2016年名校數(shù)學(xué)分析考研試題解析

1、2016 年名校數(shù)學(xué)分析考研試題解析年名校數(shù)學(xué)分析考研試題解析 浪花一點(diǎn)點(diǎn) 盡管選擇的是一些名校數(shù)學(xué)分析專業(yè)課的考研試題， 但也是考研盡管選擇的是一些名校數(shù)學(xué)分析專業(yè)課的考研試題， 但也是考研 數(shù)學(xué)的內(nèi)容，考研黨完全可以參閱數(shù)學(xué)的內(nèi)容，考研黨完全可以參閱。 1(南京航空航天大學(xué) 2016 考研試題)計(jì)算積分2 0 sinln xdx 分析分析：因?yàn)?x時(shí)，lnsinx，因此 0 是瑕點(diǎn)。 x x x x x x x x x xx xxxx sin cos2lim 2 1 sin cos lim sinln limsinlnlim 0 2 3 0 2 1 00 =0，所以反常積分2 0 sinl

2、n xdx收斂。 同理可證明積分2 0 cosln xdx收斂。 設(shè) t=x 2 ，則有2 0 sinln xdx = 2 0 cosln xdx =I 2I=2 0 sinln xdx+2 0 cosln xdx= 2 0 )coslnsin(ln dxxx =2 0 )2sin 2 1 ln( dxx= 2 0 2 0 2ln2sinln dxxdx =2ln 2 sinln 2 1 0 tdt=2ln 2 )sinlnsinln( 2 1 2 2 0 tdttdt =2ln 2 sinln 2 0 tdt=I2ln 2 于是，2I= I2ln 2 ，得 I=2ln 2 所以，2 0 si

3、nln xdx =2ln 2 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：求含有三角函數(shù)的積分，常用類似這樣 t=x 2 的變換，有時(shí) 題中會(huì)有多次這樣的變換。 2 (中山大學(xué) 2016 年考研試題) 求第一類曲線積分 zdS，其中是 球面4 222 zyx被平面 z=1 截出的頂部。 分析分析：球面4 222 zyx被平面 z=1 截出的頂部看作 z0 的部分， 則 22 4yxz，那么 22 4yx x zx ， 22 4yx y zy ， 22 22 4 2 1 yx zz yx 所以， zdS=dxdyzzz xy D yx 22 1 (投影到 xoy 平面) = xyxy DD dxdydxdy yx yx2 4 2

4、 4 22 22 = 6 (投影到 xoy 平面方程為3 22 yx，面積為 3) 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)： 求第一類曲面積分首先考慮投影到哪個(gè)平面， 然后是投影的方首先考慮投影到哪個(gè)平面， 然后是投影的方 程是什么，程是什么，這是最重要的地方。 3(寧波大學(xué) 2016 考研試題) 計(jì)算 I= S dxdyzydzdx) 1(，其中 S 為圓柱面4 22 yx被平面 x+z=2 和 z=0 所截部分的外側(cè)。 分析分析：此題用合一投影不好辦。因?yàn)?S 的方程為4 22 yx，不是類 似z=z(x,y)的連續(xù)函數(shù)， 難以求出S所在側(cè)的法向量1 , yx zzn 。 用分面投影，因圓柱面4 22 yx在 XOY

5、平面的投影為一條線（準(zhǔn) 確地說(shuō)，是一圓圈） ，因此， S dxdyz) 1(=0 （一般地， 若在某平面上的投影為一條線或一個(gè)點(diǎn)， 那么第二類曲面一般地， 若在某平面上的投影為一條線或一個(gè)點(diǎn)， 那么第二類曲面 在此平面的在此平面的積分值為積分值為 0.） 余下的只需要計(jì)算 S ydzdx的值了。 而 y 為圓柱面4 22 yx關(guān)于平面 XOZ 對(duì)稱的奇函數(shù)，因此， S ydzdx=2 前 S ydzdx 前 S是指圓柱面4 22 yx在 y0 的部分，即 y= 2 4x。 （此處有必要提醒第二類曲面積分的對(duì)稱性： 它的規(guī)律與二重積分和此處有必要提醒第二類曲面積分的對(duì)稱性： 它的規(guī)律與二重積分和

6、 三重積分的奇函數(shù)的規(guī)律剛好相反。三重積分的奇函數(shù)的規(guī)律剛好相反。 ） 因此，I= S ydzdx=2 前 S ydzdx =2 前 S dzdxx24 = 前 S dzdxx242 現(xiàn)在該是確定 x、z 的取值范圍了，見(jiàn)下圖。 y x+z=2 -2 2 x 一般來(lái)說(shuō),第二類曲面積分的立體圖畫(huà)起來(lái)麻煩,有的題目立體圖 根本就不好畫(huà)，甚至不會(huì)畫(huà)。其實(shí)這都不要緊，要緊的是會(huì)畫(huà)出在某 一平面的投影，如本例。 接著做，I= 前 S dzdxx242= x dzdxx 2 0 2 2 2 42=8 4 (華南理工大學(xué) 2016 考研試題)計(jì)算極限 n n nnnn n ) 12()2)(1( 1 lim

7、 分析分析：首先兩邊取對(duì)數(shù)，設(shè) y= n nnnn n ) 12()2)(1( 1 則，lny = n n n in n nin n n i n i ln)ln( 1 ln)ln( 1 1 0 1 0 = 1 0 )1ln( 1 n i n i n 因此，y x lnlim = 1 0 )1ln( 1 lim n i x n i n = 1 0 )1ln(dxx =dx x x xx 1 0 1 0 1 )1ln( = 12ln2 注：注：要領(lǐng)悟定積分的定義，一般劃分為 n 個(gè)區(qū)間。此題是把0，1劃 分為 n 個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng) n 1 ，既可把每個(gè)區(qū)間右端點(diǎn)作為 x 值，也也 可把左端點(diǎn)作為

8、可把左端點(diǎn)作為 x 值值。此題是把每個(gè)區(qū)間左端點(diǎn)作為 x 值，左端點(diǎn)為 0、 n 1 n n1 、 。 5 (武漢科技大學(xué) 2016 年考研試題)設(shè) f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可 導(dǎo)，且 f(0)=0, f(1)=1，證明對(duì)任意的正數(shù) a、b，在(0,1)中必存在不相 等的兩個(gè)數(shù) 21 xx、，使得ba xf b xf a )()( 21 分析分析：此題大方向應(yīng)是應(yīng)用拉格朗日中值定理，因要證明存在不相等 的兩個(gè)數(shù) 21 xx、，得用兩次中值定理。 可考慮把要證的ba xf b xf a )()( 21 改寫(xiě)為1 )()( 21 xf ba b xf ba a 觀察分子的兩個(gè)式子1 ba b ba a ， 能不能從這兒打開(kāi)缺口， 做點(diǎn) 文章？ 因10 ba a (a、b 都為正數(shù))，而已知 f(x)在0,1上連續(xù)，且 f(0)=0, f(1)=1，因此，由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知， 必存在(0,1)，使得 f()= ba a 由中值定理得 f()()0( 1 xff，即 )( 1 xf ba a ), 0( 1 x )()1 ()() 1 ( 2 xfff，即 1 )( 2 xf ba b ) 1( 2 ，x 因此，)1 ( )()(