求矩陣的特征值與特征向量

1、第5章 求矩陣的特征值 與特征向量,5.1 冪法 5.2 逆冪法 5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,概述,矩陣的特征值與特征向量 特征值： 特征向量 特征多項(xiàng)式：,5.1 冪法,5.1.1 冪法的基本思想 1. 根據(jù)（特征值r、特征向量x、方陣A）滿足關(guān)系式：Ax=rx，故任取非零初始向量x(0)，作迭代序列： 2.再根據(jù)k增大時(shí) x(k)各分量的變化規(guī)律，求出矩陣A的按模最大特征值與特征向量。,5.1 冪法,例1 對(duì)A作迭代計(jì)算(P80頁(yè)),考察迭代序列x(k)的相鄰向量的相應(yīng)分量比值，可見：隨k的增大而趨向于一個(gè)固定值。 (該值) = (矩陣A的按模最大特征值),5.1.2 冪法的計(jì)算公式

2、,冪法的要求： 矩陣A有完備的特征向量系，即A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 冪法的功能：計(jì)算按模最大特征值和特征向量,特征值：,特征向量：,5.1.2 冪法的計(jì)算公式,冪法計(jì)算公式的推導(dǎo)：,取初始非零向量x(0)，且：,迭代公式：,則有：,5.1.2 冪法的計(jì)算公式,分三種情況討論：,(1) 為實(shí)根， 且,(2) 為實(shí)根， 且 及,5.1.2 冪法的計(jì)算公式,(3) 復(fù)根,用最小二乘法求解方程組：,再解一元二次方程：,5.1.2 小結(jié),冪法的一般計(jì)算步驟： 給出初值x(0)，按迭代公式計(jì)算：x(k+1)=Ax(k) 根據(jù)迭代序列各分量的變化情況求根： 若各分量單調(diào)變化（相鄰兩個(gè)向量的各分量之比趨

3、向于常數(shù)c），則按情況一處理。 若奇序列、偶序列的各個(gè)分量比趨于常數(shù)，則按情況二處理。 若序列的各分量表現(xiàn)為其它情況，則結(jié)束。,5.1.3 冪法的實(shí)際計(jì)算公式,迭代條件：,計(jì)算結(jié)果：,5.1.4 冪法的計(jì)算步驟、實(shí)例,冪法的收斂速度取決于比值: 稱其為收斂因子，比值越小，收斂越快。 計(jì)算實(shí)例：P85頁(yè) 例2,5.2 逆冪法,作用：求矩陣A(A-1)的按模最小(大)特征值和特征向量 基本思想： 1.設(shè)A為非奇異方陣，特征值和特征向量為： 2.則A-1的特征值和特征向量為： 3.可見， A-1的按模最大特征值的倒數(shù)即為矩陣A的按模最小特征值。,5.2.1 逆冪法的計(jì)算公式,方法：作迭代 或 反迭代

4、 實(shí)際計(jì)算公式： (1)先對(duì)A作LU分解；（ LU分解的要點(diǎn): ?） (2)再解方程組：,5.2.1 逆冪法的計(jì)算公式,5.2.1 逆冪法的計(jì)算公式,計(jì)算結(jié)果：,迭代條件:,5.2.2-3 逆冪法的計(jì)算步驟/實(shí)例,P87頁(yè) 例1,求：在值 附近的A的特征值和特征向量？,5.2.4 用逆冪法求 附近的特征值,問題：已知方陣A、給定值,分析：不妨設(shè) 附近的特征值為 ，則必有,從而，原問題變成求“按模最小特征值”。,解法： (1) 構(gòu)造矩陣,(2) 用逆冪法求B的按模最小特征值,5.2.5 用逆冪法求 附近的特征值的計(jì)算實(shí)例,P88頁(yè) 例2 本例的啟示： 本例所用的思想可以稱為“原點(diǎn)平移法”。 矩陣

5、A與矩陣(A-r0I)的特征值有以下關(guān)系： 若ri 是矩陣A的特征值，則 (ri-r0) 就是(A-r0I)的特征值，而且相應(yīng)的特征向量不變。 適當(dāng)選取r0，使|r1-r0|ri-r0|，這樣用冪法計(jì)算矩陣(A-r0I)的特征值收斂速度更快。,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,5.3.1 求實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣特征值的對(duì)分法,1.實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣的Sturm序列 設(shè)實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣C，Sturm序列就是 的i階主子式序列，即C的特征多項(xiàng)式序列。,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,Sturm序列的一些性質(zhì)： (1) 僅有實(shí)根 (2) 相鄰項(xiàng)無公共零點(diǎn) (3) pi(x)=0，則 pi-1(x)pi+1(x

6、)左鄰域同號(hào)，右鄰域同號(hào),5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,2. Sturm序列在某點(diǎn)的連號(hào)數(shù),(1) 計(jì)算在點(diǎn) 處Sturm序列的全部值；,(2) 相鄰兩項(xiàng)若同號(hào)，則有1個(gè)連號(hào)數(shù)；否則，無連號(hào)數(shù)。 注：pi(x)=0=+0（即0的符號(hào)為正）,(3) 按順序數(shù)完連號(hào)數(shù)，則得到Sturm序列的總連號(hào)數(shù)，記為:,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,3. Gerschgorin定理(圓盤定理),(1)Gerschgorin盤(圓盤) 對(duì)n階方陣A，稱Di為方陣A的第i個(gè)圓盤，其中:,(2)Gerschgorin定理(圓盤定理) 對(duì)n階方陣A，A的全部特征值均在區(qū)域D內(nèi),其中:,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值

7、的對(duì)分法,(3)推論1：方陣A的最小和最大特征值滿足,(4)推論2：對(duì)實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣C，其特征值必屬于區(qū)間m,M，其中：,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,4. 求實(shí)對(duì)稱三對(duì)角陣C特征值的對(duì)分法,(1)求三對(duì)角陣C在區(qū)間a,b上特征值的個(gè)數(shù),定理2 方陣C在區(qū)間a,+內(nèi)特征值的個(gè)數(shù)等于其Sturm序列在點(diǎn)a處的總連號(hào)數(shù)。,* 方陣C在區(qū)間a,b內(nèi)特征值的個(gè)數(shù) =(點(diǎn)a處的總連號(hào)數(shù)) (點(diǎn)b處的總連號(hào)數(shù)),P91頁(yè) 例1,5.3 求實(shí)對(duì)稱陣特征值的對(duì)分法,(2)求三對(duì)角陣C的全部特征值（對(duì)分法）, 求三對(duì)角陣C的Sturm序列; 根據(jù)Gerschgorin定理確定矩陣C全部特征值的上界M和下界m; 對(duì)區(qū)間m,M對(duì)分，取中點(diǎn)a=(m+M)/2，計(jì)算點(diǎn)a處的連號(hào)數(shù)，同時(shí)區(qū)間被對(duì)分; 對(duì)所得的各子區(qū)間繼續(xù)對(duì)分和計(jì)算中點(diǎn)處的連號(hào)數(shù)，直到每個(gè)小區(qū)間至多有一個(gè)特征值; 繼續(xù)對(duì)有根區(qū)間對(duì)分，可求出滿足精度的特征值。 P92頁(yè) 例2,5.3.2 實(shí)對(duì)稱陣的三對(duì)角化,1. Householder陣的定義,2. H陣的幾何意義 Hx是x關(guān)于超平面H的像 (H反射/鏡面反射),5.3.2 實(shí)對(duì)稱陣的三對(duì)角化,3. 實(shí)對(duì)稱陣A的三對(duì)角化 (作遞推計(jì)算),(1) 令A(yù)1=A，取向量b1=(A1的第1列),(2) 構(gòu)造向量u1，使,注：sgn(br+1)=1,-1，且與br+1反號(hào),r=1: 作