2020高中數(shù)學(xué) 第九章 兩條異面直線所成的角練習(xí)課教學(xué)案 蘇教版（通用）

1、兩條異面直線所成的角練習(xí)課 教學(xué)目標(biāo)1記憶并理解余弦定理；2應(yīng)用余弦定理來(lái)求異面直線所成的角教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)這節(jié)課的重點(diǎn)是以異面直線所成的角的概念為指導(dǎo)作出相應(yīng)的角，然后用余弦定理解這個(gè)角所在的三角形求出這個(gè)角的余弦這節(jié)課的難點(diǎn)是使學(xué)生初步理解當(dāng)cos0時(shí)，090，當(dāng)cos=0時(shí)，=90，當(dāng)cos0時(shí)，90180教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程一、余弦定理師：余弦定理有哪兩種表述的形式？它們各有什么用途？生：余弦定理有兩種表述的形式，即：a2=b2c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2b2-2abcos C第一種形式是已知兩邊夾角用來(lái)求第三邊，第二種形式是已知三邊用來(lái)求角師：在立體幾何中

2、我們主要用余弦定理的第二種形式，即已知三角形的三邊來(lái)求角在余弦定理的第二個(gè)形式中，我們知道b2c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2那么，我們想當(dāng)b2+c2=a2時(shí)，A等于多少度？為什么？生：當(dāng)b2c2=a2時(shí)，由勾股定理的逆定理可知A=90師：當(dāng)b2c2a2時(shí)，A應(yīng)該是什么樣的角呢？生：因?yàn)閏osA0，所以A應(yīng)該是銳角師：當(dāng)b2c2a2時(shí)，A應(yīng)該是什么樣的角呢？生：因?yàn)檫@時(shí)cosA0，所以A應(yīng)該是鈍角師：對(duì)，關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我們只要求同學(xué)們有初步的理解即可初步理解后應(yīng)該記住、會(huì)用現(xiàn)在明確提出當(dāng)cos=0時(shí)，=90，是直角；當(dāng)cos0時(shí)，090，是銳角當(dāng)cos0時(shí)，90180，是鈍角下

3、面請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題：生：等于60， 等于120師：這時(shí)和 是什么關(guān)系？生：和 是互為補(bǔ)角師：再回答下列問(wèn)題：生：1等于45， 1等于135，1+ 1=180；2等于30， 2=150，2+ 2=180師：一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)cos=-cos 時(shí)，角與角 是什么關(guān)系？生：角與角 是互補(bǔ)的兩個(gè)角即一個(gè)為銳角，一個(gè)為鈍角，且 =180（關(guān)于鈍角的三角函數(shù)還沒(méi)有定義，所以這里采用從特殊到一般的方法使學(xué)生有所理解即可）二、余弦定理的應(yīng)用例1 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦（如圖1）師：首先我們要以概念為指導(dǎo)作出這個(gè)角，A1B和AD1所成的

4、角是哪一個(gè)角？生：因?yàn)镃D1A1B，所以AD1C即為A1B與AD1所成的角師：AD1C在AD1C中，求出AD1C的三邊，然后再用余弦定理求出AD1C的余弦?guī)煟何覀円僖淮蚊鞔_求異面直線所成的角的三個(gè)步驟：第一是以概念為指導(dǎo)作出所成的角；第二是找出這個(gè)角所在的三角形；第三是解這個(gè)三角形現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看例2例2 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，C1BC=45，B1AB=60求AB1與BC1所成角的余弦（如圖2）師：在這例中，我們除了首先要以概念為指導(dǎo)作出異面直線所成的角以外，還要注意把所給的特殊角的條件轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體各棱之間的關(guān)系，以便于我們用余弦定理生：因?yàn)锽C1AD1，所以AB1與BC1所成的

5、角即為D1AB1根師：現(xiàn)在我們來(lái)看例3例3 已知正方體的棱長(zhǎng)為a，M為AB的中點(diǎn)，N為B1B的中點(diǎn)求A1M與C1N所成的角的余弦（如圖3）（1992年高考題）師：我們要求A1M與C1N所成的角，關(guān)鍵還是以概念為指導(dǎo)作出這個(gè)角，當(dāng)一次平移不行時(shí)，可用兩次平移的方法在直觀圖中，根據(jù)條件我們?nèi)绾伟袮1M用兩次平移的方法作出與C1N所成的角？生：取A1B1的中點(diǎn)E，連BE，由平面幾何可知BEA1M1，再取EB1的中點(diǎn)F，連FN由平面幾何可知FNBE，所以NFA1M所以C1NF即為A1M與C1N所成的角師：還可以用什么方法作出A1M與C1N所成的角？生：當(dāng)BEA1M后，可取C1C中點(diǎn)G，連BG，則BGC

6、1N，師：這兩種解法都要用兩次平移來(lái)作出異面直線所成的角，現(xiàn)在我們來(lái)看例4例4 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1與BD所成的角的余弦（如圖4）師：根據(jù)異面直線所成的角的概念，再根據(jù)長(zhǎng)方體的基本性質(zhì)，如何作出AC1與BD所成的角。生：連AC，設(shè)ACBD=0，則O為AC中點(diǎn)，取C1C的中點(diǎn)F，定理，得師：想一想第二個(gè)解法生：取AC1中點(diǎn)O1，B1B中點(diǎn)G在C1O1G中，C1O1G即一可知：師：想一想第三個(gè)解法當(dāng)然還是根據(jù)異面直線所成的角概念首先作出這個(gè)角有時(shí)可根據(jù)題目的要求在長(zhǎng)方體外作平行直線生：延長(zhǎng)CD到E，使ED=DC則ABDE為平行四邊形AE

7、BD，所以EAC1即為AC1與BD所成的角（如圖5）連EC1，在由余弦定理，得所以EAC1為鈍角根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為師：根據(jù)這一道題的三種解法，我們可以看出，當(dāng)用異面直線所成的角的概念，作出所成的角，這時(shí)所作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無(wú)法判定，只有通過(guò)解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）今天就講這四個(gè)例題，這四個(gè)例題都是要用余弦定理來(lái)求異面直線所成的角作業(yè)補(bǔ)充題3在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點(diǎn)求：（1）異面直線A1D1和