1-2 n 階行列式

1、觀察與思考,為了給出n階行列式的定義 我們要先研究三階行 列式的結(jié)構(gòu),第二節(jié) n 階行列式,1.宏觀上,觀察與思考,（1）由6項(xiàng)組成,（2）3個(gè)正項(xiàng)，3個(gè)負(fù)項(xiàng),2.微觀上,（1）三階行列式展開式的每一項(xiàng)都是其位于不同行不同列的三個(gè)元素之積；,（3）帶正號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)的排列分別為(123), (231), (312), 帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)的排列分別為(132), (213), (321) 正項(xiàng)的逆序數(shù)為偶數(shù)，負(fù)項(xiàng)的逆序數(shù)為奇數(shù),（2）若將每一項(xiàng)第一個(gè)下標(biāo)按自然順序排列，則第二個(gè)下標(biāo)是123所有6種排列的一種；(123), (231), (312), (132), (213), (321),觀察與

2、思考,(1)行列式右邊任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)外可以寫成,三階行列式的結(jié)構(gòu),其中p1 p2 p3 是1、2、3的某個(gè)排列,(2)各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為(1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù),(1)行列式右邊任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)外可以寫成,三階行列式的結(jié)構(gòu),其中p1p2p3是1、2、3的某個(gè)排列,(2)各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為(1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù),三階行列式可以寫成,其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù) 表示對(duì)1、2、3三個(gè)數(shù)的所有排列p1p2p3取和,提示,在一個(gè)排列中 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個(gè)大的數(shù)排在了一個(gè)小的數(shù)前面） 就說(shuō)有1個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這

3、個(gè)排列的逆序數(shù),標(biāo)準(zhǔn)排列（自然排列）,在n個(gè)自然數(shù)的全排列中排列123 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列,逆序與逆序數(shù),以下我們只討論n個(gè)自然數(shù)的全排列,n級(jí)排列,n個(gè)自然數(shù)按一定的次序排成的一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個(gè)n 級(jí)排列. 例如：546132是一個(gè)6級(jí)排列。,一、排列的逆序與奇偶性,在排列p1p2 pn中 從第一個(gè)數(shù)p1開始，首先計(jì)算p1后面比p1小的數(shù)的個(gè)數(shù) t1 ，對(duì)后面的每個(gè)pi也這樣計(jì)算，得t2，t3 ， tn，則這n個(gè)數(shù)目之和 t1t2 tn 即為排列p1p2 pn的逆序數(shù)。記為,逆序數(shù)的計(jì)算,舉例,在排列32514中,t50,t40,t32,t21,t12,排列32514的逆序數(shù)為t2

4、12005,標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是多少?,逆序與逆序數(shù),在一個(gè)排列中 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個(gè)大的數(shù)排在了一個(gè)小的數(shù)前面） 就說(shuō)有1個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù),舉例,排列32514的逆序數(shù)是5 它是奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是0 它是偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列,奇排列與偶排列,逆序與逆序數(shù),在一個(gè)排列中 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同（即一個(gè)大的數(shù)排在了一個(gè)小的數(shù)前面） 就說(shuō)有1個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù),在排列中 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) 其余的元素不

5、動(dòng) 就 得到另一個(gè)排列 這種對(duì)排列的變換方法稱為對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換 叫做相鄰對(duì)換（鄰換）,對(duì)換,舉例,在排列21354中 對(duì)換1與4,排列21354的逆序數(shù)是2,經(jīng)過(guò)對(duì)換 排列的奇偶性發(fā)生了變化,得到的排列是24351,排列24351的逆序數(shù)是5,定理1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換 排列改變奇偶性,推論1 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù),這是因?yàn)?由定理1知，對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù) 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列 因此標(biāo)準(zhǔn)排列變?yōu)槠媾帕械膶?duì)換次數(shù)為奇數(shù)次，相應(yīng)地，奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)也為奇數(shù)次,推論2,n大于或等于2時(shí)，全體 n 級(jí)排列中

6、，奇排列和偶排列的個(gè)數(shù)相等，各為 n!/2 個(gè).,二、n 階行列式的定義,利用排列的逆序和奇偶性的概念,將上式推廣到 n 階行列式，有,具體來(lái)說(shuō), 由 n2 個(gè)數(shù)aij (i j1 2 n)構(gòu)成的代數(shù)和,1. D是n!項(xiàng)的代數(shù)和 ;,3. 這些項(xiàng)是一切可能取自于D的不同行與不同列的 n 個(gè)元素的乘積 ;,2. 正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)分別為n!/2 個(gè);,例1 在6階行列式 det(aij) 中 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號(hào)?,解 列標(biāo)排列532416 它的逆序數(shù)為 t4211008 它是偶排列 所以在該乘積項(xiàng)的前面應(yīng)取正號(hào),例2 用行列式定義計(jì)算行列式,解 為使取自不同行不同

7、列的元素的乘積不為0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四個(gè)元素的乘積為a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列標(biāo)排列為4123 它的逆序數(shù)為3 是奇排列 所以 D(1)3a14a21a32a43a14a21a32a431,例3 證明行列式,一般地，主對(duì)角上三角形、下三角形及對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上n個(gè)元素的乘積,解,因?yàn)樗牧袠?biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列 其逆序數(shù)為0 所以在它前面帶有正號(hào),要使取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積不為零,第一行只能取a11,第二行只能取a22,第三行只能取a33, ,第n行只能取ann,這樣的乘積項(xiàng)只有一個(gè) 即a11a22a33 ann,因此,Da11a22a