工程數(shù)學(xué)-概率統(tǒng)計(jì)簡明教程-第五章-隨機(jī)向量

1、第五章 隨機(jī)向量,一、二維隨機(jī)變量及其分布 二、二維離散型隨機(jī)向量 三、二維連續(xù)型隨機(jī)向量 四、邊緣分布 五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性,一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì),且有,若二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限對(duì)或無限可列多對(duì),則稱 ( X, Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量.,二、二維離散型隨機(jī)變量,1. 定義,2. 二維離散型隨機(jī)變量的分布律,二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為,例 一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字 1, 2, 2, 從中任取一個(gè), 不放回袋中 , 再任取一個(gè), 設(shè)每 次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 別記第一次和第二次取到的球

2、上標(biāo)有的數(shù)字 , 求 ( X, Y ) 的分布律與分布函數(shù).,( X, Y ) 的可能取值為,解,故 ( X , Y ) 的分布律為,下面求分布函數(shù).,所以( X ,Y ) 的分布函數(shù)為,說明,離散型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)歸納為,1.定義,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,2.性質(zhì),表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.,3.說明,例4,解,(2) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有,1）均勻分布,定義 設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從 均

3、勻分布.,4、兩個(gè)常用的分布,例5 已知隨機(jī)變量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布, 試求( X , Y )的分布密度及分布函數(shù),其中D為x 軸, y 軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函數(shù)為,2）二維正態(tài)分布,若二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的圖形,推廣 n 維隨機(jī)變量的概率,定義,為隨機(jī)變量 ( X,Y )關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù).,四、邊緣分布,1）定義：,2）離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律,因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X 和Y 的邊緣分布函數(shù)分別為,例1 已知下列分布律求其邊緣分布律.,注意,聯(lián)合分布,邊緣分布

4、,解,解,例2,3）連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布,同理可得 Y 的邊緣分布函數(shù),Y 的邊緣概率密度.,解,例3,例4,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,請(qǐng)同學(xué)們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分 布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,五、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,1.定義,2.說明,(1) 若離散型隨機(jī)變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為,解,例1,(1)由分布律的性質(zhì)知,特別有,又,(2) 因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立, 所以有,解,由于X 與Y 相互獨(dú)立,例2,因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立,解,所以,求隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的分布律.,例4 一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812 時(shí),他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí), 設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立, 求他們到達(dá)辦 公室的時(shí)間相差不超過 5 分鐘的概率.,解,于是,因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,3、二維隨機(jī)變量的推廣,1）分布函數(shù),2）概率密度函數(shù),其它依次類推.,3）邊緣分布函數(shù),4）邊緣概率密度函數(shù),5）