圓的相似綜合題

1、相似與圓綜合題目練習(xí)2（2013湛江）如圖，已知AB是O的直徑，P為O外一點，且OPBC，P=BAC（1）求證：PA為O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長3（2013營口）如圖，點C是以AB為直徑的O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D（1）求證：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半徑長4（2013西寧）如圖，O是ABC的外接圓，BC為O直徑，作CAD=B，且點D在BC的延長線上，CEAD于點E（1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為8，CE=2，求CD的長6（2013寧夏）在RtABC中，ACB=90，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作O交AC于點E

2、，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F且BD=BF（1）求證：AC與O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面積7（2013黃岡）如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分DAB（1）求證：DC為O的切線；（2）若O的半徑為3，AD=4，求AC的長9（2013朝陽）如圖，直線AB與O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10（1）求O的半徑（2）點E在O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論（3）求弦EC的長 11（2013巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC

3、，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長12（2012岳陽）如圖所示，在O中，=，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC（1）求證：AC2=ABAF；（2）若O的半徑長為2cm，B=60，求圖中陰影部分面積14（2012陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+（1）如圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的邊長

4、；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由15（2012河南）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G若=3，求的值 （1）嘗試探究在圖1中，過點E作EHAB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是_，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是_，的值是_（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若=m（m0），則的值是_（用含有m的代數(shù)

5、式表示），試寫出解答過程（3）拓展遷移如圖3，梯形ABCD中，DCAB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F若=a，=b，（a0，b0），則的值是_（用含a、b的代數(shù)式表示）初中數(shù)學(xué)組卷一解答題（共15小題）2（2013湛江）如圖，已知AB是O的直徑，P為O外一點，且OPBC，P=BAC（1）求證：PA為O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長考點：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）欲證明PA為O的切線，只需證明OAAP；（2）通過相似三角形ABCPAO的對應(yīng)邊成比例來求線段AC的長度解答：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90，BAC+B=90又OP

6、BC，AOP=B，BAC+AOP=90P=BACP+AOP=90，由三角形內(nèi)角和定理知PAO=90，即OAAP又OA是的O的半徑，PA為O的切線；（2）解：由（1）知，PAO=90OB=5，OA=OB=5又OP=，在直角APO中，根據(jù)勾股定理知PA=，由（1）知，ACB=PAO=90BAC=P，ABCPOA，=，解得AC=8即AC的長度為8點評：本題考查的知識點有切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進而得到兩個三角形相似，是解答（2）題的關(guān)鍵3（2013營口）如圖，點C是以AB為直徑的O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D（1）求證：AC平分

7、BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半徑長考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）連接OC先由OA=OC，可得ACO=CAO，再由切線的性質(zhì)得出OCCD，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得到ADCO，由平行線的性質(zhì)得DAC=ACO，等量代換后可得DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如圖2，過點O作OEAC于E先在RtADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂徑定理求出AE=，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明AEOADC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，求出AO=，即O的半徑為；解法二：如圖2，連接BC先在RtADC中，由勾股定理求出AD=3，再根據(jù)

8、兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明ABCACD，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，求出AB=，則O的半徑為解答：（1）證明：連接OCOA=OC，ACO=CAOCD切O于C，OCCD，又ADCD，ADCO，DAC=ACO，DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如圖2，過點O作OEAC于E在RtADC中，AD=3，OEAC，AE=AC=CAO=DAC，AEO=ADC=90，AEOADC，即，AO=，即O的半徑為解法二：如圖2，連接BC在RtADC中，AD=3AB是O直徑，ACB=90，CAB=DAC，ACB=ADC=90，ABCACD，即，AB=，=，即O的半徑為點評：本題考查了等腰三角形、平行

9、線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用4（2013西寧）如圖，O是ABC的外接圓，BC為O直徑，作CAD=B，且點D在BC的延長線上，CEAD于點E（1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為8，CE=2，求CD的長考點：切線的判定；解分式方程；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）首先連接OA，由BC為O直徑，CEAD，CAD=B，易求得CAD+OAC=90，即OAD=90，則可證得AD是O的切線；（2）易證得CEDOAD，然后設(shè)CD=x，則OD=x+8，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得方程：，繼而求得答案解答：（

10、1）證明：連接OA，BC為O的直徑，BAC=90，B+ACB=90，OA=OC，OAC=OCA，CAD=B，CAD+OAC=90，即OAD=90，OAAD，點A在圓上，AD是O的切線；（2）解：CEAD，CED=OAD=90，CEOA，CEDOAD，CE=2，設(shè)CD=x，則OD=x+8，即，解得x=，經(jīng)檢驗x=是原分式方程的解，所以CD=點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5（2013紹興）在ABC中，CAB=90，ADBC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上（1）如

11、圖1，AC：AB=1：2，EFCB，求證：EF=CD（2）如圖2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出CAD=B，根據(jù)AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明ACDBEF，即可得出EF=CD；（2）作EHAD于H，EQBC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出QEH=90，則FEQ=GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明EFQEGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE，在AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE，

12、又BE=AE，進而求出EF：EG的值解答：（1）證明：如圖1，在ABC中，CAB=90，ADBC于點D，CAD=B=90ACBAC：AB=1：2，AB=2AC，點E為AB的中點，AB=2BE，AC=BE在ACD與BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）解：如圖2，作EHAD于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四邊形EQDH是矩形，QEH=90，F(xiàn)EQ=GEH=90QEG，又EQF=EHG=90，EFQEGH，EF：EG=EQ：EHAC：AB=1：，CAB=90，B=30在BEQ中，BQE=90，sinB=，EQ=BE在AEH中，AHE=90，AEH=B=30，co

13、sAEH=，EH=AE點E為AB的中點，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形6（2013寧夏）在RtABC中，ACB=90，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作O交AC于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F且BD=BF（1）求證：AC與O相切（2）若BC=6，AB=12，求O的面積考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）連接OE，求出ODE=F=DEO，推出OEBC，得出OEAC

14、，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）證AEOACB，得出關(guān)于r的方程，求出r即可解答：證明：（1）連接OE，OD=OE，ODE=OED，BD=BF，ODE=F，OED=F，OEBF，AEO=ACB=90，AC與O相切；（2）解：由（1）知AEO=ACB，又A=A，AOEABC，設(shè)O的半徑為r，則，解得：r=4，O的面積42=16點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力，用了方程思想7（2013黃岡）如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分DAB（1）求證：DC為O的切線；

15、（2）若O的半徑為3，AD=4，求AC的長考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到OAC=OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明DAC=OCA，接著利用平行線的判定即可得到OCAD，然后就得到OCCD，由此即可證明直線CD與O相切于C點；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到ACB=90，又DAC=OAC，由此可以得到ADCACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題解答：（1）證明：連接OCOA=OCOAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOCADADCDOCCD直線CD與O相切于點C；（2）解：連接BC，則ACB=90DAC=OA

16、C，ADC=ACB=90，ADCACB，AC2=ADAB，O的半徑為3，AD=4，AB=6，AC=2點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出三角形全等的條件1=E是解題的關(guān)鍵，（2）（i）根據(jù)兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關(guān)鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵9（2013朝陽）如圖，直線AB與O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10（1）求O的半徑（2）點E在O上，連接AE，AC，EC，并且A

17、E=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論（3）求弦EC的長考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）連接OA，交EC于F，根據(jù)切線性質(zhì)得出OAB=90，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）根據(jù)AE=AC推出弧AE=弧AC，根據(jù)垂徑定理求出OAEC，根據(jù)平行線判定推出即可；（3）證OFCOAB，求出FC，根據(jù)垂徑定理得出EC=2FC，代入求出即可解答：（1）解：連接AO，交EC于F，AB切O于A，OAAB，OAB=90，在RtOAB中，由勾股定理得：OA=6，答：O的半徑是6（2）直線EC與AB的位置關(guān)系是ECAB證明：AE=AC，弧AE=弧AC，OA過O，OAE

18、C，OAAB，ECAB（3）解：ECAB，OFCOAB，=，=，F(xiàn)C=，OAEC，OA過O，EC=2FC=點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力10（2013百色）如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，E是DC延長線上的點，連接AE，交BC于點F（1）求證：ABFECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的長考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)分析：（1）由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”推知B=ECF，BAF=E則由“兩角法”證得結(jié)論；（2）利用（1）中的相似三角形的對應(yīng)邊成比例

19、得到=，即=所以CE=（cm）解答：（1）證明：DCAB，B=ECF，BAF=E，ABFECF（2）解：在等腰梯形ABCD中，AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，BF=3cm由（1）知，ABFECF，=，即=CE=（cm）點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等腰梯形的兩腰相等11（2013巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）利用對應(yīng)兩角相

20、等，證明兩個三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出線段DE的長度；然后在在RtADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度解答：（1）證明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF與DEC中，ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個知識點題目難度不大，注意仔細分析題意，認真計算，避免出錯12（2012岳陽）如圖所示，在O中，=，弦AB與弦AC交于點A，弦CD

21、與AB交于點F，連接BC（1）求證：AC2=ABAF；（2）若O的半徑長為2cm，B=60，求圖中陰影部分面積考點：扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）由=，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出ACF與ABC相似，根據(jù)相似得比例可得證；（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由B為60，求出AOC為120，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出AOE為60，在RtAOE中，由OA及cos60的值，利用銳

22、角三角函數(shù)定義求出OE的長，在RtAOE中，利用勾股定理求出AE的長，進而求出AC的長，由扇形AOC的面積AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積解答：（1）證明：=，ACD=ABC，又BAC=CAF，ACFABC，=，即AC2=ABAF；（2）解：連接OA，OC，過O作OEAC，垂足為點E，如圖所示：ABC=60，AOC=120，又OA=OC，AOE=COE=120=60，在RtAOE中，OA=2cm，OE=OAcos60=1cm，AE=cm，AC=2AE=2cm，則S陰影=S扇形OACSAOC=21=（）cm2點評：此題考查了扇形面積的求

23、法，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵14（2012陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+（1）如圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的邊長；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值

24、，并說明理由考點：位似變換；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答圖所示；（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的邊長；（3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（mn），求得面積和的表達式為：S=+（mn）2，可見S的大小只與m、n的差有關(guān)：當m=n時，S取得最小值；當m最大而n最小時，S取得最大值m最大n最小的情形見第（1）（2）問解答：解：（1）如圖，正方形EFPN即為所求（2）設(shè)正方形EFPN的邊長為x，ABC為正三角形，AE=BF=xEF+AE+BF=AB，x+x+x=3+，x=，即x=33，（沒有分母有理化也對，x2.20也正確）