1-2 n 階行列式

1、觀察與思考,為了給出n階行列式的定義 我們要先研究三階行 列式的結(jié)構(gòu),第二節(jié) n 階行列式,1.宏觀上,觀察與思考,（1）由6項組成,（2）3個正項，3個負項,2.微觀上,（1）三階行列式展開式的每一項都是其位于不同行不同列的三個元素之積；,（3）帶正號的三項列下標(biāo)的排列分別為(123), (231), (312), 帶負號的三項列下標(biāo)的排列分別為(132), (213), (321) 正項的逆序數(shù)為偶數(shù)，負項的逆序數(shù)為奇數(shù),（2）若將每一項第一個下標(biāo)按自然順序排列，則第二個下標(biāo)是123所有6種排列的一種；(123), (231), (312), (132), (213), (321),觀察與

2、思考,(1)行列式右邊任一項除正負號外可以寫成,三階行列式的結(jié)構(gòu),其中p1 p2 p3 是1、2、3的某個排列,(2)各項所帶的正負號可以表示為(1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù),(1)行列式右邊任一項除正負號外可以寫成,三階行列式的結(jié)構(gòu),其中p1p2p3是1、2、3的某個排列,(2)各項所帶的正負號可以表示為(1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù),三階行列式可以寫成,其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù) 表示對1、2、3三個數(shù)的所有排列p1p2p3取和,提示,在一個排列中 如果某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個大的數(shù)排在了一個小的數(shù)前面） 就說有1個逆序 一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這

3、個排列的逆序數(shù),標(biāo)準(zhǔn)排列（自然排列）,在n個自然數(shù)的全排列中排列123 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列,逆序與逆序數(shù),以下我們只討論n個自然數(shù)的全排列,n級排列,n個自然數(shù)按一定的次序排成的一個無重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個n 級排列. 例如：546132是一個6級排列。,一、排列的逆序與奇偶性,在排列p1p2 pn中 從第一個數(shù)p1開始，首先計算p1后面比p1小的數(shù)的個數(shù) t1 ，對后面的每個pi也這樣計算，得t2，t3 ， tn，則這n個數(shù)目之和 t1t2 tn 即為排列p1p2 pn的逆序數(shù)。記為,逆序數(shù)的計算,舉例,在排列32514中,t50,t40,t32,t21,t12,排列32514的逆序數(shù)為t2

4、12005,標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是多少?,逆序與逆序數(shù),在一個排列中 如果某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個大的數(shù)排在了一個小的數(shù)前面） 就說有1個逆序 一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù),舉例,排列32514的逆序數(shù)是5 它是奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是0 它是偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列,奇排列與偶排列,逆序與逆序數(shù),在一個排列中 如果某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個大的數(shù)排在了一個小的數(shù)前面） 就說有1個逆序 一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù),在排列中 將任意兩個元素對調(diào) 其余的元素不

5、動 就 得到另一個排列 這種對排列的變換方法稱為對換 將相鄰兩個元素對換 叫做相鄰對換（鄰換）,對換,舉例,在排列21354中 對換1與4,排列21354的逆序數(shù)是2,經(jīng)過對換 排列的奇偶性發(fā)生了變化,得到的排列是24351,排列24351的逆序數(shù)是5,定理1 一個排列中的任意兩個元素對換 排列改變奇偶性,推論1 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù),這是因為 由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù) 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列 因此標(biāo)準(zhǔn)排列變?yōu)槠媾帕械膶Q次數(shù)為奇數(shù)次，相應(yīng)地，奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)也為奇數(shù)次,推論2,n大于或等于2時，全體 n 級排列中

6、，奇排列和偶排列的個數(shù)相等，各為 n!/2 個.,二、n 階行列式的定義,利用排列的逆序和奇偶性的概念,將上式推廣到 n 階行列式，有,具體來說, 由 n2 個數(shù)aij (i j1 2 n)構(gòu)成的代數(shù)和,1. D是n!項的代數(shù)和 ;,3. 這些項是一切可能取自于D的不同行與不同列的 n 個元素的乘積 ;,2. 正負項個數(shù)分別為n!/2 個;,例1 在6階行列式 det(aij) 中 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號?,解 列標(biāo)排列532416 它的逆序數(shù)為 t4211008 它是偶排列 所以在該乘積項的前面應(yīng)取正號,例2 用行列式定義計算行列式,解 為使取自不同行不同

7、列的元素的乘積不為0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四個元素的乘積為a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列標(biāo)排列為4123 它的逆序數(shù)為3 是奇排列 所以 D(1)3a14a21a32a43a14a21a32a431,例3 證明行列式,一般地，主對角上三角形、下三角形及對角形行列式的值等于主對角線上n個元素的乘積,解,因為它的列標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列 其逆序數(shù)為0 所以在它前面帶有正號,要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為零,第一行只能取a11,第二行只能取a22,第三行只能取a33, ,第n行只能取ann,這樣的乘積項只有一個 即a11a22a33 ann,因此,Da11a22a