第01講等腰三角形（第1課時(shí)）（原卷版）

第01講等腰三角形（第1課時(shí)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．掌握AAS證明三角形全等；2．學(xué)會(huì)等腰三角形的性質(zhì)及證明；3.掌握等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)回顧（七年級(jí)下冊(cè)）一、定理兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.(AAS)已知：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°,∴∠C=180°(∠A+∠B),∠F=180°(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴∠C=∠F.又BC=EF,∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF(ASA).七年級(jí)下冊(cè)給出的“全等三角形”的定義是“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”則是由全等三角形的定義推出來的，本章很多證明都會(huì)用到它.因此，這里特別提出這一結(jié)論，以便后續(xù)證明使用.二、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.三、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”),它們所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.3.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.知識(shí)點(diǎn)2等邊對(duì)等角、“三線合一”定理等腰三角形的兩底角相等.（簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角求證：∠B=∠C.分析：我們?cè)?jīng)利用折疊的方法說明了這兩個(gè)底角相等(如圖12).實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等三角形.這啟發(fā)我們，可以作一條輔助線，把原三角形分成兩個(gè)全等的三角形，從而證明這兩個(gè)底角相等.證明：如圖13,取BC的中點(diǎn)D,連接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).交流與討論：你還有其他證明方法嗎?與同伴交流.想一想：在圖13中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(也稱“三線合一”),知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)引入：在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結(jié)論嗎?例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖14,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.證明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角).∵BD,CE分別平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=，∠2=.∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).交流與討論：等腰三角形兩腰上的中線相等嗎?高呢?還有其他的結(jié)論嗎?請(qǐng)你證明它們，并與同伴交流.議一議：如圖15,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E邊AC和AB上.果呢?由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE呢?由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE考點(diǎn)一：等腰三角形的定義例1．若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則第三邊的長(zhǎng)可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或4【變式11】．等腰三角形的頂角是，則它的底角是．【變式12】．等腰三角形的一邊長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)，則它的周長(zhǎng)是（

）A． B． C．或 D．或【變式13】．已知等腰三角形有一個(gè)角是，則其頂角的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．或考點(diǎn)二：等邊對(duì)等角例2．在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式21】．如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在、的延長(zhǎng)線上，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式22】．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式23】．如圖，在中，點(diǎn)D在上，，，將沿著翻折得到，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：根據(jù)等邊對(duì)等角證明例3．如圖，，，連接交于點(diǎn)O，．求證：．【變式31】．如圖，在中，，點(diǎn)D、E都在邊BC上，且，求證：．

【變式32】．如圖，已知和，，，，與交于點(diǎn)P，點(diǎn)C在上．求證：．【變式33】．如圖，在中，，過點(diǎn)A作且，連接．試說明：．考點(diǎn)四：根據(jù)等邊對(duì)等角求邊長(zhǎng)或角度例4．如圖，在中，為中線，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F，且．求證：．【變式41】．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點(diǎn)O與，分別相交于點(diǎn)M，N，且(1)若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；(2)已知，，求的周長(zhǎng)．【變式42】．如圖，在中，，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式43】．證明體驗(yàn)(1)思考探究如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，，與相交于點(diǎn)．求證：．(2)拓展延伸如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)五：等腰三角形的“三線合一”例5．如圖，在中，，，若，則的長(zhǎng)是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式51】．等腰三角形的“三線合一”指的是（

）A．中線，高線，角平分線互相重合 B．頂角的平分線，中線，高線三線互相重合C．腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合 D．頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三線互相重合【變式52】．對(duì)于運(yùn)用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)定理的推理過程，下列合理的是（）A．∵，平分B．∵，平分，，C．∵，平分，，D．∵，∴【變式53】．如圖，在中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)度為（

）

A．5 B．10 C．16 D．考點(diǎn)六：根據(jù)等腰三角形的“三線合一”求解或證明例6．如圖，在中，，點(diǎn)D在上．(1)若，則_______________．(2)若，則_______________．(3)若，則_______________．【變式61】．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．

求證：∠DBC=∠A．【變式62】．如圖，在中，，為的中線．點(diǎn)，分別在AB，上，且，連接DE，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式63】．如圖，中，，，點(diǎn)D在斜邊上，且，過點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．考點(diǎn)七：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角問題例7．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的底角度數(shù)是．【變式71】．一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為．【變式72】．如果一個(gè)等腰三角形其中一腰上的高與另一腰的夾角是30°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于【變式73】．如果等腰三角形的頂角為α，那么這個(gè)等腰三角形一條腰上的高與底邊的夾角為．考點(diǎn)八：等腰三角中一些線段(如角平分線、中線、高等)的性質(zhì)例8．求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在中，，分別是腰上的中線．求證：．【變式81】．下面是命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明過程，把空格補(bǔ)充完整．已知：如圖，在中，，，是的角平分線．求證：（1）．證明：，（2）．∵，分別是，的角平分線，，（3）．即．在和中，．（4）．【變式82】．求證：等腰三角形兩腰上的高線長(zhǎng)相等．【變式83】．等腰三角形兩底角的平分線相等嗎？?jī)裳系闹芯€呢？?jī)裳系母吣?？證明其中的一個(gè)結(jié)論．考點(diǎn)九：等邊對(duì)等角與“三線合一”綜合例9．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，求的度數(shù)．

【變式91】．如圖所示，在中，，，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，求(1)求的度數(shù)(2)的度數(shù)．【變式92】．如圖，在中，，AD是角平分線，E是AB邊上一點(diǎn)，連接ED，CB是的平分線，ED的延長(zhǎng)線與CF交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，，則______度．【變式93】．如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊向上作等腰，使得，交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求證：．一、單選題1．若等腰三角形一個(gè)角為，則頂角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或2．如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，分別是的中線和角平分線，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿上一點(diǎn)A往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩與，當(dāng)固定點(diǎn)B，C到桿腳E的距離相等，且點(diǎn)B，E，C在同一直線上時(shí)，電線桿．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等角對(duì)等邊 B．等腰三角形三線合一的性質(zhì)C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．垂線段最短5．如圖，中，，點(diǎn)在線段上，且滿足．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．8．如圖，在中，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，連接，且，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）

．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題9．如圖，在中，，平分，，，則．10．如圖，在中，點(diǎn)D在上，，E為的中點(diǎn)，若，則．11．如圖，在中，，，，則的度數(shù)為度．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．如圖，在等腰三角形中，是邊上的高，，點(diǎn)E、F是上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是．14．如圖，在中，為中線，，，，將沿著翻折到，連接、，則．三、解答題15．在中，，，，，求的度數(shù)．16．如圖，在中．．點(diǎn)、分別在、上，，與相交于點(diǎn)．求證：(1)；(2)．17．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，為外部一點(diǎn)，，且，連接，與交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．18．如圖，在等腰三角形中，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，垂足為C，連接，若，求的面積．19．如圖，在中，，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若為中點(diǎn)，，求的度數(shù)．20．如圖①所示，點(diǎn)D，E在的邊上，．(1)若，求證：．(2)如圖②所示，若，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，求的度數(shù)．21．問題情境：如圖1，△中，，，點(diǎn)為△外一點(diǎn)，，過作，垂足分別為、．求證：．實(shí)踐探究：如圖2，△中