安徽省渦陽一中、淮南一中等五校2020屆高三數(shù)學4月聯(lián)考試題 文（含解析）（通用）

1、安徽省渦陽一中、淮南一中等五校2020屆高三數(shù)學4月聯(lián)考試題 文（含解析）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分。每小題給出的四個選項中只有一項是符合題意的）1.已知全集，則()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合A，利用補集概念可得結(jié)果.【詳解】x|x1或x4；全集x|1x4；故選：A【點睛】本題考查集合的補集運算，屬于簡單題.2.已知為虛數(shù)單位，是復數(shù)的共軛復數(shù)，若，則在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】C【解析】【詳解】,可得,在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限,故選C.3.某學校

2、、兩個班的數(shù)學興趣小組在一次數(shù)學對抗賽中的成績繪制莖葉圖如圖，班數(shù)學興趣小組的平均成績高于班的平均成績；班數(shù)學興趣小組成績的眾數(shù)小于班成績的眾數(shù)；班數(shù)學興趣小組成績的極差大于班成績的極差；班數(shù)學興趣小組成績的中位數(shù)大于班成績的中位數(shù).其中正確結(jié)論的編號為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別求出A班和B班學生成績的平均數(shù)，眾數(shù)，極差和中位數(shù)，即可得到選項.【詳解】對于，（53+62+64+76+74+78+78+76+81+85+86+88+82+92+95）78，（45+48+51+53+56+62+64+65+73+73+74+70+83+82

3、+91）66，即,故正確；對于，A班成績的眾數(shù)為76和78，B班成績的眾數(shù)為73，故錯誤；對于，A班成績的極差為95-53=42，B班成績的極差為91-45=46,故錯誤；對于，A班成績的中位數(shù)為78，B班成績的中位數(shù)為65，故正確.故選：A【點睛】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)，眾數(shù)，極差和中位數(shù)問題，屬于基礎題.4.拋物線的焦點坐標是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的方程可直接得到焦點坐標【詳解】拋物線的焦點坐標是（a,0），故選：D【點睛】本題考查拋物線的標準方程、焦點坐標，屬于基礎題5.三角函數(shù)的振幅是（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分

4、析】利用兩角和差公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，從而得到振幅.【詳解】則函數(shù)的振幅為，故選：C【點睛】本題考查兩角和差公式和輔助角公式的應用，考查振幅的概念，屬于基礎題.6.在中，內(nèi)角所對邊分別是，若，則的面積的最大值為( )A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】由余弦定理列出關(guān)系式,利用基本不等式求bc最大值，再由三角形面積公式可得結(jié)果【詳解】由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即16b2+c2bc2bcbcbc，bc20，當b=c時取等號，因為,則SABCbcsinA10sinA=8，則ABC面積的最大值為8故選：B【點睛】本題考查余弦定理，三角形面積公式，以及

5、基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵7.幾何原本中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，在上取一點，使得，過點作交圓周于，連接，作交于，由可以證明的不等式為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)、射影定理求出CD和DE的長度，利用CDDE即可得到答案【詳解】在中中線OD=,由射影定理可知CD2ACBC=ab,在中由射影定理可知CD2DEOD，即DE，由得,故選：A【點睛】本題考查圓的性質(zhì)、射影定理的應用，考查推理能力與計算

6、能力，屬于中檔題8.如圖所示，在中，,在內(nèi)作射線交于點,則的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以角為測度，計算當BM時，BAM30，利用幾何概型的概率公式求解【詳解】在ABM中，當BM時，利用余弦定理,AM2AB2+BM22ABBMcosABM9+3233，cosBAM，BAM30，從而所求的概率為P，故選：A【點睛】本題考查幾何概型，正確選擇測度是關(guān)鍵，屬于基礎題9.設是等差數(shù)列，為正整數(shù)，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不必要也不充分條件【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和充分必要條件的定義判斷即可【詳

7、解】若數(shù)列an為等差數(shù)列，設公差為d,若,則,整理得（m+n）d(p+q)d,若公差d0,則m+n0,則m+np+q;即當時，m+np+q不一定成立；若m+np+q且等差數(shù)列的公差d=0,可得，即m+np+q時，不一定成立；故“”是“”的既不必要也不充分條件故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判斷，考查等差數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎題.10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是四棱錐E-ABCD，分別計算各個面的面積求和即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體是四棱

8、錐E-ABCD，其中所對應的正方體的邊長為2，且E為的中點，則四棱錐的表面積為,故選：C【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體，考查棱錐的表面積的計算方法，考查學生的空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.11.已知分別是雙曲線的左右焦點，為雙曲線右支上一點，線段的垂直平分線過坐標原點，若,則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，建立方程關(guān)系進行求解即可【詳解】如圖OM垂直平分PF2，則PF1PF2，為雙曲線右支上一點則,，可解得，由勾股定理可得，即，解得，即e=故選：D【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)

9、系結(jié)合雙曲線的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵12.已知函數(shù)，若存在，使得，則 的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，由圖知t,則,構(gòu)造函數(shù)g(t)=，則轉(zhuǎn)為求函數(shù)g(t)在t的范圍問題，對函數(shù)求導求解即可.【詳解】令,由圖可知t,其中則,令g(t)=，或，當t(0,)時，故函數(shù)g(t)在(0,)上單調(diào)遞減，當t(，1)時，故函數(shù)g(t)在(，1)上單調(diào)遞增，則當時，函數(shù)g(t)取到最小值為，又g(0)=0,g(1)=0,可得g(t)的范圍為故選：A【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題處理，借助數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查函數(shù)求最

10、值問題，屬于中檔題第卷（選擇題，共60分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則_.【答案】0【解析】【分析】將已知等式兩邊平方，得到2sincos的值，將 sin+cos平方整理可得結(jié)果.【詳解】將兩邊平方得：（sin-cos）22，即1-2sincos2，2sincos-1，（sin+cos）21+2sincos0，即sin+cos0，故答案為：0【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，屬于基礎題14.已知，若向量與共線，則_.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)向量共線求出，利用數(shù)量積坐標公式計算即可【詳解】（4，2+1），與共線，即2+13，解得1，2+13，故

11、答案為：3【點睛】本題考查平面向量共線的充要條件的應用，考查向量數(shù)量積運算，屬于基礎題15.設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為 _.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示：目標函數(shù)z2x+3y+1，即yx+-，則直線過點A時，縱截距最小，由圖可知點A坐標為（0-2），目標函數(shù)z2x+3y+1的最小值為20+3（-2）+1-5，故答案為：-5【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、

12、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題16.函數(shù)的值域為_.【答案】【解析】【分析】令t=cosx,且t-1,1, 函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)為函數(shù)g(t)=, t-1,1，利用導數(shù)可得函數(shù)的最值.【詳解】令t=cosx,且t-1,1,則函數(shù)f(x)=g(t)=, t-1,1,則或t=1, 當時，即g(x)在上單調(diào)遞增，當時，即g(x)在上單調(diào)遞減，則當時函數(shù)取得最大值為，當t=1時g(1)=1,當t=-1時g(-1)=-3,可得函數(shù)的最小值為-3，即函數(shù)的值域為，故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查余弦二倍角公式及換元法的應用，

13、屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿足， .（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，利用累乘法可求得通項；（2）寫出數(shù)列通項，然后利用裂項相消法可求得前n項和.【詳解】(1)，當時，也成立， （2），由（1）知， ， .【點睛】本題考查由數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項，考查累乘法的應用，考查裂項相消求和法，屬于基礎題.18.如圖所示，和均為棱長為2的正四面體,且四點在同一平面內(nèi).(1)求證：；(2)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】

14、【分析】（1）設E，F(xiàn)在ABD和CBD內(nèi)的投影分別為G，H，可得四邊形EGHF為平行四邊形，即EFGH，由四邊形ABCD為菱形，則GHBD，可得EFBD；（2）由圖可得VEFABCD2VBACEF然后求出三棱錐BACEF的體積得答案【詳解】（1）證明：設E，F(xiàn)在ABD和CBD內(nèi)的投影分別為G，H，EGFH，EGFH，則四邊形EGHF為平行四邊形，EFGH，由已知可得四邊形ABCD為菱形，GHBD，則EFBD；（2）VEFABCD2VBACEF由已知求得AC，EFGH， ,EG= 又O為AC與BD的交點，則BO1，,【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力與計算能力，考查多面

15、體體積的求法，是中檔題19.已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓標準方程；（2）過橢圓的右焦點的動直線，交橢圓于不同的兩點，交軸于點，且,試探究是否為定值？若是，求出的值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）由已知條件列出a,b,c的等量關(guān)系計算可得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組得出A，B的坐標的關(guān)系，根據(jù)向量共線求出，的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得出結(jié)論【詳解】(1)由題意知a=2,橢圓方程為.（2）由題意知直線的斜率存在，設為，直線，交橢圓于不同的兩點，交軸于點，則M(0,-k)，右焦點F（1,0）聯(lián)立，設 ，由，得，得同理由，解得，為定值.

16、【點睛】本題考查橢圓的標準方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應用，注意根與系數(shù)的關(guān)系的運用，屬于中檔題20.某中學為了了解本校高三學生地理學習情況，在開學考結(jié)束后，從本校所有學生中隨機抽取了100人，將他們的地理成績分為6組： ，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)規(guī)定：“地理成績分”為“優(yōu)秀”，地理成績“分”為“非優(yōu)秀”.（1）求圖中實數(shù)的值并估算本次地理考試的平均成績；（2）請將下面的列聯(lián)表補充完整；根據(jù)已完成的列聯(lián)表，判斷是否有 的把握認為“地理成績與數(shù)學成績有關(guān)”；(3)若從兩組中，按照分層抽樣的方法抽取6名同學,再從這6名同學中抽取2人參加座談會，求抽取的兩人來自同一組的概率.附：

17、（注：參考公式，其中）【答案】（1）分；（2）沒有90的把握認為地理成績與數(shù)學成績有關(guān)；(3).【解析】【分析】（1）由頻率和為1可得a值，再計算平均分；（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（3）基本事件總數(shù)n15，抽取的兩人來自同一組包含的基本事件個數(shù)m7，由古典概型概率公式計算即可得到答案【詳解】(1)a=0.030 ，平均成績分.（2）列聯(lián)表如下：,沒有90的把握認為地理成績與數(shù)學成績有關(guān).（3）由題意知40，50抽取2人記為a ,b,90,100抽取4人記為B ，C ，D， F抽取2人總的結(jié)果為ab aB aC aD aF bB bC bD bF BC BD BF

18、 CD CF DF 共15種結(jié)果,其中來自同一組有ab BC BD BF CD CF DF共7種結(jié)果 。記事件A:抽取2人來自同一組 【點睛】本題考查平均數(shù)、古典概型概率公式的應用，考查運用概率知識解決簡單簡單實際問題的能力，考查運算求解能力，是基礎題21.設函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若函數(shù)存在兩個極值點，證明：.【答案】（1）見解析（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f（x），然后對a討論，從而求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）確定兩個極值點x1、x2，求出f（x2）的表達式，再通過導數(shù)研究其最值來證明【詳解】(1),當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在上遞增；當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在遞減.（2）由（1）知時，兩個極值點為，令,在上遞增，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與