2020高中數(shù)學(xué) 1.3.2球的體積與表面積教案 新人教A版必修2（通用）

1、必修2第1章第3節(jié)球的體積和表面積第1課時教學(xué)設(shè)計【課標(biāo)解讀】由于球的體積和表面積公式在推導(dǎo)證明上比較繁瑣，學(xué)生在理解掌握上也比較困難，根據(jù)新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，本節(jié)的公式證明和推導(dǎo)應(yīng)淡化處理，只需讓學(xué)生簡單了解推導(dǎo)過程，體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用，不要求學(xué)生掌握其證明。在球的體積和表面積公式應(yīng)用和球與幾何體組合體的求解過程中，提高學(xué)生的空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。通過應(yīng)用預(yù)設(shè)和相應(yīng)的應(yīng)用練習(xí)提高學(xué)生的提出、分析和解決問題（包括簡單的實(shí)際問題）的能力，利用學(xué)生身邊熟知的問題預(yù)設(shè)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)而形成鍥

2、而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度?！窘滩姆治觥勘竟?jié)課是人教A版高中數(shù)學(xué)（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教材）必修2第一章“空間幾何體”第三節(jié)“球的體積和表面積”，是在學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺體等基本幾何體的基礎(chǔ)上，通過空間度量形式了解另一種基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征。從知識上講，球是一種高度對稱的基本空間幾何體，同時它也是進(jìn)一步研究空間組合體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們提供了另外一種求空間幾何體體積和表面積的思想方法；從教材編排上，更重視學(xué)生的直觀感知和操作確認(rèn)，為螺旋式上升的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。【學(xué)情分析】學(xué)生剛學(xué)習(xí)立體幾何不久，具備的圖形語言表達(dá)及空間想象能力相對不足，幾何體的內(nèi)切球、外接球的位置關(guān)系較難想象，很難順利

3、作出正確的直觀圖，空間圖形問題向平面圖形問題的轉(zhuǎn)化意識也不夠，對于解決組合體的體積和表面積的問題有一定的困難，而且學(xué)生的歸納總結(jié)能力不夠，獨(dú)立完成自主學(xué)習(xí)任務(wù)有一定困難，還不能從一定高度去體會和感悟數(shù)學(xué)思想。這些都是擺在學(xué)生面前的難題，也是教學(xué)中迫切需要解決的問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.掌握球的體積、表面積公式及其應(yīng)用。2會用球的表面積公式、體積公式解決相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，發(fā)展邏輯思維能力，加強(qiáng)辯證唯物主義觀點(diǎn)。3.通過尋求如何探究球的內(nèi)接和外切的方法，解決球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：球的體積和表面積的計算公式的應(yīng)用難點(diǎn)：解決與球相關(guān)的“內(nèi)接”和“外切”

4、的幾何問題【教學(xué)方法】講練結(jié)合【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖新課引入問題一、座落于萊陽河?xùn)|新區(qū)鶴山路與梨園路交叉口的山東萊陽金山國際酒店由錦江國際酒店管理有限公司管理，鄰近萊陽火車站，酒店集傳統(tǒng)中式的優(yōu)雅與現(xiàn)代設(shè)計于一身，體現(xiàn)一流的舒適感和實(shí)用性。現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？問題二、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？通過多媒體展示實(shí)際問題師：對于這兩個實(shí)際問題，我們能否利用數(shù)學(xué)知識來解決呢？通過問題的鋪設(shè)引入新課探索新知回顧上一

5、節(jié)的內(nèi)容柱體的體積公式V=Sh錐體的體積公式臺體的體積公式這些公式推導(dǎo)的依據(jù)是什么？提出問題怎樣求球的表面積和體積？球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展開成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？球的體積1.實(shí)驗法：排液法測小球的體積（曹沖稱象）小球排出的液體的體積等于小球的體積2祖暅定理法：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后,所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面設(shè)平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為r 則截面面積設(shè)圓大環(huán)半徑為R小圓半徑為 ，面積所以，由祖暅定理得，這

6、兩個幾何體的體積相等，即球的表面積:設(shè)想一個球由許多頂點(diǎn)在球心,底面在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成,這些準(zhǔn)錐體的底面并不是真的多邊形,但只要其底面足夠小,就可以把它們看成真正的錐體.=)R=知識要點(diǎn)1球的體積：2球的表面積：解惑一，解決問題一解惑二，解決問題二多媒體展示回顧內(nèi)容師以提問的方式讓學(xué)生回答回顧內(nèi)容師：這些公式推導(dǎo)的依據(jù)是什么？生：分割師投影提出問題師投影球的體積和表面積的推導(dǎo)方法，并簡單介紹師：因為球的體積和表面積公式的推導(dǎo)不要求掌握，所以在這里只做簡單了解師：通過給出的球的體積表面積公式，思考球的體積、表面積由哪一個量來決定的？生：球的半徑R師：（肯定）利用剛才所學(xué)知識能否解決問題一？

7、生：師：那能否解決問題二呢？通過回顧內(nèi)容提出問題通過球的體積表面積的推導(dǎo)讓學(xué)生簡單了解，不要求學(xué)生掌握所以用時要簡單加強(qiáng)對公式的認(rèn)識培養(yǎng)學(xué)生理解能力典例分析例1.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側(cè)面積相等.證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.(2)例2籃球直徑是10cm,不考慮球皮厚度，求它的體積.拓展一在物流快遞中，郵遞員要將此籃球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進(jìn)行打包，怎樣做才能做到用料最?。?解：由題意得，球的直徑等于正方體的棱長 正方體的表面積為拓展二如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為a,

8、它的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積。分析：由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體體對角線與球的直徑相等。ADC BD師：投影例1并讀題，學(xué)生先獨(dú)立完成生：利用投影儀展示自己所做的答案師：點(diǎn)評學(xué)生做的答案并投影本題答案（本題聯(lián)系各有關(guān)量的關(guān)鍵性要素是球的半徑）教師投影例2并讀題，學(xué)生先獨(dú)立完成.讓學(xué)生投影答案教師進(jìn)行點(diǎn)評教師投影拓展一并讀題，師：思考：用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系? 生： 球內(nèi)切于正方體師：你準(zhǔn)備怎樣研究這個組合體？生：畫出球和正方體的平面圖.師：正方體的棱長與球的哪一個量相等？生：球的直徑.師投影軸截面圖，邊分析邊板書有關(guān)過程.教師投影拓展二

9、并讀題，學(xué)生先思考、討論，教師視情況控制時間，給予引導(dǎo)，并利用投影儀展示學(xué)生做的解題過程，最后給出正確答案讓學(xué)生比照自己做的，找出不足之處。.師：簡單幾何體的切接問題，包括簡單幾何體的內(nèi)外切和內(nèi)外接，在解決這類問題時要準(zhǔn)確地畫出它們的圖形，一般要通過一些特殊點(diǎn)，如切點(diǎn)，某些頂點(diǎn)，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運(yùn)用平面幾何的知識，研究有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而把問題解決.本題較易，學(xué)生獨(dú)立完成，有利于培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力.本題較易，學(xué)生能獨(dú)立完成，該題的目的是引出拓展通過師生討論，突破問題解決的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和問題解決的能力.隨堂練習(xí)(1)若球的表

10、面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼?倍 。(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍 。(3)若兩球表面積之比為1:4，則其體積之比是。(4)若兩球體積之比是1:8，則其表面積之比是。應(yīng)用練習(xí)如圖所示,一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋,請你設(shè)計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑,杯子壁厚忽略不計),使冰淇淋融化后不會溢出杯子,怎樣設(shè)計最省材料?分析：解決本題關(guān)鍵是求出半球的體積和圓錐的體積，然后使得圓錐體積大于等于半球的體積即可.解：要使冰淇淋不從杯子里溢出，只需使由題意得學(xué)生獨(dú)立完成（1）（2）（3）（4）師展示應(yīng)用練習(xí)并讀題，并引導(dǎo)

11、學(xué)生研究思考鞏固所學(xué)知識應(yīng)用練習(xí)的目的是讓學(xué)生能夠利用所學(xué)的知識解決實(shí)際應(yīng)用問題課堂小結(jié)初步了解球的表面積體積的計算公式的獲得2掌握球的表面積體積的計算公式的應(yīng)用3掌握球的內(nèi)接和外切問題，解決此類題型的關(guān)鍵是找到幾何體與球的直徑（或半徑）間的聯(lián)系，并能通過軸截面將空間幾何體轉(zhuǎn)換成平面問題來解決學(xué)生獨(dú)立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識，提高學(xué)生自我整合知識的能力.課后作業(yè)P28 課后練習(xí)1.2.3P35復(fù)習(xí)參考題A組1 B組2學(xué)生獨(dú)立完成固化練習(xí)提升能力【板書設(shè)計】由于本節(jié)課的授課形式為多媒體課件和導(dǎo)學(xué)案相結(jié)合的方式，所以在板書設(shè)計上能體現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容即可球的體積和表面積一、 體積

12、公式： 拓展一 拓展二 面積公式：二、例題例1必修2第1章第3節(jié)球的體積和表面積第1課時導(dǎo)學(xué)案萊陽市第四中學(xué) 孫大勇 閆留云一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握球的體積、表面積公式及其應(yīng)用。2會用球的表面積公式、體積公式解決相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，發(fā)展邏輯思維能力，加強(qiáng)辯證唯物主義觀點(diǎn)。3.通過尋求如何探究球的內(nèi)接和外切的方法，解決球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問題。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：球的體積和表面積的計算公式的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：解決與球相關(guān)的“內(nèi)接”和“外切”的幾何問題三、知識鏈接1、柱體、錐體、臺體的體積公式和表面積公式分別是什么？ 2、球也是一個旋轉(zhuǎn)體，它也有表面積和體積，那么它的表面積

13、和體積的應(yīng)用和拓展應(yīng)用也是我們這節(jié)課所要研究的內(nèi)容。四、學(xué)法指導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)學(xué)案和多媒體通過講練結(jié)合的方法學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容問題引入問題一、座落于萊陽河?xùn)|新區(qū)鶴山路與梨園路交叉口的山東萊陽金山國際酒店由錦江國際酒店管理有限公司管理，鄰近萊陽火車站，酒店集傳統(tǒng)中式的優(yōu)雅與現(xiàn)代設(shè)計于一身，體現(xiàn)一流的舒適感和實(shí)用性。現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？問題二、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？回顧柱體的體積公式 錐體的體積公式 臺體的體積公式 這些公式推導(dǎo)的依據(jù)是什么

14、？提出問題怎樣求球的表面積和體積？球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？球的體積1.實(shí)驗法：排液法測小球的體積（曹沖稱象）小球排出的液體的體積等于小球的體積2.祖暅定理法：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后,所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。用任一水平面去截這兩個幾何體用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面設(shè)平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為r 則截面面積設(shè)圓大環(huán)半徑為R小圓半徑為 ，面積所以，由祖暅定理得，這兩個幾何體的體積相等，即球的表面積設(shè)想一個球由許多頂點(diǎn)

15、在球心，底面在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成，這些準(zhǔn)錐體的底面并不是真的多邊形，但只要其底面足夠小，就可以把它們看成真正的錐體。=)R=知識要點(diǎn)1、半徑為R的球的體積公式：_2、半徑為R的球的表面積公式：_球的體積、表面積由哪一個量來決定的？典例分析例1如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側(cè)面積相等.例2籃球直徑是10cm,不考慮球皮厚度，求它的體積.拓展一在物流快遞中，郵遞員要將此籃球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進(jìn)行打包，怎樣做才能做到用料最??？拓展二如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為a，它的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積。分析：由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體體對角線與球的直徑相等。ADC BD 課堂練習(xí)(1)若球的表面