形很小時(shí)即會(huì)突然破裂，故只能求得其強(qiáng)度極限。鑄鐵的抗壓性能較好，它在受壓時(shí)的強(qiáng)度極限比受拉時(shí)的要高4～5倍。由于破壞面間磨擦力的影響，鑄鐵試件破壞時(shí)，是沿與試件軸線大約成39°～35°的斜面上發(fā)生剪斷破壞（圖4-22b），這表明鑄鐵的抗剪能力比其抗壓能力差，故只適合于用作受壓的構(gòu)件?！竟W(xué)結(jié)合】教師帶學(xué)生到實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)觀察拉力、壓力與變形之間的變化，確定應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系曲線；比較低碳鋼和鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能與試樣破壞特征；認(rèn)識(shí)液壓式萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)及使用方法。4.6受拉（壓）桿的強(qiáng)度條件在工程實(shí)際中，由作用在軸向受拉（壓）桿上的軸向荷載可求得桿內(nèi)的最大軸力Nmax并為桿選擇了橫截面的形狀和尺寸后，即可計(jì)算出等直桿內(nèi)的最大正應(yīng)力通常把最大軸力Nmax所在的截面稱為危險(xiǎn)截面，其上的正應(yīng)力稱為桿的最大工作應(yīng)力。為了保證桿能正常地工作，不致破壞且有一定的安全儲(chǔ)備，必須使其最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料在拉伸（壓縮）時(shí)的許用應(yīng)力［］，即(4-24)這就是等截面受拉（壓）桿的強(qiáng)度條件。式中的許用應(yīng)力［］可由有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范和手冊(cè)中查得。解決工程上三種不同類型的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題:（1）校核桿的強(qiáng)度在已知桿的材料、尺寸（即已知［］和A）和所承受荷載（即已知內(nèi)力Nmax）的情況下，可檢查和校核桿的強(qiáng)度是否能滿足要求，即如有(4-25)則表示桿的強(qiáng)度是足夠的。否則即要加大桿的橫截面面積A或減小其外荷載P。根據(jù)既要保證安全又要節(jié)約材料的設(shè)計(jì)原則，在對(duì)桿進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，還應(yīng)注意一方面不使桿內(nèi)的計(jì)算應(yīng)力max小于許用應(yīng)力［］太多，另一方面，在必要時(shí)也可容許計(jì)算應(yīng)力max稍大于［］，但一般設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定以不超過(guò)許用應(yīng)力［］的5％為限。（2）選擇桿的截面在根據(jù)荷載算出了桿的內(nèi)力和確定了所用的材料（即已知Nmax和［］）以后，根據(jù)強(qiáng)