福建省福州市三校聯(lián)盟（連江文筆中學(xué)、永泰城關(guān)中學(xué)、長樂高級中學(xué)）2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）（通用）

1、福建省福州市三校聯(lián)盟（連江文筆中學(xué)、永泰城關(guān)中學(xué)、長樂高級中學(xué)）2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求出集合B，根據(jù)交集的定義計算即可?！驹斀狻恳李}意，所以故選C【點睛】本題考查集合的交集運算，屬基礎(chǔ)題2.設(shè)向量，若,則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的公式，計算即可。【詳解】依題意，解得故選D【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，屬基礎(chǔ)題。3.下列不等式正

2、確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可【詳解】選項：當時，因此不正確；選項：取，則不成立；選項：由知，故，所以，正確；選項：時不成立綜上可得：只有正確【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式的性質(zhì)，考查分析推理的能力，屬基礎(chǔ)題。4.函數(shù)的大致圖象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù) ，可得 ， 是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除C，D；當時， ，令 得：，得出函數(shù)在上是增函數(shù)，排除B，故選A.點睛：在解決函數(shù)圖象問題時，主要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性作出判斷.本題首先根據(jù)，得出是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱

3、.再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出正確選項5.已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得，計算求解即可。【詳解】依題意，所以，解得故選A【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。6.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意得：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解?！驹斀狻糠椒ㄒ唬阂李}意，因為，所以，即方法二：依題意，因為，所以，所以【點睛】本題考查對數(shù)的化簡，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。7.函數(shù) 的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（ ）A. 向右平移個單位長度B. 向右平移

4、個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向左平移個單位長度【答案】A【解析】根據(jù)圖象可得，則根據(jù)五點法作圖可得，則故將函數(shù)向右平移個單位長度，可得故選A8.等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和是（ ）A. -35B. -25C. 25D. 35【答案】C【解析】【分析】依題意，根據(jù)等比數(shù)列的公式，可求得 ，代入即可求出，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式即可求解?！驹斀狻吭O(shè)等比數(shù)列的公比為，則 ，解得，所以 ，所以，所以數(shù)列的前10項和故選C?！军c睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列與等差數(shù)列的轉(zhuǎn)化，等差數(shù)列前n項和的求法，考查計算分析，化簡求值的能力，屬中檔題。9.如圖，一棟建筑物的高為 ，在該建筑物的

5、正東方向有一個通信塔，在它們之間的地面點（三點共線）處測得樓頂，塔頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂C的仰角為，則通信塔的高為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和正弦定理求解塔的高度即可.【詳解】作AECD，垂足E，則：在AMC中，AM=20，AMC=105，ACM=30，AC=60+20，CD=30-10+AC=60m.本題選擇B選項.【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(

6、4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.10.如圖，已知直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱），點分別在側(cè)棱和上，平面把三棱柱分成上、下兩部分，則上、下兩個幾何體的體積比為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】連接，三棱柱可分割為：，三部分，分析可得三部分體積相等，整理即可求解?！驹斀狻吭O(shè)直三棱柱的體積為，連接，點、分別在棱和上，四棱錐的，的底面積相等，把直三棱柱分割為：，三棱錐的為，四棱錐，的體積之和為：，四棱錐的，的底面積，高相等四棱錐的，的體積相等，即為，棱錐，的體積相等，為，平面把三棱柱分成兩部分的體積比為【點睛】本題考查椎體體積的求

7、法，考查空間想象能力，計算推理的能力，屬中檔題11.在中，是邊上一點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，在中，由正弦定理得，在中，同理可得，化簡整理可得結(jié)果。【詳解】設(shè)，則在中，由正弦定理得，即，同理，在中，得，故，即，故所以?！军c睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，要點在于對兩個三角形分別應(yīng)用正弦定理，聯(lián)立求解，考查計算化簡的能力，屬中檔題。12.已知函數(shù)若存在正實數(shù)，使得方程有三個互不相等的實根，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方程可化為，令，可求得的解析式，并做出圖像，若方程有三個互不相等的實根，則函數(shù)與直線有3個交點，根據(jù)二

8、次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解?！驹斀狻糠匠炭苫癁?，令，則，做出的圖像，如圖所示，由圖可知，若方程有三個互不相等的實根，則函數(shù)與直線有3個交點，則不妨設(shè)，由二次函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱可知， 令，得，所以，所以【點睛】本題考查分段函數(shù)解析式求法及其圖像的作法，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分析求解的能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬中檔題。第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的最大內(nèi)角的值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)大邊對大角的原則可知為最大角，根據(jù)余弦定理，代入即可求解?！驹斀狻恳驗椋詾樽畲蠼?，由余弦定理得，因為，所以【點睛】

9、本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。14.已知長方體的長、寬、高分別為3,4,5，則該長方體的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】分析可得，長方體的體對角線即為外接球直徑，代入數(shù)據(jù)即可求解?！驹斀狻块L方體的體對角線即為外接球直徑，所以外接球的表面積為【點睛】本題考查長方體的外接球問題，重點在于掌握長方體的體對角線即為外接球直徑，屬基礎(chǔ)題。15.點是平行四邊形所在平面上一點，且，若，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意以為軸建立直角坐標系，可求出各點坐標，設(shè)，因為，所以，即可得，即可求出、的坐標，代入向量的數(shù)量積公式，即可求解?！驹斀狻糠椒ㄒ唬喝鐖D，以為軸建立直角坐標系，由題意可得各點坐標如

10、下：，設(shè)，因為，所以，所以解得即，所以，所以 方法二：因為，所以，所以，所以；所以【點睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，優(yōu)先使用向量的坐標形式計算，考查分析計算的能力，屬基礎(chǔ)題。16.已知，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】因為=1，結(jié)合均值不等式，整理即可得結(jié)果?！驹斀狻恳驗?，所以，所以，當且僅當，即時等號成立所以【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，均值不等式“1”的活用，考查分析計算，化簡求值的能力，屬中檔題。三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案

11、】（1）（2）【解析】【分析】（1）的根為x=2或x=4，根據(jù)題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的公式，代入即可求解。（2）由（1）可得，根據(jù)裂項相消求和法，即可求得的前項和【詳解】（1）方程可化為，解得，或， 由題意是遞增的等差數(shù)列可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 所以 （2）由（1）及題意得， 所以 【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求法，裂項相消法求和，考查計算推理，化簡求值的能力，屬基礎(chǔ)題。18.如圖，在中，為邊上一點，為等邊三角形，.（1）若的面積為，求；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因為，所以，又因為為等邊三角形，即可求出。（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)余弦定理，可解得，在中，

12、根據(jù)正弦定理，即可求解。【詳解】（1）因為，所以， 另一方面， 所以，故 （2）設(shè)，則， 在中，由余弦定理得，即，解得， 所以 在中，由正弦定理，得， 所以【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握的程度，考查計算分析，化簡求值的能力，屬基礎(chǔ)題。19.已知函數(shù)（1）求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（2）若，求的值【答案】（1）的最小正周期，的減區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1），根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求解。（2）由，可得，令，則，代入所求，結(jié)合二倍角公式，即可求解?！驹斀狻浚?）， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的減區(qū)間為， （2）由，得，即， 令，

13、則，且，所以 【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，周期的求法，三角函數(shù)的化簡求值，綜合性較強，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識理解水平和掌握程度，屬中檔題。20.如圖，要設(shè)計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目即圖中陰影部分，這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，設(shè)廣告牌的高為（1）求廣告牌的面積關(guān)于的函數(shù)；（2）求廣告牌的面積的最小值【答案】（1）（2）廣告牌面積的最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)廣告牌的寬為，根據(jù)題意可求出，所以廣告牌的面積（2），根據(jù)均值定理，即可求解?！驹斀狻浚?）依題意設(shè)廣告牌的寬為，則， 所以，且， 所以廣告牌面積，（2）由

14、（1）知， ， 當且僅當，即時等號成立 所以，答：廣告牌的面積的最小值為【點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式解決實際問題，合理利用基本不等式是解題的關(guān)鍵，著重考查了分析推理，計算求值的能力，屬基礎(chǔ)題。21.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合C的范圍，化簡整理，即可求解。（2）由正弦定理得，所求，又為銳角三角形，可求得，根據(jù)的單調(diào)性，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意及正弦定理得， 所以， 因為，所以，所以，故 （2）由正弦定理得，所以，所以 ， 由得， 所以，故， 所以的取值范圍為【點睛】本題考查正弦定理、輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查分析推理，化簡求值的能力，屬中檔題。22.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知（1）證明：