行列式的應用

1、第二章 行列式 (determinant ),2.1 行列式的定義 2.2 行列式的性質(zhì) 2.3 行列式的應用 一 、克拉默(Cramer) 二、矩陣求逆公式 三、矩陣的秩,2.3 行列式的應用,一 、克拉默(Cramer)法則,設n個方程n個未知數(shù)的非齊次線性方程組為,為了確定經(jīng)過5 個點的一般二次曲線的系數(shù)， 應用了著名的“克萊姆法則”， 即由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達式。,如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式,定理2.2 克拉默法則,且解可以表示為,那么線性方程組(1)有唯一解，,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即,定理2.3 如果

2、線性方程組(1)無解或有兩個不同的 解，則它的系數(shù)行列式必為零.,對于齊次線性方程組,定理2.4 如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式 ,則齊次線性方程組 (2)只有零解.,方程組(2)是方程組（1）的特例，將定理2.2應用到方程組(2)得到,有非零解.,今后可證:系數(shù)行列式,例1 用克拉默法則解線性方程組,解,解,齊次方程組有非零解，則,所以 或 時齊次方程組有非零解.,二、矩陣求逆公式,定義2.2 伴隨矩陣,稱為矩陣A 的伴隨矩陣,例3,定理2.6,證明,則,定理2.7 矩陣 可逆的充要條件是,奇異矩陣與非奇異矩陣的定義,且,推論,P63,P64 例4 求下列矩陣的逆矩陣,解,故,例 求

3、逆矩陣,逆矩陣的運算性質(zhì)小結(jié),例6,P64,P64,三、矩陣的秩,矩陣的秩,定義2.3 k階子式,例如,解：A的每一個元素為A的一階子式,同理，還可取第一、第三行；第二、第三行計算出的所有二階子式,A的二階子式可先選A的第一、第二行， A中含有這兩行元素,的所有二階子式為,若A中取三行，可得三階子式為,由于A為 矩陣，所以A中最高階子式為三階子式.,則稱A為滿秩矩陣, 秩 有條理，不混亂的情況：序。 古代官吏的俸祿：“官人益，庶人益祿”。 古代官職級別：委之常。貶三等。 十年：七壽辰。,order orderly official salaries; official ranks,計算矩陣的秩

4、的一個有用應用是 計算線性方程組解的數(shù)目。 如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩， 則方程組只要有一個解。 在這種情況下，它有精確的一個解， 如果它的秩等于方程的數(shù)目。 如果增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩， 則通解有 k個自由參量， 這里的 k是在方程的數(shù)目和秩的差。 否則方程組是不一致的。 在控制論中， 矩陣的秩可以用來 確定線性系統(tǒng)是否為可控制的，或可觀察的,在控制論中， 矩陣的秩可以用來 確定線性系統(tǒng) 是否為可控制的， 或可觀察的,秩 檔次 內(nèi)涵,例1,解,計算A的3階子式，,如果,顯然，非零行的行數(shù)為2，R(B)=2,此方法簡單！,此時B與A的秩相同,如果對B再施行初等行變換,或,也不會改變B的秩,從而也不改變A的秩,上例說明: 經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變,P69 Proof,抽象 = ?,抽象 = 難得糊涂: 忽略差別,提取共同點,方程個數(shù)有真假 線性無關與線性相關,幾個方程? 4個? 為何 只剩2個? 有假!-某方程是其余的線性組合-線性相關 打假到底 極大無關組 貨真價實(秩)2個,秩(方程的真正個數(shù))的唯一性,初等變換求矩陣秩的方法：,把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.,例2,解,由階梯形矩陣有三個非零行可知,例3,解,分