2020高中數(shù)學 1.3.2球的體積與表面積教案 新人教A版必修2（通用）

1、必修2第1章第3節(jié)球的體積和表面積第1課時教學設計【課標解讀】由于球的體積和表面積公式在推導證明上比較繁瑣，學生在理解掌握上也比較困難，根據(jù)新的數(shù)學課程標準要求，本節(jié)的公式證明和推導應淡化處理，只需讓學生簡單了解推導過程，體會其中所蘊含的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用，不要求學生掌握其證明。在球的體積和表面積公式應用和球與幾何體組合體的求解過程中，提高學生的空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。通過應用預設和相應的應用練習提高學生的提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，利用學生身邊熟知的問題預設提高學生學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心，進而形成鍥

2、而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度?！窘滩姆治觥勘竟?jié)課是人教A版高中數(shù)學（課程標準實驗教材）必修2第一章“空間幾何體”第三節(jié)“球的體積和表面積”，是在學習了柱體、錐體、臺體等基本幾何體的基礎上，通過空間度量形式了解另一種基本幾何體的結構特征。從知識上講，球是一種高度對稱的基本空間幾何體，同時它也是進一步研究空間組合體結構特征的基礎；從方法上講，它為我們提供了另外一種求空間幾何體體積和表面積的思想方法；從教材編排上，更重視學生的直觀感知和操作確認，為螺旋式上升的學習奠定了基礎?！緦W情分析】學生剛學習立體幾何不久，具備的圖形語言表達及空間想象能力相對不足，幾何體的內切球、外接球的位置關系較難想象，很難順利

3、作出正確的直觀圖，空間圖形問題向平面圖形問題的轉化意識也不夠，對于解決組合體的體積和表面積的問題有一定的困難，而且學生的歸納總結能力不夠，獨立完成自主學習任務有一定困難，還不能從一定高度去體會和感悟數(shù)學思想。這些都是擺在學生面前的難題，也是教學中迫切需要解決的問題。【教學目標】1.掌握球的體積、表面積公式及其應用。2會用球的表面積公式、體積公式解決相關問題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力，發(fā)展邏輯思維能力，加強辯證唯物主義觀點。3.通過尋求如何探究球的內接和外切的方法，解決球的“內接”與“外切”的幾何體問題。【教學重點、難點】重點：球的體積和表面積的計算公式的應用難點：解決與球相關的“內接”和“外切”

4、的幾何問題【教學方法】講練結合【教學過程】教學過程教學內容師生互動設計意圖新課引入問題一、座落于萊陽河東新區(qū)鶴山路與梨園路交叉口的山東萊陽金山國際酒店由錦江國際酒店管理有限公司管理，鄰近萊陽火車站，酒店集傳統(tǒng)中式的優(yōu)雅與現(xiàn)代設計于一身，體現(xiàn)一流的舒適感和實用性?，F(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學材料以更好地保護酒店，那么，需要多少面積的這種化學材料呢？問題二、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？通過多媒體展示實際問題師：對于這兩個實際問題，我們能否利用數(shù)學知識來解決呢？通過問題的鋪設引入新課探索新知回顧上一

5、節(jié)的內容柱體的體積公式V=Sh錐體的體積公式臺體的體積公式這些公式推導的依據(jù)是什么？提出問題怎樣求球的表面積和體積？球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展開成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？球的體積1.實驗法：排液法測小球的體積（曹沖稱象）小球排出的液體的體積等于小球的體積2祖暅定理法：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后,所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面設平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為r 則截面面積設圓大環(huán)半徑為R小圓半徑為 ，面積所以，由祖暅定理得，這

6、兩個幾何體的體積相等，即球的表面積:設想一個球由許多頂點在球心,底面在球面上的“準錐體”組成,這些準錐體的底面并不是真的多邊形,但只要其底面足夠小,就可以把它們看成真正的錐體.=)R=知識要點1球的體積：2球的表面積：解惑一，解決問題一解惑二，解決問題二多媒體展示回顧內容師以提問的方式讓學生回答回顧內容師：這些公式推導的依據(jù)是什么？生：分割師投影提出問題師投影球的體積和表面積的推導方法，并簡單介紹師：因為球的體積和表面積公式的推導不要求掌握，所以在這里只做簡單了解師：通過給出的球的體積表面積公式，思考球的體積、表面積由哪一個量來決定的？生：球的半徑R師：（肯定）利用剛才所學知識能否解決問題一？

7、生：師：那能否解決問題二呢？通過回顧內容提出問題通過球的體積表面積的推導讓學生簡單了解，不要求學生掌握所以用時要簡單加強對公式的認識培養(yǎng)學生理解能力典例分析例1.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側面積相等.證明:(1)設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.(2)例2籃球直徑是10cm,不考慮球皮厚度，求它的體積.拓展一在物流快遞中，郵遞員要將此籃球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進行打包，怎樣做才能做到用料最??？ 解：由題意得，球的直徑等于正方體的棱長 正方體的表面積為拓展二如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為a,

8、它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。分析：由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體體對角線與球的直徑相等。ADC BD師：投影例1并讀題，學生先獨立完成生：利用投影儀展示自己所做的答案師：點評學生做的答案并投影本題答案（本題聯(lián)系各有關量的關鍵性要素是球的半徑）教師投影例2并讀題，學生先獨立完成.讓學生投影答案教師進行點評教師投影拓展一并讀題，師：思考：用料最省時,球與正方體有什么位置關系? 生： 球內切于正方體師：你準備怎樣研究這個組合體？生：畫出球和正方體的平面圖.師：正方體的棱長與球的哪一個量相等？生：球的直徑.師投影軸截面圖，邊分析邊板書有關過程.教師投影拓展二

9、并讀題，學生先思考、討論，教師視情況控制時間，給予引導，并利用投影儀展示學生做的解題過程，最后給出正確答案讓學生比照自己做的，找出不足之處。.師：簡單幾何體的切接問題，包括簡單幾何體的內外切和內外接，在解決這類問題時要準確地畫出它們的圖形，一般要通過一些特殊點，如切點，某些頂點，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運用平面幾何的知識，研究有關元素的位置關系和數(shù)量關系，進而把問題解決.本題較易，學生獨立完成，有利于培養(yǎng)學生問題解決的能力.本題較易，學生能獨立完成，該題的目的是引出拓展通過師生討論，突破問題解決的關鍵，培養(yǎng)學生空間想象能力和問題解決的能力.隨堂練習(1)若球的表

10、面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼?倍 。(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍 。(3)若兩球表面積之比為1:4，則其體積之比是。(4)若兩球體積之比是1:8，則其表面積之比是。應用練習如圖所示,一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋,請你設計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑,杯子壁厚忽略不計),使冰淇淋融化后不會溢出杯子,怎樣設計最省材料?分析：解決本題關鍵是求出半球的體積和圓錐的體積，然后使得圓錐體積大于等于半球的體積即可.解：要使冰淇淋不從杯子里溢出，只需使由題意得學生獨立完成（1）（2）（3）（4）師展示應用練習并讀題，并引導

11、學生研究思考鞏固所學知識應用練習的目的是讓學生能夠利用所學的知識解決實際應用問題課堂小結初步了解球的表面積體積的計算公式的獲得2掌握球的表面積體積的計算公式的應用3掌握球的內接和外切問題，解決此類題型的關鍵是找到幾何體與球的直徑（或半徑）間的聯(lián)系，并能通過軸截面將空間幾何體轉換成平面問題來解決學生獨立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識，提高學生自我整合知識的能力.課后作業(yè)P28 課后練習1.2.3P35復習參考題A組1 B組2學生獨立完成固化練習提升能力【板書設計】由于本節(jié)課的授課形式為多媒體課件和導學案相結合的方式，所以在板書設計上能體現(xiàn)本節(jié)課的主要內容即可球的體積和表面積一、 體積

12、公式： 拓展一 拓展二 面積公式：二、例題例1必修2第1章第3節(jié)球的體積和表面積第1課時導學案萊陽市第四中學 孫大勇 閆留云一、教學目標1.掌握球的體積、表面積公式及其應用。2會用球的表面積公式、體積公式解決相關問題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力，發(fā)展邏輯思維能力，加強辯證唯物主義觀點。3.通過尋求如何探究球的內接和外切的方法，解決球的“內接”與“外切”的幾何體問題。二、教學重點、難點教學重點：球的體積和表面積的計算公式的應用教學難點：解決與球相關的“內接”和“外切”的幾何問題三、知識鏈接1、柱體、錐體、臺體的體積公式和表面積公式分別是什么？ 2、球也是一個旋轉體，它也有表面積和體積，那么它的表面積

13、和體積的應用和拓展應用也是我們這節(jié)課所要研究的內容。四、學法指導結合導學案和多媒體通過講練結合的方法學習本節(jié)內容問題引入問題一、座落于萊陽河東新區(qū)鶴山路與梨園路交叉口的山東萊陽金山國際酒店由錦江國際酒店管理有限公司管理，鄰近萊陽火車站，酒店集傳統(tǒng)中式的優(yōu)雅與現(xiàn)代設計于一身，體現(xiàn)一流的舒適感和實用性。現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學材料以更好地保護酒店，那么，需要多少面積的這種化學材料呢？問題二、一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？回顧柱體的體積公式 錐體的體積公式 臺體的體積公式 這些公式推導的依據(jù)是什么

14、？提出問題怎樣求球的表面積和體積？球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？球的體積1.實驗法：排液法測小球的體積（曹沖稱象）小球排出的液體的體積等于小球的體積2.祖暅定理法：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后,所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。用任一水平面去截這兩個幾何體用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面設平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為r 則截面面積設圓大環(huán)半徑為R小圓半徑為 ，面積所以，由祖暅定理得，這兩個幾何體的體積相等，即球的表面積設想一個球由許多頂點

15、在球心，底面在球面上的“準錐體”組成，這些準錐體的底面并不是真的多邊形，但只要其底面足夠小，就可以把它們看成真正的錐體。=)R=知識要點1、半徑為R的球的體積公式：_2、半徑為R的球的表面積公式：_球的體積、表面積由哪一個量來決定的？典例分析例1如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側面積相等.例2籃球直徑是10cm,不考慮球皮厚度，求它的體積.拓展一在物流快遞中，郵遞員要將此籃球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進行打包，怎樣做才能做到用料最省？拓展二如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為a，它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。分析：由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體體對角線與球的直徑相等。ADC BD 課堂練習(1)若球的表面