2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對值不等式1.1不等式1.1.3三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE33.三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式課后篇鞏固探究A組1.若a>0,則2a+的最小值為()A.2 B.3 C.1 D.3解析2a+=a+a+≥3=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=1時,2a+取最小值3.答案D2.設(shè)x,y,z∈R+,且x+y+z=6,則lgx+lgy+lgz的取值范圍是()A.(-∞,lg6] B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞) D.[3lg2,+∞)解析因為x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時,等號成立).答案B3.已知x+2y+3z=6,則2x+4y+8z的最小值為()A.3 B.2 C.12 D.12解析因為2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.當(dāng)且僅當(dāng)2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=時,等號成立.答案C4.若a,b,c為正數(shù),且a+b+c=1,則的最小值為()A.9 B.8 C.3 D.解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴=3+≥3+6=3+6=9.答案A5.用一張鋼板制作一個容積為4m3的無蓋長方體水箱,可用的長方形鋼板有四種不同規(guī)格(長×寬的尺寸如各選項所示,單位:m).若既要夠用,又要所剩最少,則應(yīng)選擇鋼板的規(guī)格是()A.2×5 B.2×5.5 C.2×6.1 D.3×5解析設(shè)長方體水箱長、寬、高分別為xm,ym,zm,則xyz=4.水箱的表面積S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12.故要制作容積為4m3的無蓋水箱,所需的鋼板面積最小為12m2,所以選項A,B解除,而選項C,D均夠用,但選項D剩較多,故選項C正確.答案C6.若a,b,c同號,則≥k,則k的取值范圍是.

解析因為a,b,c同號,所以>0,于是≥3=3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立),因此k的取值范圍是k≤3.答案k≤37.若x<0,則-x2的最大值為.

解析-x2=-=-,因為x2+=x2+≥3=3,所以-x2≤-3,即-x2的最大值為-3.答案-38.若a>b>0,則a+的最小值為.

解析因為a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b=,即a=2,b=1時,a+的最小值為3.答案39.已知實數(shù)a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值時a,b,c的值.解由三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式,得4a+4b+≥3=3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c2時,等號成立).∵a+b+c=1,∴a+b=1-c.則a+b+c2=c2-c+1=,當(dāng)c=時,a+b+c2取得最小值.從而當(dāng)a=b=,c=時,4a+4b+取最小值,最小值為3.10.導(dǎo)學(xué)號26394008已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證2x+≥2y+3.證明因為x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.B組1.若logxy=-2,則x+y的最小值為()A. B. C. D.解析由logxy=-2得y=,因此x+y=x+≥3.答案A2.設(shè)x>0,則f(x)=4-x-的最大值為()A.4- B.4- C.不存在 D.解析∵x>0,∴f(x)=4-x-=4-≤4-3=4-.答案D3.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列不等式正確的是()A.V≥π B.V≤π C.V≥ D.V≤解析如圖,設(shè)圓柱的半徑為R,高為h,則4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,當(dāng)且僅當(dāng)R=R=h=1時,等號成立.答案B4.設(shè)三角形的三邊長為3,4,5,P是三角形內(nèi)的一點,則P到這個三角形三邊距離乘積的最大值是.

解析設(shè)P到長度為3,4,5的三角形三邊的距離分別是x,y,z,三角形的面積為S,則S=(3x+4y+5z).因為32+42=52,所以這個三角形為直角三角形,其面積S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤,當(dāng)且僅當(dāng)3x=4y=5z,即x=,y=1,z=時,等號成立.答案5.導(dǎo)學(xué)號26394009設(shè)x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解因為6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥6=6,所以x2y3z≤1.當(dāng)且僅當(dāng)=y=4z,即x=2,y=1,z=時,等號成立,所以x2y3z的最大值為1.6.導(dǎo)學(xué)號26394010設(shè)a1,a2,…,an為正實數(shù)