高中數(shù)學(xué) 3.1 兩角和與差的三角函數(shù)教材梳理素材 蘇教版必修4（通用）

1、高中數(shù)學(xué) 3.1 兩角和與差的三角函數(shù)教材梳理素材 蘇教版必修4知識巧學(xué)1.兩角和與差的余弦 在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)x軸為始邊分別作出了角、，其終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P1(cos,sin)、P2(cos,sin)，則P1OP2=-，由于余弦函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，所以，我們只考慮0-的情況，當(dāng)-在其他范圍內(nèi)時，我們可以通過誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化到0,)范圍內(nèi). 由已知向量=(cos,sin)，=(cos,sin)， 則=|cos(-)=cos(-). 而另一方面=coscos+sinsin， 所以cos(-)=coscos+sinsin, 這就是兩角差的余弦公式. 在公式中用-代替就可以得到cos(

2、+)=coscos-sinsin， 這就是兩角和的余弦公式. 在上面的兩個公式中角、可以是任意的值，它們可以是具體的數(shù)，也可以是字母，甚至也可以是代數(shù)式.在應(yīng)用公式解題時要注意公式的逆用和變形應(yīng)用，也特別要注意解題過程中角的變換.應(yīng)用兩角和與差的余弦公式可以求值、化簡和證明.記憶要訣 對于兩角和、差的余弦公式，可用一句話概括公式的右端：“余余，正正，符號異”，即公式的右端是兩角的余弦之積、正弦之積，中間的符號與公式左端中間的符號相反.2.兩角和與差的正弦公式 由于sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin， 即sin(+)=

3、sincos+cossin， 這就是兩角和的正弦公式. 在兩角和正弦公式中，用-代替就可以得到sin(-)=sincos-cossin， 這就是兩角差的正弦公式. 在兩角和與差的正弦公式中角、也可以是任意的值，它們可以是具體的數(shù)，也可以是字母，甚至也可以是代數(shù)式.在應(yīng)用公式解題時也應(yīng)注意公式的逆用和變形應(yīng)用，也特別要注意解題過程中角的變換.它們也可應(yīng)用于求值、化簡和證明.記憶要訣 對于兩角和、差的正弦公式的右端可概括為：“正余，余正，符號同”，即公式的右端是兩角的正余弦之積、余正弦之積，中間的符號與公式左端中間的符號相同.3.兩角和與差的正切 因?yàn)閠an(+)=，當(dāng)coscos0時，分子分母同

4、時除以coscos得tan(+)=. 以-代得tan(-)= . 上面兩個公式就是兩角和(差)的正切公式.誤區(qū)警示 由于正切函數(shù)的定義域不是全體實(shí)數(shù)，所以在應(yīng)用兩角和與差的正切公式時要特別注意：必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式.即tan，tan，tan()只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能(也只需)用誘導(dǎo)公式來解.此外還要注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.例如在求75的正切值時，就不能將75表示為90-15，這是因?yàn)?0的正切值不存在.記憶要訣 對于兩角和、差的正切公式的右端可概括為：“正正，1積，符號同異”，即公式的右端分式的分子是兩角的正切，分母是1和兩角正切之積，中間的符號從分子到分母與公

5、式左端中間的符號分別相同和相異. 在應(yīng)用兩角和與差的正切公式時，要注意公式變形的應(yīng)用，特別是下面兩個變形：tan+tan=tan(+)(1-tantan);tan-tan=tan(-)(1+tantan).聯(lián)想發(fā)散 由于在兩角和與差的正切公式中有兩個正切值的和與兩個正切值的積，所以，它們經(jīng)常與一元二次方程聯(lián)系起來.辨析比較 兩角和與差的正弦、余弦公式中的、也可以是任意的值，它們可以是具體的數(shù)，也可以是字母，甚至也可以是代數(shù)式.而兩角和與差的正切公式中的、必須是使公式有意義的角.4.運(yùn)用兩角和與差的三角公式應(yīng)注意的問題(1)兩角和與差的三角公式間的聯(lián)系cos(-)=coscos+sinsinsi

6、n(-)=sincos-cossinsin(+)=sincos+cossin. 利用兩角和的正弦與余弦公式兩式相除可得兩角和的正切公式tan(+)=,tan(+)=tan(-)=.掌握上表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助理解和記憶公式，是學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵.熟悉并掌握cos(+)=coscos-sinsin的推導(dǎo)過程，它是本節(jié)和下一節(jié)所有公式的根源.誘導(dǎo)公式是兩角和與差三角公式的特例，當(dāng)、中有的整數(shù)倍角時直接利用誘導(dǎo)公式即可.(2)對于兩角和與差三角公式的異同要進(jìn)行對比和分析，便于理解、記憶和應(yīng)用.要明確角、函數(shù)和排列順序及每一項(xiàng)的符號；要牢記公式，并能熟練地進(jìn)行左右兩邊互化；兩角和差公

7、式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看作是兩角和差公式的特例；兩角和差三角公式主要應(yīng)用于化簡、證明和求值中.典題熱題知識點(diǎn)1 兩角和與差的余弦公式例1 計算(1)cos75；(2)cos165.思路分析：(1)(2)中兩角拆成兩個特殊角和差的形式.解：(1)cos75=cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45=-=.(2)cos165=-cos15=-cos(60-45)=-(cos60cos45+sin60sin45)=-=-.方法歸納 兩角和與差的余弦公式主要起到轉(zhuǎn)化角的作用，在求值的過程中，特別要注意所要求的值的角與特殊角之間有什么關(guān)系，所給的式子中有無公式的影子.例

8、2 已知sin=，cos=，求cos(-)的值.思路分析：觀察兩角差的余弦公式，在求值前需要求出cos和sin的值，由于兩角的范圍未知，所以在求解的過程中要分類討論.解：sin=0，cos=0,可能在一、二象限，在一、四象限.若、均在第一象限， 則cos=，sin=,cos(-)=+=. 若在第一象限，在第四象限， 則cos=，sin=-，cos(-)=+(-)=. 若在第二象限，在第一象限， 則cos=-，sin=,cos(-)=(-)+=-. 若在第二象限，在第四象限， 則cos=-，sin=-,cos(-)=(-)+(-)=-.方法歸納 在解題過程中，可以靈活運(yùn)用以前學(xué)過的公式，對角進(jìn)行

9、變形，或求角的其他三角函數(shù)，以達(dá)到應(yīng)用兩角和差余弦公式的目的.深化升華 分類討論的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)的各個部分，當(dāng)涉及到字母的取值時往往引起分類討論.在本題中所給的數(shù)值雖然不是字母，但由于角的范圍不確定，因此也需分類討論.例3 已知cos(+)=，cos(-)=-，+2，-,求cos2,cos2的值.思路分析：本題利用兩角和與差的余弦公式和已知三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法.2=(+)+(-)；2=(+)-(-).解：因?yàn)?2，cos(+)=， 所以sin(+)=-. 因?yàn)?，cos(-)=-， 所以sin(-)=. 所以cos2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)

10、sin(-)=(-)-(-)=-.cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=(-)+(-)=-1.方法歸納 在給值求值的題型中，要靈活處理已知與未知的關(guān)系，合理進(jìn)行角的變換，使所求角能用已知角表示出來，所求角的三角函數(shù)值能用已知角的三角函數(shù)值表示出來.深化升華 代換是數(shù)學(xué)中常見思想,特別是在三角函數(shù)中尤為突出.可以是角與角之間代換,也可以是數(shù)與函數(shù)值之間,函數(shù)值與函數(shù)值之間代換.常見的如:10=30-20,1=sin2+cos2, =sin60=cos30,=cos60=sin30,1=tan45等,在解題時要靈活應(yīng)用.知識點(diǎn)2 兩角和與差的正弦例4

11、不查表，求下列各式的值：(1)sin75；(2)sin20cos50-sin70cos40.思路分析：(1)將75拆成兩個特殊角30、45和的形式；(2)逆用公式.(1)解：原式=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=+=.(2)解法一：原式=sin20cos50-cos20sin50=sin(20-50)=sin(-30)=-.解法二：原式=cos70cos50-sin70sin50=cos(70+50)=cos120=-.方法歸納 與兩角和與差的余弦相同，兩角和與差的正弦公式主要起到轉(zhuǎn)化角的作用，在求值的過程中，特別要注意所要求的值的角與特殊角之間有什么關(guān)系，所

12、給的式子中有無公式的影子.然后利用這種關(guān)系，將一般角化為特殊角以達(dá)到求值的目的.例5 已知sin(+)=,sin(-)=，求的值.思路分析：兩角和與差的正弦公式很相似，只差一個符號，將sin(+)=和sin(-)=展開后，聯(lián)立成方程組就可以求出sincos和cossin，這兩者之比就是所要求的結(jié)果.解：sin(+)=,sincos+cossin=. 又sin(-)=,sincos-cossin=. +得sincos=.-得cossin=. 所以=4.方法歸納 在應(yīng)用兩角和與差的正弦公式解題時，一定要注意已知條件和所要求的結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，以便在解題時選擇適當(dāng)?shù)墓胶徒忸}方法.例6 求的值.思

13、路分析：觀察被求式的函數(shù)名稱的特點(diǎn)和角的特點(diǎn)，其中7=15-8，15=8+7，8=15-7.無論采取哪種代換方式，都可減少角的個數(shù).利用和角或差角公式展開，進(jìn)行約分，化簡求值.若用7=15-8代換，分子、分母是二次齊次式；若用15=8+7或8=15-7代換，分子、分母將會出現(xiàn)三次式，顯然選擇前者更好，不妨比較一下.解法一：原式=tan15=tan(45-30)=.解法二：原式=tan15=.深化升華 三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)一般由角、三角函數(shù)符號及運(yùn)算符號三部分組成，解題的突破口應(yīng)從這三個方面入手，無論是化簡、求值，還是證明，其結(jié)果應(yīng)遵循以下幾個原則：(1)能求值的要求值；(2)三角函數(shù)的種類盡可能少

14、；(3)角的種類盡可能少；(4)次數(shù)盡可能低；(5)盡可能不含根號和分母.例7 已知3sin=sin(+2)，求證：tan(+)=2tan.思路分析：觀察條件等式和結(jié)論等式中的角，條件中含有、2+，結(jié)論中含有+、，若從條件入手，可采用角的變換，=(+)-，2+=(+)+，展開后轉(zhuǎn)化成齊次整式，約分得出結(jié)論.證明：3sin=3sin(+)-=3sin(+)cos-3cos(+)sin，sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin， 又3sin=sin(+2)，3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.2sin(+)cos=4co

15、s(+)sin.tan(+)=2tan.方法歸納 對條件恒等式的證明，若條件復(fù)雜，可從化簡條件入手得出結(jié)論；若結(jié)論復(fù)雜，可化簡結(jié)論；若條件和結(jié)論都較為復(fù)雜，可同時化簡它們，直到找到它們間的聯(lián)系.深化升華 三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)就是由一種結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為另一種結(jié)構(gòu)形式.因此證明恒等式的基本思路是：證明等式時必須仔細(xì)觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)上的差異，然后分析這些差異和聯(lián)系，最后從解決差異入手，施行適當(dāng)?shù)淖儞Q，直至消除這些差異完成恒等式的證明.知識點(diǎn)3 兩角和與差的正切例8 求下列各式的值：(1)；(2)tan27+tan18+tan27tan18.思路分析：利用兩角和與差的正切公式，解題時注意1的變換，及公式

16、變形的應(yīng)用.解：(1)原式=tan(45-75)=tan(-30)=-.(2)tan(27+18)= ，tan27+tan18=tan(27+18)(1-tan27tan18)=1-tan27tan18.原式=1-tan27tan18+tan27tan18=1.方法歸納 本題中的代數(shù)式均有公式的影子，在解此類題時要善于將其與公式對比，發(fā)現(xiàn)差異并通過恰當(dāng)?shù)淖冃螌?shí)現(xiàn)與公式結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一，以利用公式.尤其在(2)中將公式變形后使用，使解題更具有靈活性.例9 設(shè)、(0,),tan、tan是一元二次方程x2-+=0的兩個根，求+.思路分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出+的正切值，然后根據(jù)角的范圍求角.解：由韋達(dá)定

17、理，tan(+)=1. 又由、(0,)，得+(0,).+=.方法歸納 本題的實(shí)質(zhì)是一個給值求角的問題，解決這類問題要注意根據(jù)問題給出的三角函數(shù)值和角的范圍選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，由已知三角函數(shù)值求出該角的三角函數(shù)值，此外還應(yīng)判斷角的范圍.問題探究交流討論探究問題 2020年8月2日晚8點(diǎn)，西班牙勁旅皇家馬德里隊與中國龍之隊之間上演了一場“龍馬”大戰(zhàn)，上半場皇馬球星菲哥在左邊從我方禁區(qū)附近帶球過人，將球沿直線向前推出，請你和你的同學(xué)討論一下，菲哥射門的命中率與他射門的位置有關(guān)嗎？如圖3-1-1，設(shè)AB表示中國球門，設(shè)OA=a,OB=b(ab0)，假設(shè)他在C處射門，ACB為命中角，你能求出他在距球門多

18、遠(yuǎn)處射門命中角最大嗎？圖3-1-1探究過程: 學(xué)生甲：直觀感覺，菲哥射門的命中率與他射門的位置有關(guān)，只是理論是什么不怎么清楚. 師：此題實(shí)質(zhì)是一個函數(shù)最值問題，問題的關(guān)鍵是將命中角的三角函數(shù)用某個自變量表示出來，具體該選擇哪個自變量，又怎樣表示，請大家思考一下. 學(xué)生乙：由于圖中所給圖形為直角三角形，則可選OC長度為自變量x，則OCA、OCB的正切值就是x的函數(shù)了，命中角的正切值也就可以用x表示出來了，具體步驟如下：設(shè)OC=x，則tanACB=tan(OCA-OCB)=. 這樣命中角的正切值是關(guān)于x的函數(shù)，只要求出當(dāng)x取何值時，命中角的正切值取最大值即可求解. 師：該怎樣求這個函數(shù)的最值呢？ 學(xué)生丙：我想可以用單調(diào)性定義證明x+在(0,)上為減函數(shù)，在(,+)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x=時，x+最小，即tanACB取得最大值，當(dāng)距球門時射門命中角最大.探究結(jié)論:菲哥射門的命中率與他射門的位置有關(guān).當(dāng)他距球門時射門命中角最大，命中率也最大.誤區(qū)陷阱探究問題 一個同學(xué)在解決“已知在ABC中，若sinA=，cosB=，求cosC的值”這一問題時給出了下面的解題步驟： 由于sinA=，則cosA=，又cosB=，則sinB=. 所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB.