滬科版九年級數(shù)學上冊期末復習 第22章 相似形易錯訓練與壓軸訓練（5易錯+5壓軸）

第二十二章相似形易錯訓練與壓軸訓練

01思維導圖

目錄

易錯題型一忽視線段成比例的有序性............................................................I

易錯題型二忽視等比性質的適用條件............................................................2

易錯題型三運用平行線分線段成比例時找不準對應條件...........................................2

易錯題型四運用相似判定定理時考慮不全........................................................2

易錯題型五忽視位似的另一種位置關系..........................................................2

壓軸題型一證明等積式.........................................................................6

壓軸題型二證明等比式.........................................................................8

壓軸題型三用相似三角形的性質求面積..........................................................9

壓軸題型四用相似三角形解實際問題...........................................................H

壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題.....................................................H

02易錯題型

易錯題型一忽視線段成比例的有序性

例1.（22-23九年級上?四川內(nèi)江?階段練習）已知三條線段的長為2cm,4cm,8cm,若添加一條線段能

使這四條線段成比例，則添加的線段可以是.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?遼寧丹東?階段練習）四條線段a,b,c,d成比例，其中a=2cm,b=3cm,d=6cm,

則線段c的長為.

2.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm,夜cm，2cm,若再添加一條線段，使

這四條線段是比例線段，則這條線段的長為.

3.（23-24八年級下?福建福州?期末）已知線段a,b,c,d是成比例線段，其中a=6,b=3,c=2,則d

的值是.

易錯題型二忽視等比性質的適用條件

dCC

例2.（22-23九年級下?廣東惠州?開學考試）如果工=:="=左（b+d+f力0）,且

bdf

a+c+e=3（b+d+f）.求k的值.

鞏固訓練

1.（22-23九年級?上海?假期作業(yè)）若手=等=牛=孫求山的值.

2.（22-23九年級上?廣西賀州?期中）已知?=三=等=m且x+y+z4O,求人的值.

3.（22-23九年級上?江蘇無錫?階段練習）⑴已知H=2x+y^0,求3號的值.

已知出=空c+a

(2)=x,求X的值.

ca~

易錯題型三運用平行線分線段成比例時找不準對應條件

例3.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在△4BC中，點。在BC邊上，連接AD,點E在AC邊上，過點

E作EFIIBC,交4。于點F,過點E作EGIIAB,交BC于點G,則下列式子一定正確的是（）

AF_BGAE_EF

---D.-

FDGCECCD

CG_AFEFEG

----D.———

BGADCDAB

2

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?上海青浦?期末）在△力BC中，點。、E分另IJ在邊4B、力C上，下列比例式中能判定DE||BC

的是（）

BC_ABAC_ABAC_ABAC_BD

DE-ADCE~BDAD-AEAB-CE

2.（23-24九年級下?寧夏吳忠?階段練習）如圖，已知直線28||||EF,下列結論中不成立的是（）

.ACBDAC_CEAEBFAE_BD

A.—=—

CEDFBD-DFCEDFBF-AC

3.（23-24九年級上?上海松江?階段練習）如圖，已知Z8||||EF,那么下列結論成立的是（）

CDBCBE_AFAB_ADDFBE

EFBECE-DFCD~BC~AD~^C

易錯題型四運用相似判定定理時考慮不全

例4.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖，4。與相交于點O,要使△AOB與△。。。相似，可添加的一個

條件是（）

——iB

A.Z.A=Z.DB.Z.A=乙BC."D.乙AOB=CDOC

3

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?全國?單元測試）下列各條件中，能判斷△ABCs△4'B'C'的是（）

A.AB=3ABfZ.A=Z.A

ABBC

B.-;~r=-r-r,NB=NB'

ABAC

C.些=%乙4+NC=”+

BCBC

D.LA=40°,乙B=80°,/LA=80°,乙B'=70°

2.（2024九年級下?浙江?專題練習）如圖，在△ABC紙片中，zC=90%BC=5,AC=7,將該紙片沿虛

線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

C.

3.（23-24九年級?廣東揭陽.期末）如圖，在中，點。、E分別在邊ZC上，DE||BC,乙4CD=乙B,

那么下列判斷中，不正確的是（）

A.AADE-AABCB.ACDEBCD

C.AADE-AACDD.AADE?八DBC

4

易錯題型五忽視位似的另一種位置關系

例5.(22-23九年級上?湖南婁底?期末)在平面直角坐標系中，已知點E(-4,2),F(-2,-2),以原點。為位

似中心，相似比為：，把△EFO縮小，則點￡的對應點E’的坐標是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(—8,4)或(8,-4)D.(一2,1)或(2,—1)

鞏固訓練

1.(22-23九年級上?全國?單元測試)己知△力BC在平面直角坐標系中，點力，B,C的坐標分別為(0,3),(3,4),

(2,2).若以點C為位似中心，在平面直角坐標系內(nèi)畫出△力'8'C,使得△a'B'C與△ABC位似，且位似比為2:1,

則點8'的坐標為()

A.(一2,4)或(0,-2)B.(6,0)或(4,6)

C.(一2,4)或(6,0)D.(4,6)或(0,-2)

2.(23-24九年級上?四川達州?期末)在平面直角坐標系中，已知點磯-4,2),尸(—2,—2).若42E尸與△OEF

關于點。位似，且SA0EF：SMER=4：1,則點E'的坐標為()

A.(2-1)B.(8,-4)

C.(8,-4)或(一8,4)D.(2,-1)或(-2,1)

3.(23-24九年級上?湖南郴州?期中)如圖,平面直角坐標系中，點力(一2,0),B(0,l),C(-3,2),以原點。

為位似中心，把△4BC縮小為且△4'B'C'與△ABC的相似比為1:2,則點C的對應點C'的坐標為()

5

%

A.(-1.5,1)B.(一1.5,1)或(1.5,-1)

C.(-6,4)D.(—6,4)或(6,—4)

03壓軸題型

壓軸題型一證明等積式

例1.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖，在邊長為3的菱形4BCD中，^BAD=60°,點E在邊力B上，點F

在8。的延長線上，BE=DF,與4。相交于點G,連接CE,CF.

(1)求證：4EBC三/^FDC.

(2)求證：DF2=DC?DG.

鞏固訓練

（23-24九年級上?安徽六安?期末）已知：如圖,在RWIBC中，Z.BAC=90°,AD1BC^D,E為直角邊

AC的中點，過。，E作直線交力B的延長線于F.

6

F

(1)若力B=6,AC=8,求BD長;

(2)求證：AB?AF=AC?DF.

2.(2024?安徽合肥?模擬預測)如圖，在四邊形A8CD中，AB||CD,N￡MB=90。，。是BD的中點，4。的延

長線交BC于點E,ACBD=ABAE.

⑴求證：BC=DC；

(2)若力E1BC,求證：BD2=4CD-BE.

3.(2024?安徽合肥?三模)如圖1,△力BC中，乙4cB=90°,CB=C4點。是4C上一點，連接B。，過C作,

CEIBD^BD^F,交AB于￡

(2)當。為力C邊的中點時，求力的值；

(3)如圖2,點P是力B中點，若CF=2,PF=20,求DF.

7

壓軸題型二證明等比式

例2.（2024九年級下?安徽?專題練習）如圖1,已知△4BC,。是BC上一點，EF||BC交力B于點E,交AC

于點F,連接力。，AD與EF交于G.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?安徽?單元測試）已知：如圖1,在△ABC中，AB=AC,NB/C=60。，點。在線段BC

上，連接4。，作線段AD的垂直平分線分別交4B、4C于點￡、F.

⑵把4/C=60。改為NB4C=90。，其它條件不變，如圖2,求證：*=籌

2.（23-24九年級上?安徽合肥?期末）如圖，己知△力BC中，。為AC上一點，E為CB延長線上一點，BE=AD,

ED和AB相交于點F，求證：EF-.FD=AC-BC

8

3.（23-24九年級上?安徽合肥?期末）如圖，在△A8C中，點。，E分別在邊AC,AB上，ED、CB的延長線

相交于點F.

(1)如圖1,若乙FBD=4FEC,BF=4,FD=5,FE=8,求FC的長;

(2)如圖2,若BD=CE,求證w=蕓.

壓軸題型三用相似三角形的性質求面積

例3.（2024?安徽合肥?二模）如圖，四邊形2BCD中，對角線AC、8。交于點尸，AB1AC,垂足為4,過。

作DE_L力C于￡,并延長交BC于點R連接BE,^AB=DE,^ABE=AACD.

（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；

（2）若/。=5,Z）E=3時，①求EF的長；②求ABEF的面積.

鞏固訓練

1.（2024九年級下?河南?學業(yè)考試）如圖，在RtA4BC中，NC=90。以點/為圓心，以任意長為半徑作

弧，分別交力B,4C于點M,N,再分別以點M,N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P,

作射線4P,交BC于點D,過點D作DE||交AC于點E,DF||4C交48于點F.

9

A/

⑴求證：四邊形4EDF為菱形;

(2)當月B=10,BC=6時，求菱形AEDF的周長和面積.

2.(2024?貴州畢節(jié)?三模)如圖，已知四邊形4BCD是正方形，G是BC上一點，連接AG,過點。作DE_L4G

于點E,過點2作BFL力G于點?

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,根據(jù)給出的條件，你發(fā)現(xiàn)DE,BF,E尸之間的數(shù)量關系是

(2)【問題探究】如圖2,當點G在CB的延長線上時，其他條件不變，探究DE,BF,EF之間的數(shù)量關系,

并寫出證明過程;

(3)【遷移應用】如圖3,尸是矩形力BCD內(nèi)一點，AP=5,SAABP=10,SAADP=7.5,AB-AD=2:3,求矩

形4BCD的面積.

3.(24-25九年級上?吉林長春?開學考試)【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內(nèi)

容.

如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、48的中點，AD.CE相交于點G.

10

（1）請根據(jù)教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程；

【結論應用】

（2）如圖②，在△ABC中，點。、F分別是邊48的中點，AD,CF相交于點G,GE||4C交BC于點E,

貝噂=______；

DC

（3）如圖③，在△ABC中，D、E分別是邊BC、4B的中點，過點G的直線分別交力B、4C于點M、N,若=

10,AM=6,四邊形CDGN的面積為5,則S^BC=.

壓軸題型四用相似三角形解實際問題

例4.（23-24九年級上?安徽安慶?階段練習）如圖，曉波拿著一根筆直的小棍BC,站在距某建筑物約30米

的點N處（即EN=30米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC||DE,曉波看到點8和建筑物頂端。在

一條直線上，點C和底端E在一條直線上.已知曉波的臂長CM約為60厘米，小棍BC的長為24厘米，4V1EN,

CMLAN,DE1EN.求這個建筑物的高度DE.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?安徽合肥?期中）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖,

在井口4處立一根垂直于井口的木桿2B,從木桿的頂端8觀察井水水岸D,視線BD與井口的直徑力。交于

點E,如果測得=1米，4c=1.6米，4E=0.4米，求CD的長.

11

B

2.（23-24九年級上?安徽安慶?期中）用手舉一根標尺，讓標尺與地面垂直，調整人與旗桿的距離或人與標

尺的距離，使標尺剛好擋住旗桿，此方法可測量旗桿的高度.若人與標尺EF的水平距離CG=20cm,人與

旗桿4B的水平距離CH=12.6m,標尺的長度=22cm，根據(jù)測量結果，試求旗桿的高度.

3.（2023九年級下?全國?專題練習）如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度CD,他在與鐘塔底端處在同水平面

上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個標記E,當他站在離鏡子E處1.4m的B處時，看到鐘塔的頂端在

鏡子中的像與標記E重合.已知B,E,D在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度4B=1.6m,D￡=14.7m,

求鐘塔的高度CD.

12

壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題

例5.⑵-24九年級上?安徽六安?期末)如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-3(a豐0)與久軸交于點力，B(點

A在B的左側)，與y軸交于點C,△力BC的面積為6.

(1)求拋物線的表達式；

(2)過。(-2,0)的直線I交線段于點M,1與拋物線右側的交點為N,求益MN的最大值.

鞏固訓練

1.(2024?安徽合肥?模擬預測)如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點4(-1,0),8(4,0),交y軸于點C(0,2),連

接AC,BC,點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點P作直線PDII力C,交BC于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)當。點為線段BC的中點時，求點P的坐標；

(3)求線段PD的最大值.

2.(23-24九年級下?安徽六安?階段練習)如圖1,拋物線了=。尤2+云+3與x軸相交于點力(-1,0)、B,對稱

軸是直線x=1,點M是拋物線的頂點，直線4M與y軸交于點D.

13

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點N是x軸上一動點，分別連接MN,DN,求MN+DN的最小值；

(3)點P是直線BC上方拋物線上一點，連接4P交8C于點E,若胃=；,如圖2,求點P的坐標.

AL.4

3.(2024?安徽亳州?二模)在平面直角坐標系中，拋物線y=/-2x-3交x軸于力，B兩點(點/在點2

(1)求點4,8的坐標;

(2)如圖1,若在x軸上方的拋物線上存在一點D,使得N4CD=45。，求點。的坐標;

(3)如圖2,平面上一點E(3,2),過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接AP、AQ,分別交y軸于M、

N兩點，貝UOM與。N的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

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第二十二章相似形易錯訓練與壓軸訓練

01思維導圖

目錄

易錯題型一忽視線段成比例的有序性............................................................I

易錯題型二忽視等比性質的適用條件............................................................2

易錯題型三運用平行線分線段成比例時找不準對應條件...........................................2

易錯題型四運用相似判定定理時考慮不全........................................................2

易錯題型五忽視位似的另一種位置關系..........................................................2

壓軸題型一證明等積式.........................................................................6

壓軸題型二證明等比式.........................................................................8

壓軸題型三用相似三角形的性質求面積..........................................................9

壓軸題型四用相似三角形解實際問題...........................................................H

壓軸題型五用相似三角形解與函數(shù)的綜合題.....................................................H

02易錯題型

易錯題型一忽視線段成比例的有序性

例1.（22-23九年級上?四川內(nèi)江?階段練習）已知三條線段的長為2cm,4cm,8cm,若添加一條線段能

使這四條線段成比例，則添加的線段可以是.

【答案】16cm或4cm或1cm.

【分析】根據(jù)四條線段成比例可得2:4=8：d、4:8=2:d、8:2=4：d,分別求出"即可得.

【詳解】解:根據(jù)題意，得：

當2:4=8:1時，解得:d=16；

當4:8=2:1時，解得:d=4；

當8:2=4:d時，解得："=1；

故答案為：為16cm或4cm或1cm.

【點睛】本題考查比例線段，解題的關鍵是找出所有成比例的情況分別求解.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?遼寧丹東?階段練習）四條線段a,b,c,d成比例，其中a=2cm,b-3cm,d-6cm,

15

則線段C的長為.

【答案】4cm

【分析】本題考查了比例線段的定義.由四條線段0、6、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可求解.

【詳解】解：,:四條線段a,b,c,d成比例，a=2cm,b-3cm,d-6cm,

?,■2:3=c:6

解得：c=4cm

故答案為：4cm.

2.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm,0cm，2cm,若再添加一條線段，使

這四條線段是比例線段，則這條線段的長為.

［答案】曰cm或V2cm或2近cm

【分析】本題考查了成比例線段，掌握成比例線段的定義是解題的關鍵.

設添加的線段的長度為x,然后根據(jù)成比例線段分類討論即可求解.

【詳解】解：設添加的線段的長度為xcm,

①當％時，沖苧時，解得％=今

②當1V%工/時，工=在，解得汽=V2,

x2

經(jīng)檢驗，％=遮是該分式方程的解；

③當/<久32時，=p解得x=&（舍去）；

④當x>2時，爰=：時，解得％=2魚，

經(jīng)檢驗，x=2&是該分式方程的解.

綜上，所添線段的長度可為孝cm或缶m或2夜cm.

故答案為：苧cm或V2cm或2acm

3.（23-24八年級下?福建福州?期末）已知線段a,b,c,d是成比例線段，其中a=6,b=3,c=2,則d

的值是.

【答案】1

【分析】本題主要考查了比例線段,熟練掌握比例線段的性質是解題的關鍵.根據(jù)比例線段的定義得到a：b=

c-.d,即可得到答案.

【詳解】解：由于線段a,b,c,d是成比例線段，

16

故a:b=c\d,

即6:3=2:d

解得d=1

故答案為：1.

易錯題型二忽視等比性質的適用條件

ace

例2.(22-23九年級下?廣東惠州?開學考試)如果工=7=+d+0),且

bdf

a+c+e=3(b+d+/).求k的值.

【答案】3

【分析】根據(jù)比例的性質求得a=bk,c=dk,e=fk,代入a+c+e=3(b+d+/),即可求解.

【詳解】解：*=,=，=k，

???a=bk,c=dkfe=fk,

??,a+c+e=3(b+d+/).

??.bk+dk+fk=3(b+d+f),

???fc=3.

【點睛】本題考查了比例的性質，掌握比例的性質是解題的關鍵.

鞏固訓練

1.(22-23九年級?上海?假期作業(yè))若亨=手=手=小，求血的值.

【答案】6或一3

【分析】分兩種情況：當％+y+zW0時，當％+y+z=0時，分別求出冽的值即可.

【詳解】解：當久+y+zH0時，

根據(jù)比例的等比性可得：

巾=3%+3y+3y+3z+3z+3,二

z+x+y

當％+y+z=0時，可得％+y=-z,

3(x+y)-3z

.,.m=———=——=-3o.

zz

【點睛】本題主要考查比例的等比性質，但需要注意對式子用等比性時一定要注意根據(jù)分母是否為0進行

分類討論.

17

2.（22-23九年級上?廣西賀州?期中）已知?=三=等=m且久+y+z40,求發(fā)的值.

【答案】2

【分析】根據(jù)比例的性質直接求解即可.

【詳解】解：由平=三=等=m且x+y+z力0,

彳曰k=%+y+%+z+y+z_2

燈x+y+z

【點睛】本題考查了比例的性質，掌握等比性質是解題關鍵.

3.（22-23九年級上?江蘇無錫?階段練習）⑴已知2x+y^0,求啜真的值.

（2）已知生=把=等=刈求％的值.

cab

【答案】(1)-y；(2)x=-1或x=2

【分析】（1）設3=§=|=卜，將小Az都用后表示，再將其代入與巖即可解答;

（2）根據(jù)比例得基本性質可得a+b=ex,b+c=ax,c+a=bx9聯(lián)立相加后進行分類討論即可.

【詳解】解⑴設［=,=.=歷

則％=2/c,y=3k,z=5fc,

%+y-3z_2k+3k-l5k_-10k__10

2x+y~4k+3k_7k~7,

/c、a+bb+cc+a

(2)V——=——=—■=X,

cab

???a+b=ex,b+c=ax,c+a=bx,

a+b=ex

聯(lián)立得：b+c=ax,

c+a=b%

.*.2(a+b+c)=x(a+b+c)

當a+b+c=0時，a+fe=—c,x=—1

當a+b+cWO時，x=2

..%=—1或汽=2.

【點睛】本題主要考查了比例得基本性質，解題的關鍵是熟練掌握比例的各個基本性質：內(nèi)項之積等于外

項之積，合比性質，分比性質以及等比性質.

易錯題型三運用平行線分線段成比例時找不準對應條件

18

例3.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，點。在BC邊上，連接2D,點E在力C邊上，過點

E^EF||BC,交4。于點凡過點E作EG||48,交BC于點G,則下列式子一定正確的是（）

BDGC

AF_BGAE_EF

A?而=癡B.訪=而

CGAFEFEG

C-----=------D———

BGAD.CDAB

【答案】A

【分析】本題考查由平行判斷成比例的線段，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理：兩條直線被一

組平行線所截，所得的對應線段成比例..據(jù)此解答即可.

【詳解】解：?.?EF||BC,

AF_AE

FD-EC9

-EG||AB,

AE_BG

EC-GC9

AF_BG

FD-GC

故選：A.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?上海青浦?期末）在△ABC中，點。、E分另I」在邊上，下列比例式中能判定DEIIBC

的是（）

ABCABACAB-ACAB一ACBD

A.-=—B.—=—C.—=—D.—=—

DEADCEBDADAEABCE

【答案】B

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐項判斷即可.

【詳解】解：如圖：

19

A、喘=舸，不能判定DEIIBC,故不符合題意;

B、除a能判定DEIIBC,故符合題意;

C、當標妙寸，不能判定OEIIBC,故不符合題意;

D、院哈時，不能判定OEIIBC,故不符合題意;

故選：B.

2.（23-24九年級下?寧夏吳忠?階段練習）如圖，已知直線4B||CD||EF,下列結論中不成立的是（）

AEBFAE_BD

CE~DFBF-AC

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握兩直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比

例是解題的關鍵.根據(jù)平行線分線段成比例即可進行解答.

【詳解】解：-AB||CD||EF,

.AC_BDAE_BF

??蒼一而，CE一DF'

.ACCE

?.—=—?

BDDF

???選項A、B、C正確，不符合題意，

故選：D.

3.（23-24九年級上?上海松江?階段練習）如圖，已知||CD||EF,那么下列結論成立的是（）

20

AB_ADDFBE

C.CD-BC~AD~^C

【答案】B

【分析】本題考查平行線分線段成比例,熟練掌握平行線分線段成比例是解題關鍵.根據(jù)平行線分線段成

比例即可解答.

【詳解】解：vAB||CD||EF,

.BEAF

?.———,

CEDF

故A,C,D不正確,

故選：B.

易錯題型四運用相似判定定理時考慮不全

例4.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖，4。與BC相交于點O,要使△與△DOC相似，可添加的一個

條件是（）

A.Z-A=Z.DB.Z-A—Z-BC.Z.C=乙DD.Z.AOB—Z-DOC

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形的判定.根據(jù)相似三角形的判定方法，進行判斷即可.

【詳解】解:^AOB=Z.DOC（對頂角相等），

A、當乙4=4。時，則△4。8與△DOC相似，符合題意；

B、當=時，無法證明△40B與△DOC相似，不符合題意；

c、當=時，無法證明aaoB與△DOC相似，不符合題意；

D、AAOB=Z.DOC,無法證明△力。B與△DOC相似，不符合題意；

21

故選：A.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?全國?單元測試）下列各條件中，能判斷△ABC-△a'B'c'的是（）

A.AB=3AB,Z.A—Z.A

ABBC

B.-；~7=-r-7,Z.B=/B'

AB4c

C.—=^X,N4+NC="+NC'

BCBC

D.乙4=40°,ZS=80°,AA=80°,乙B'=70°

【答案】C

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件：兩角對應相等的兩

個三角形相似：兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似；根據(jù)相似三角形的判定條件對各選項

進行分析即可.

【詳解】A、AB-3AB,,乙4=乙4',只有一角一邊，不能判斷兩個三角形相似，故A不符合題意；

B、空7=骼,4B=4B',NB'不是力耳與力'C’的夾角，不能判斷兩個三角形相似，故B不符合題意；

C、由4力+乙。=乙4'+4。'可得43=/3',再由絲=%得若=襄，利用兩組對應邊成比例且其夾角相等

BCBCABBC

的兩個三角形相似，可判斷△ABCsa/B'C',故C符合題意；

D、由4力=40。，NB=80。得NC=70。，則NB=44'=80。,/C==70。得△力BC“△4耳?！?，故D不符

合題意；

故選：C.

2.（2024九年級下?浙江?專題練習）如圖，在△4BC紙片中，zC-90%BC=5,4C=7,將該紙片沿虛

線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

22

【答案】D

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由CD1于點D,得乙WC=90°,則ZADC=ZACB,而=乙4,

即可證明△4CD“△ABC,可判斷/不符合題意；由EF1.4C,得乙4FE=ZC,則EF||BC,可證明aAEF八

HeGC1

ABC,可判斷5不符合題意；由BC=5,ZC=7,HC=25GC=3.5,得一=——二—,而/GC"=乙4。8,

BCAC2

Lc2KC3

可證明△GHC?△ZBC,可判斷。不符合題意；由BC=5,ZC=7,LC=2,KC=3,得一=一，—

BC5AC7

則空片空，而NKCL=N力CB，所以與△力BC不相似，可判斷。符合題意，于是得到問題的答案?

【詳解】解：如圖1,

B

,:CD1AC于點D,

：./-ADC=90°,

'.^ACB=90°,

??.ZADC=ZACBf

=乙4,

.-.AACD-AABC,

故4不符合題意；

如圖2,

B

圖2

23

-EF1AC,

：.Z.AFE=90°,

vzC=90°,

'-Z-AFE=Z-C,

???"IIBC,

.-.AAEF-AABC,

故5不符合題意；

如圖3,

B

-BC=S,AC=7,HC=2.5,GC=3.5,

HC_2.5_1GC_3.5_1

,5C-?~AC~^T~2,

HC_GC

,?旅一就‘

-Z.GCH=乙ACB,

.*.△GHC-AABC,

故。不符合題意；

如圖4,

B

-BC=5,AC=7,LC=2,KC=3,

LC_2KC_3

5?'AC~1"

-L-C--w--R-C-,

BCAC

24

假設△KLC?AABC,

"KCL=Z.ACB,

?,?~~~=——■＞與已知條件不付，

ZsCAC.

.?.△KLC與△ABC不相似，

故。符合題意，

故選：D.

3.（23-24九年級?廣東揭陽?期末）如圖，在△力BC中，點￡＞、E分別在邊48、力。上，DE||BC,乙4CD=NB,

那么下列判斷中，不正確的是（）

A.AADE-AABCB.△CDEBCD

C.AADE-/\ACDD.^ADEDBC

【答案】D

【詳解】解：丫點。、E分別在邊48、4C上,DE||BC,

:.AADEMABC,故A正確;

■■DE||BC,

ZBCD=ZEDC,

,■?Z.ACD=乙B,

CDE“△BCD,故B正確；

,''Z.ACD=Z.B,Z.A=Z.A,

.-.AACD-AABC,

.■.AADE-AACD,故C正確；

△^。^^△。^^■不一定相似，故D不正確；

故選：D.

易錯題型五忽視位似的另一種位置關系

例5.（22-23九年級上?湖南婁底?期末）在平面直角坐標系中，已知點E（-4,2）,F（-2,-2）,以原點。為位

似中心，相似比為：，把△EFO縮小，則點￡的對應點E’的坐標是（）

25

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(一8,4)或(8,-4)D.(一2,1)或(2,-1)

【答案】D

【詳解】解：阻-4,2）,且相似比為最

'''E的坐標為（—4xi,2x或卜4x（―［）,2x（—；）］,

即：點E'的坐標是（一2,1）或（2,—1）；

故選D.

鞏固訓練

1.（22-23九年級上?全國?單元測試）已知△ABC在平面直角坐標系中，點4B,C的坐標分別為（0,3）,（3,4）,

（2,2）.若以點C為位似中心，在平面直角坐標系內(nèi)畫出△4'B'C,使得△a'8'C與△ABC位似，且位似比為2:1,

則點B'的坐標為（）

A.(-2,4)或(0,一2)B.(6,0)或(4,6)

C.(-2,4)或(6,0)D.(4,6)或(0,-2)

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)位似的定義和相似比2:1,結合網(wǎng)格圖，作出位似圖形，如圖所示，可以得出點B'的坐標

為（4,6）或（0,-2）,

2.⑵-24九年級上?四川達州?期末）在平面直角坐標系中，已知點以-4,2）,F（-2,-2）.若aOE尸與△OEF

關于點。位似，且SAOEF：S^OEF'=4：1,則點E'的坐標為（）

26

z

A.（2,-1）B.（8,—4）

C.（8,—4）或（-8,4）D.（2,-1）或（一2,1）

【答案】D

【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，根據(jù)位似變換得到△OEF”△。百戶是

解題的關鍵.

根據(jù)△OEF與△。百/關于點。位似，得到△OEF”。百百，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求

出相似比，根據(jù)位似變換的性質解答即可.

【詳解】解：???△OEF與△。百戶關于點0位似，

OEFOE'F',

'?^/\OEF-^AOEF=4：1,

:OER的相似比為2:1,

???點E的坐標為(12),

.??點E'的坐標為(一4x?,2x{)或卜4x(—g),2x(—3),,即(―2,1)或(2,-1),

故選：D.

3.（23-24九年級上?湖南郴州?期中）如圖，平面直角坐標系中，點力（一2,0）,。（一3,2）,以原點。

為位似中心，把△力BC縮小為△4‘B'C',且△力‘B'C'與△ABC的相似比為1:2,則點C的對應點C’的坐標為（）

A.(-1.5,1)B.(-1.5,1)或(1.5,-1)

C.(-6,4)D.(一6,4)或(6,—4)

【答案】B

【分析】本題主要考查了求位似圖形的坐標，先根據(jù)題意可知有兩種情況：在原點的同側或原點的異側,

27

再根據(jù)將圖形按照2:1縮小就是對應點的坐標分別乘以:即可得出答案.

【詳解】解：當位似圖形在原點同側時，△力耳。'和△ABC的相似比是1:2,點C(—3,2),

.?.點C'(一1.5,1)；

當位似圖形在原點異側時，△A'B'C'和△4BC的相似比是1:2,點C(-3,2),

.?.點C'(1.5,-1).

所以點C'的坐標是(一1.5,1)或(1.5,—1).

故選：B.

03壓軸題型

壓軸題型一證明等積式

例1.(2024?福建泉州?模擬預測)如圖，在邊長為3的菱形力BCD中，NB4D=60。，點E在邊力B上，點F

在BD的延長線上，BE=DF,EF與力。相交于點G,連接CE,CF.

⑴求證：AEBC=AFDC.

(2)求證：DF2=DCDG.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3粵

【分析】(1)判斷出NCBE=NCOF=120。，即可得出結論；

(2)先判斷出△CEF是等邊三角形，得出ZECF=6O。，進而用等式的性質得出/DFG=NDCF,即可得出

結論；

【詳解】(1)證明：在菱形A8CD中，NB4D=60。，

28

/.BC=DC,AEBC=180°-ABAD=120°=ZADC,Z.ADB=Z.CDB=60°,△CB。為等邊三角形,

???乙BDC=60°,

:.ZCDF=120°=ZCBE,

BE—DF,

EBCFDC{SAS}

(2)證明：由(1)知，△BCE=ADCF,

???Z-BCE=乙DCF,

ZECF=NDCE+/DCF=ZDCE+/BCE=/BCD=60°,

-：CE=CF,

.-.ACEF是等邊三角形，

/.NCFE=60°,

/.ZDFG+ZCFD=60°,

NDCF+NCFD=60°,

z.ZBFG=NDCF,

ZFDG=ZCDF=120o,

DFG-ADCF,

.DFDG

??-，

DCDF

DF2=DC