第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換

1、第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及恒等變換1.(2015貴陽(yáng)高三適應(yīng)性監(jiān)測(cè))已知(0,2),且的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（sin56,cos56）,則等于(B)(A)23(B)53(C)56(D)76解析:由已知可得,的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（12,-32）,且(0,2),故（32,2）,根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan =-3,所以=53.故選B.2.(2015太原市模擬)已知sin +cos =2,（-2,2）,則tan 等于(D)(A)-1(B)-22(C)22(D)1解析:因?yàn)閟in +cos =2,（-2,2）,所以2sin（+4）=2,所以sin（+4）=1,所以

2、+4=2,所以=4,所以tan =tan4=1,選D.3.(2015呼倫貝爾一模)已知sin +cos =13,則sin2（4-）等于(B)(A)118(B)1718(C)89(D)29解析:因?yàn)閟in +cos =13,則1+2sin cos =19,2sin cos=-89,sin2（4-）=（22cos -22sin ）2=12(1-2sin cos )=12（1+89）=1718,故選B.4.(2015衢州一模)若cos（+3）=-45,則sin（-6）=.解析:sin（-6）=sin(+3)-2=-sin2-(+3)=-cos(+3)=45.答案:45函數(shù)y=Asin(x+)+B的解

3、析式5.(2015許昌一模)函數(shù)f(x)=Asin(x+)(其中A0,|0,|2)的圖象,過(guò)(3,0)點(diǎn),（712,-1）點(diǎn),易得,A=1,T=4（712-3）=,即=2,即f(x)=sin(2x+),將（712,-1）點(diǎn)代入得76+=32+2k,kZ又| 0,0,|2）與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P,Q,R滿足P(1,0),PQR=4,M(2,-2)為線段QR的中點(diǎn),則A的值為(C) (A)23(B)733(C)833(D)43解析:因?yàn)镸(2,-2)為QR的中點(diǎn),所以可知R(0,-4),Q(0,4)所以函數(shù)的周期T=6,所以=26=3,所以f(x)=Asin（3x+）,把P(1,0)代入f(x)可得

4、,sin（3+）=0,又|2,所以=-3,所以f(x)=Asin（3x-3）,把R(0,-4)代入f(x)可得Asin（-3）=-4,所以A=833,故選C.8.(2015株洲一模)如圖為函數(shù)f(x)=3sin(x+)(0)的部分圖象,B,C分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),若ABBC=|AB|2,則等于(C) (A)3(B)4(C)6(D)12解析:由題意知|BC|=2|AB|,由ABBC=|AB|2知-|AB|BC|cosABC=|AB|2,得cosABC=-12,則ABC=120,過(guò)B作BD垂直于x軸于D,則|AD|=3,所以T4=3,則T=12,=2T=6,故選C.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)9.(

5、2015開(kāi)封二模)若函數(shù)f(x)=(1+3tan x)cos x,0x2,則f(x)的最大值是(B)(A)1(B)2(C)3+1(D)3+2解析:f(x)=(1+3tan x)cos x=cos x+3sin x=2sin（x+6）,因?yàn)?x2,所以6x+60)在區(qū)間0,3上單調(diào)遞增,在區(qū)間3,2上單調(diào)遞減,則等于(C)(A)3(B)2(C)32(D)23解析:因?yàn)閥=sin x(0)過(guò)原點(diǎn),所以當(dāng)0x2,即0x2時(shí),y=sin x是增函數(shù);當(dāng)2x32,即2x32時(shí),y=sin x是減函數(shù).由y=sin x(0)在0,3上單調(diào)遞增,在3,2上單調(diào)遞減知,2=3,所以=32.11.(2015衢州

6、二模)設(shè)函數(shù)f(x)=2cos(12x+6),則該函數(shù)的最小正周期為,值域?yàn)?單調(diào)遞增區(qū)間為.解析:函數(shù)的最小正周期為T=212=4,值域?yàn)?-2,2,由2k-12x+62k(kZ),可得其單調(diào)遞增區(qū)間為4k-73x4k-3(kZ).答案:4-2,24k-73,4k-3(kZ).12.(2015洛陽(yáng)一模)將函數(shù)y=sin(2x)sin(2x+3)的圖象向右平移6個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則正數(shù)的最小值為.解析:因?yàn)閥=sin(12x)sin(12x+3)=12sin212x+34 sin x=1-cosx+3sinx4=12sin(x-6)+14,所以將函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位,所得解析

7、式為y=12sin(x-6)-6+14=12sin(x-6-6)+14,因?yàn)樗脠D象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以-6-6=k+2,kZ,可解得=-6k-4,kZ,所以k=-1時(shí),正數(shù)的最小值為2,答案:2一、選擇題1.設(shè)P(x,2)為角終邊上的一點(diǎn),且sin =2x,則tan 等于(A)(A)1(B)-1(C)1(D)2解析:因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)P(x,2),所以|OP|=x2+4(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),由sin =2x=2x2+4,得x=2,所以tan =22=1,故選A.2.(2015江南二模)若3sin =cos ,則cos 2+sin 2的值等于(B)(A)-75(B)75(C)-35(D)35解析:因?yàn)?/p>

8、3sin =cos ,所以tan =13,所以cos 2+sin 2=cos2-sin2+2sincoscos2+sin2=1-tan2+2tan1+tan2=1-19+231+19=75,故選B.3.在下面給出的函數(shù)中,既是區(qū)間(0,2)上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)的是(B)(A)y=x2(xR) (B)y=|sin x|(xR)(C)y=cos 2x(xR)(D)y=esin 2x(xR)解析:y=x2(xR)不是周期函數(shù),故排除A.因?yàn)閥=|sin x|(xR)周期為,且根據(jù)正弦圖象知在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù).故選B.4.(2015桐城市一模)函數(shù)y=sin(2x-3)在區(qū)間-2,的

9、簡(jiǎn)圖是(B)解析:當(dāng)x=-2時(shí),y=sin2(-2)-3=-sin(+3)=sin3=320,排除A,D;當(dāng)x=6時(shí),y=sin(26-3)=sin 0=0,排除C.故選B.5.(2015惠州模擬)函數(shù)f(x)=2sin(x+)(xR,0,|2)的部分圖象如圖所示,則,的值分別是(A)(A)2,-3(B)2,-6(C)4,-6(D)4,3解析:由題圖知34T=512-(-3)=34,所以T=,即2=,解得=2.由圖象過(guò)(512,2)可知,2512+=2+2k,kZ,即=-3+2k,kZ,因?yàn)閨0,|2)的最小正周期是,若其圖象向右平移3個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象(D)

10、(A)關(guān)于點(diǎn)(12,0)對(duì)稱(B)關(guān)于直線x=12對(duì)稱(C)關(guān)于點(diǎn)(512,0)對(duì)稱(D)關(guān)于直線x=512對(duì)稱解析:由題意可得2=,解得=2,故函數(shù)f(x)=sin(2x+),其圖象向右平移3個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin2(x-3)+=sin(2x-23+)是奇函數(shù),又|0,|2)的最小正周期為,且f(-x)=f(x),則(A)(A)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減(B)f(x)在(4,34)上單調(diào)遞減(C)f(x)在（0,2）上單調(diào)遞增(D)f(x)在（4,34）上單調(diào)遞增解析:由于f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sin（x+4）,由于該函數(shù)的最小正周期為=2,得出=

11、2,又f(-x)=f(x),得+4=2+k(kZ),以及|0,0,|2)的部分圖象如圖所示,則將y=f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位后,得到的圖象解析式為.解析:由題圖知,A=1,34T=34,所以T=,=2T=2,又62+=2+2k(kZ),所以=2k+6(kZ),又|0,0).若f(x)在區(qū)間6,2上具有單調(diào)性,且f(2)=f(23)=-f(6),則f(x)的最小正周期為.解析:因?yàn)閒(x)在6,2上具有單調(diào)性,所以T22-6,所以T23.因?yàn)閒(2)=f(23),所以f(x)的一條對(duì)稱軸為x=2+232=712.又因?yàn)閒(2)=-f(6),所以f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為2+62=3.

12、所以14T=712-3=4,所以T=.答案:三、解答題14.(2015淄博模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3(0)的最小正周期是.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移3個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求y=g(x)的解析式及其在0,2上的值域.解:(1)由題意,得函數(shù)f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-3),因?yàn)閒(x)的最小正周期是,所以22=,所以=1.所以f(x)=2sin(2x-3).由-2+2k2x-32+2k,kZ,解得k-12x