初高中數學銜接教材(50頁)

1、初 高 中 數 學 銜 接 教 材現有初高中數學知識存在以下“脫節(jié)”1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。2.因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多,而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。4.初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基

2、本題型與常用方法。5.二次函數、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。7.含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。8.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交

3、弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。目 錄第一章：數與式的運算和因式分解1.1 數與式的運算1.1.1絕對值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.4.分式1.2 分解因式第二章：方程、函數、方程組、不等式組2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式 2.1.2 根與系數的關系（韋達定理）2.2 二次函數2.2.1 二次函數yax2bxc的圖像和性質 2.2.2 二次函數的三種表示方式2.2.3 二次函數的簡單應用2.3 方程組不等式2.3.1 二元二次方程組解法 2.3.2 一元二次不等式解法第三

4、章：相似形、圓3.1相似形3.1.1平行線分線段成比例定理 3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 幾種特殊的三角形3.3 圓3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關系 3.3.2 點的軌跡1.1 數與式的運算1.1絕對值絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零。即或絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離。 兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數和數之間的距離。13ABx04CDxP|x1|x3|圖111例1 解不等式：4。解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又1，0

5、；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得4。又3，4。綜上所述，原不等式的解為0，或4。解法二：如圖111，表示軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|。所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4。由|AB|2，可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側。0，或4。練 習1填空：（1）若，則=_；（2）如果，且，則b_；（3）若，則c_。2選擇題：下列敘述正確的是（ ）A、若，則 B、若，則 C、若，則 D、若，則3化簡：|5|2

6、13|（）。4、解答題：已知，求 的值。1.1.2. 乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 ?！窘沂境朔ü降膸缀我饬x】從邊長為a的正方形內去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪拼成一個矩形，上述操作所能驗證的等式是( )A、 完全平方公式：1.將字母看作非負數；2.平方式構造正方形，底數即為邊長；3.兩個字母相乘則構造長方形，兩個字母即為長與寬。【設計與創(chuàng)造】請在下面正方形內設計一個方案，使之能解釋公式：【利用圖形探索】2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個一模一樣的直角三角形與中間

7、的小正方形拼成的一個大正方形。若直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，斜邊為c，那么你能得到關于a、b、c的什么等式？ 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數和平方公式 ；（4）兩數和立方公式 ；（5）兩數差立方公式 。對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明。例1 計算：。解法一：原式=。解法二：原式=。例2 已知，求的值。解： 。例3、試探索 練習：1填空：（1）（ ）；（2） ；(3) 。2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于（ ）A、 B、 C、 D、（2）不論，為何實數，的值（ ）A、總是正數 B、總是負數 C、可

8、以是零 D、可以是正數也可以是負數3、計算：（1）10397 （2） （3）(12x)(12x ) ()()4、找規(guī)律與為什么觀察下列等式：， 用含自然數n的等式表示這種規(guī)律:_并證明這一規(guī)律。5、觀察下列等式：個位數字是5的兩位數平方后，末尾兩個數有什么規(guī)律？你能證明這一規(guī)律嗎？6、一個特殊的式子7、公式的拓展（1）完全平方公式的拓展一推導=_練習：=_（2）完全平方公式的拓展二觀察下面的式子（）1111 21133114 641根據前面的規(guī)律，_（3）平方差公式的拓展推導(abc)(abc) =_練習：化簡（2ab3c)(2ab3c)1.1.3二次根式 一般地，形如的代數式叫做二次根式。根

9、號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式。 例如 ，等是無理式，而，等是有理式。1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化。為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等。一般地，與，與，與互為有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程。在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對

10、于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式。2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）。解：（1）； （2）；（3）。例2計算：。解法一：。解法二：。例3 試比較下列各組數的大小：（1）和； （2）和。解：（1）， ，又，。 （2） 又 42， 42， 。例4化簡：。解： 。例 5 化簡：（1）； （2）。 解：（1）原式。（2）原式=，所以，原式。例 6 已知，求的值 。解：，。練習 1填空：（1）_ _；（2）_ _；（3）若，則的取值范圍是_ _ _；

11、（4）若，則_ _。2選擇題：等式成立的條件是（ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值。4比較大小：2 （填“”，或“”）。5、化簡。6、解答：設，求代數式的值1.1.分式1分式的意義：形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式。當M0時，分式具有下列基本性質：；。2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1若，求常數的值。解：， 解得 。例2（1）試證：（其中n是正整數）；（2）計算：；（3）證明：對任意大于1的正整數n， 有。（1）證明：，（其中n是正整數）成立。（2）解：由（1）可知。（3）證明：，又n2，且n是正整數，一定為正數，。例3.設，且，求的值。解：

12、在兩邊同除以，得，(21)( 2)0，1（舍去），或2。2。練 習1填空題：對任意的正整數n， ()；2選擇題：若，則（ ）（A） （B） （C） （D）3正數滿足，求的值。4、若，則的值是 5、計算。習題11A 組1解不等式：(1) ； (2) ； (3) 。.已知，求的值。3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_。B 組 1填空：（1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值。C 組1選擇題：（1）若，則（ ）（A） （B） （C） （D）（2）計算等于（ ） （A） （B） （C） （D）2解方程。3計算：。4試證：對任意的正整數n，有。12 分解因式因式分解的主要

13、方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應了解求根法及待定系數法。1、提取公因式法例2分解因式：（1）（2） 解：（1）=（2）= =?；?課堂練習：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7計算= 二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ） 2、（ ）3、（ ） 4、（ ）2、公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =課堂練習一、，的公因式是_。二、判斷題：（正確的打上“”，錯誤的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、3、分組分

14、解法例4 （1） （2）。解：（1）或（2）=?；?。課堂練習：用分組分解法分解多項式（1） （2）4、十字相乘法例1分解因式：（1）32； （2）412； （3）； （4）。 解：（1）如圖111，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有32(1)( 2)。aybyxx圖1142611圖1131211圖11212xx圖11111xy圖115 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖111中的兩個x用1來表示（如圖112所示）。（2）由圖113，得412(2)( 6)。（3）由圖

15、114，得（4）y(y)1(1) (y+1) （如圖115所示）。課堂練習一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）1、在多項式（1）（2）（3）（4），（5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多項式可分解為，則、的值是（ ）A、， B、， C、，

16、 D、，5、若其中、為整數，則的值為（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、5、關于x的二次三項式+b+c(a0)的因式分解。若關于x的方程的兩個實數根是、，則二次三項式就可分解為。例5把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）。解：（1）令=0，則解得，=。（2）令=0，則解得，=。練習1選擇題：多項式的一個因式為（ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8= （2）8a3b3=（3）x22x1 （4）。習題12 1分解因式：（1）= （2）； （3）； （4）。2在實數范圍內因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）。3三

17、邊，滿足，試判定的形狀。4分解因式：x(a2a)。1.2分解因式1 B 2（1）(x2)(x4) （2） （3） （4）。習題1.2 1（1） （2） （3） （4）2（1）；（2）；（3）； （4）。3等邊三角形 42.1 一元二次方程2.1.1根的判別式情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：(1)；(2)；(3)。用配方法可把一元二次方程bc0（a0）變?yōu)閍0，4a20。于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根；（3）當b24ac0時，方程的右端是

18、一個負數，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根。由此可知，一元二次方程bc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程bc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示。綜上所述，對于一元二次方程bc0（a0），有（1）當0時，方程有兩個不相bc0等的實數根；（2）當0時，方程有兩個相等的實數根，；（3）當0時，方程沒有實數根。例1 判定下列關于的方程的根的情況（其中a為常數），如果方程有實數根，寫出方程的實數根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）3241330，方程沒有實數根。（2）該方程的根的判別式a241(

19、1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數根，。（3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數根x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數根x11，x2a1。（4）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數根，；當0，即a1時，方程有兩個相等的實數根x1x21；當0，即a1時，方程沒有實數根。說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論。分類討論這一思想

20、方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題。2.1.2 根與系數的關系（韋達定理）若一元二次方程bc0（a0）有兩個實數根則有；。所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：如果bc0（a0）的兩根分別是,，那么+， 。這一關系也被稱為韋達定理。特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2pq0，若,是其兩根，由韋達定理可知，+p，q，即p(+)，q，所以，方程pq0可化為(+)0，由于,是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程(+)0。因此有以兩個數,為根的一元二次方程（二次項系數為1）是(+)0。所以，方程的另一個根為，k的

21、值為7。例2已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值。分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根。但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值。解法一：2是方程的一個根，522k260，k7。所以，方程就為5x27x60，解得2，。解法二：設方程的另一個根為，則 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一個根為，k的值為7。例3 已知關于的方程2(m2)xm240有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值

22、。分析：本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零。解：設,是方程的兩根，由韋達定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170，解得m1，或m17。當m1時，方程為650，0，滿足題意；當m17時，方程為302930，302412930，不合題意，舍去。綜上，m17。說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出m

23、的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零。因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根。例4已知兩個數的和為4，積為12，求這兩個數。分析：我們可以設出這兩個數分別為，y，利用二元方程求解出這兩個數。也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解。解法一：設這兩個數分別是，則 解得： ，因此，這兩個數是2和6。解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程x24x120的兩個根。解這個方程，得2，6。所以，這兩個數是2和6。說明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷。例5 若和分別是一元二

24、次方程25x30的兩根。（1）求|的值； （2）求的值； （3）。解：和分別是一元二次方程2530的兩根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(+2)( )(+) (+) 23()()23()。說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程bc0（a0），則，|-|。于是有下面的結論：若和分別是一元二次方程bc0（a0），則|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論。例6 若關于x的一元二次方程a4

25、0的一根大于零、另一根小于零，求實數a的取值范圍。解：設,是方程的兩根，則a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范圍是a4。練 習1.選擇題：（1）方程的根的情況是（ ）（A）有一個實數根 （B）有兩個不相等的實數根（C）有兩個相等的實數根（D）沒有實數根（2）若關于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m02填空:（1）若方程310的兩根分別是x1和x2，則 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 。（3）以3和1為根的一元二次方程是 。3.若，當k取何值時，方程kab0

26、有兩個不相等實數根？4已知方程310的兩根為和，求(3)( 3)的值。習題2.1 A組1選擇題:（1）已知關于的方程k20的一個根是1，則它的另一個根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個說法：其中正確說法的個數是（ ）個 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程370的兩根之和為0，兩根之積為；方程32x0的兩根之和為2，兩根之積為0。（3）關于x的一元二次方程a5xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的兩根之和

27、為2，則k 。（2）方程2x2x40的兩根為，則22 。（3）已知關于x的方程ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 。（4）方程22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 。3試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程(2m1) x10有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？4求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數。B 組1選擇題:若關于x的方程(k21) xk10的兩根互為相反數，則k的值為（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的兩實數根，則m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x1

28、0的兩個實數根，則代數式a3a2bab2b3的值是 。3已知關于x的方程kx20。（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求實數k的取值范圍。4一元二次方程abxc0（a0）的兩根為x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5關于x的方程4xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實數m的值。C 組1.選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程24x10的兩個根，則的值為（ ）（A）6

29、（B）4 （C）3 （D）（3）如果關于x的方程2(1+m)xm20有兩實數根，則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長，那么方程c(ab)x0的根的情況是（ ）（A）沒有實數根 （B）有兩個不相等的實數根（C）有兩個相等的實數根 （D）有兩個異號實數根2.填空：若方程8xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 。3.已知x1，x2是關于x的一元二次方程4k4kxk10的兩個實數根。（1）是否存在實數k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數的實數k的整數值；（3）若k2

30、，試求的值。4已知關于x的方程。（1）求證：無論m取什么實數時，這個方程總有兩個相異實數根；（2）若這個方程的兩個實數根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應的x1，x2。5若關于x的方程xa0的根一個大于1、另一根小于1，求實數a的取值范圍。2.1 一元二次方程 練習1.（1）C （2）D 2 （1）3 （2）有兩個不相等的實數根 （3）x22x303k4，且k0 41 提示：(x13)( x23)x1 x23(x1x2)9習題21 A 組1.（1）C （2）B 提示：和是錯的，對于，由于方程的根的判別式0，所以方程沒有實數根；對于，其兩根之和應為。（3）C 提示：當a0時，方程不是

31、一元二次方程，不合題意。2（1）2 （2） （3）6 （3） 3當m，且m0時，方程有兩個不相等的實數根；當m時，方程有兩個相等的實數根；當m時，方程沒有實數根。4.設已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是x1和x2，x1x27，x1x21，(x1)(x2)7，(x1)(x2)x1x21，所求的方程為y27y10。B組 1C 提示：由于k=1時，方程為x220，沒有實數根，所以k1。2（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)2006。（2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)(

32、ab) 22ab(1)(1)22(1)3。3（1）(k)241(2)k280，方程一定有兩個不相等的實數根。（2）x1x2k，x1x22，2k2，即k1。4（1）| x1x2|，；（2）x13x23。5| x1x2|，m3。把m3代入方程，0，滿足題意，m3。C組 1（1）B （2）A （3）C 提示：由0，得m，2(1m)1。（4）B 提示：a，b，c是ABC的三邊長，abc，(ab)2c20。2（1）12 提示：x1x28，3x12x22(x1x2)x128x118，x12，x26，mx1x212。3（1）假設存在實數k，使(2x1x2)( x12 x2)成立。一元二次方程4kx24kxk

33、10有兩個實數根，k0，且16k216k(k+1)=16k0，k0。x1x21，x1x2， (2x1x2)( x12 x2)2 x1251x22 x222(x1x2)29 x1x22，即，解得k，與k0相矛盾，所以，不存在實數k，使(2x1x2)( x12 x2)成立。（2）2，要使2的值為整數，只須k1能整除4。而k為整數，k1只能取1，2，4。又k0，k11，k1只能取1，2，4，k2，3，5。使2的值為整數的實數k的整數值為2，3和5。（3）當k2時，x1x21， x1x2， 2，得28，即， 。4（1）； （2）x1x20，x10，x20，或x10，x20。若x10，x20，則x2x1

34、2，x1x22，m22，m4。此時，方程為x22x40，。 若x10，x20，則x2x12，x1x22，m22，m0。此時，方程為x220，x10，x22。5設方程的兩根為x1，x2，則x1x21，x1x2a，由一根大于1、另一根小于1，得 (x11)(x21)0， 即 x1x2(x1x2)+10， a(1)10，a2。 此時，124(2) 0， 實數a的取值范圍是a2。22 二次函數2.2.1 二次函數yax2bxc的圖象和性質情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數的圖象，如作圖（1） (2) (3) 教師可采用計算機繪圖軟件輔助教學問題1 函數ya與y的圖象之間存在怎樣的關系？為了研

35、究這一問題，我們可以先畫出y2，y，y2的圖象，通過這些函數圖象與函數y的圖象之間的關系，推導出函數ya與y的圖象之間所存在的關系。先畫出函數y，y2的圖象。先列表：x321012394101492188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大到兩倍就可以了。圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21yx2y2x2圖2.2-1xOy再描點、連線，就分別得到了函數y，y2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y2的圖象可以由函數yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?。同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y，y

36、2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數y的圖象之間的關系。通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數ya (a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到。在二次函數ya (a0)中，二次項系數a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小。問題2 函數ya(xh)2k與ya的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系。同學們可以作出函數y2(x1)21與y2的圖象（如圖22所示），從函數的圖象我們不難發(fā)現，只要把函數y2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y2(x1)21的圖象。這兩個函數圖象之間具

37、有“形狀相同，位置不同”的特點。類似地，還可以通過畫函數y3，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關系。通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”。由上面的結論，我們可以得到研究二次函數yabxc(a0)的圖象的方法：由于yabxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的圖象可以看作是將函數ya的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數yabxc(a0)具有下列性質：（1）當a0時，函數

38、yabxc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減小；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，函數取最小值y。（2）當a0時，函數yabxc圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減?。划攛時，函數取最大值y。 上述二次函數的性質可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來。因此，在今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4例1 求二次函數y36x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大

39、值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮档膱D象。解：y36x13(x1)24，函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）。說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確。函數yabxc圖象作圖要領：確定開口方向：由二次項系數a決定。確定對稱軸：對稱軸方程為

40、確定圖象與x軸的交點情況，若0則與x軸有兩個交點，可由方程bxc=0求出若=0則與x軸有一個交點，可由方程x2bxc=0求出若0則與x軸有無交點。確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標為（0，c）由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數的草圖：（1） (2) (3) x /元130150165y/件705035例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：若日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y(銷

41、售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值。解：由于y是x的一次函數，于是，設ykxb，將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得。 yx200。設每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當x160時，z取最大值1600。答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元。例3 把二次函數ybxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數yx2的圖像，求b，c的值。解法一

42、：ybxc(x +)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數y的圖像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函數ybxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y的圖像，等價于把二次函數yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數ybxc的圖像。由于把二次函數y的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數y(x4)22的圖像，即為y8x14的圖像，函數y8x14與函數ybxc表示同一個函數，b8，c14。說明：本例的兩種解法都是利用二次函數圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數圖像的變換規(guī)律。這兩種解法反映

43、了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點。今后，我們在解題時，可以根據題目的具體情況，選擇恰當的方法來解決問題。例4 已知函數yx2，2xa，其中a2，求該函數的最大值與最小值，并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量x的值。 分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論。解：（1）當a2時，函數y的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數取最大值y4；

44、當xa時，函數取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖226可知，當x2時，函數取最大值y4；當x0時，函數取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數取最大值ya2；當x0時，函數取最小值y0。xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論。此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題。練習 1選擇題：（1）下列函數圖象中，頂點不在坐標軸上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函數y2(x1)22是將函數y2（ ）