拉普拉斯變換

1、工 程 控 制 原 理 2. 數學模型與傳遞函數 2.2 拉普拉斯變換,主講：周曉君 辦 公 室：機械副樓209-2室 電子郵件： 辦公電話：56331523,2.2 拉普拉斯變換 系統(tǒng)的數學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系。經典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時域法、頻域法。,2. 數學模型與傳遞函數,頻域分析法是經典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應。,2.2.1 復數和復變函數 復數的概念 復數 s= +j （有一個實部 和一個虛部， 和 均為實數） 兩個復數相等：當且僅當它們的實部和虛部分別相等。 一個復數為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。,

2、2.2 拉普拉斯變換,稱為虛數單位,復數的表示法 對于復數 s= +j 復平面：以 為橫坐標(實軸)、 為縱坐標(虛軸)所構成的平面稱為復平面或s平面。復數 s= +j 可在復平面s中用點( , )表示：一個復數對應于復平面上的一個點。,2.2.1 復數和復變函數, 復數的向量表示法 復數 s= +j 可以用從原點指向點( , )的向量表示。 向量的長度稱為復數的模：,2.2.1 復數和復變函數,向量與 軸的夾角 稱為復數s的復角：, 復數的三角函數表示法與指數表示法 根據復平面的圖示可得： = r cos ， = r sin 復數的三角函數表示法： s = r (cos + j sin ),

3、2.2.1 復數和復變函數,歐拉公式：,復數的指數表示法：, 復變函數、極點與零點的概念 以復數s= +j為自變量構成的函數G(s)稱為復變函數： G(s) = u + jv 式中：u、v 分別為復變函數的實部和虛部。,2.2.1 復數和復變函數,當s=-zi時，G(s)=0，則si=-zi稱為G(s)的 零點 ；,通常，在線性控制系統(tǒng)中，復變函數G(s)是復數s的單值函數。即：對應于s的一個給定值，G(s)就有一個唯一確定的值與之相對應。,當復變函數表示成,(b) 當s=-pj時，G(s)，則sj=-pj稱為G(s)的 極點 。,例： 當s= +j時，求復變函數G(s) =s2+1的實部u和

4、虛部v。,2.2.1 復數和復變函數,復變函數的實部,復變函數的虛部,解： G(s)s2+1( +j)2 + 1 2 + j(2 ) - 2 + 1 ( 2 - 2 + 1) + j(2 ),2.2.2 拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優(yōu)點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量s的乘積，將時間表示的微分方程，變成以s表示的代數方程。,2.2 拉普拉斯變換,復變量,原函數,象函數,拉氏變換符號,拉普拉斯變換：在一定條件下，把實數域中的實變函數 f(t) 變換到復數域內與之等價的復變函數 F(s) 。,設有時間函數 f(t)，當 t 0 時，f(t)0；在 t0

5、時定義函數 f(t) 的拉普拉斯變換為：,拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件： 當t0時，f(t) 分段連續(xù)，只有有限個間斷點； 當t 時，f(t) 的增長速度不超過某一指數函數，即,2.2.2 拉普拉斯變換的定義,在復平面上，對于Res a的所有復數s (Res表示s的實部)都使積分式絕對收斂，故Res a是拉普拉斯變換的定義域， a稱為收斂坐標。,式中：M、a為實常數。,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數 單位階躍函數定義：,2.2 拉普拉斯變換,(2) 單位脈沖函數 單位脈沖函數定義：,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,且：,(3

6、) 單位速度函數（單位斜坡函數） 單位速度函數定義：,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,(4) 指數函數 指數函數表達式：,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,式中：a是常數。,(5) 正弦信號函數 正弦信號函數定義：,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,由歐拉公式，正弦函數表達為：,(6) 余弦信號函數 余弦信號函數定義：,2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,由歐拉公式，余弦函數表達為：,拉普拉斯變換簡表 (待續(xù)),2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)1),2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)2),2.2.3 典型時間函數

7、的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)3),2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)4),2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,拉普拉斯變換簡表 (續(xù)5),2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質 (1) 線性定理 若、是任意兩個復常數，且：,2.2 拉普拉斯變換,證明：,(2) 平移定理 若：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,證明：,則：,(3) 微分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,證明：,則：,f(0)是 t =0 時的 f(t) 值,同理，對于二階導數的拉普拉斯變換：,(3) 微分定理 推廣到n階導數的拉普拉斯

8、變換：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,如果：函數 f(t) 及其各階導數的初始值均為零，即,則：,(4) 積分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,則：,證明：,(4) 積分定理 同理，對于n重積分的拉普拉斯變換：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,若：函數 f(t) 各重積分的初始值均為零，則有,注：利用積分定理，可以求時間函數的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶捣匠獭?(5) 終值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,則：,證明：根據拉普拉斯變換的微分定理，有,寫出左式積分,(6) 初值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質

9、,則：,證明：根據拉普拉斯變換的微分定理，有,或者,(7) 卷積定理 兩個時間函數 f1(t)、f2(t) 卷積的拉普拉斯變換等于這兩個時間函數的拉普拉斯變換。,2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質,式中：,2.2.5 拉普拉斯反變換 (1) 拉普拉斯反變換的定義 將象函數F(s)變換成與之相對應的原函數f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：,2.2 拉普拉斯變換,拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數，可直接查拉氏變換表；對于復雜的，可利用部分分式展開法。,如果把 f(t) 的拉氏變換 F(s) 分成各個部分之和，即,2.2.5 拉普拉斯反變換,假若F1(s)、F2(s)，Fn

10、(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么,當 F(s) 不能很簡單地分解成各個部分之和時，可采用部分分式展開將 F(s) 分解成各個部分之和，然后對每一部分查拉氏變換表，得到其對應的拉氏反變換函數，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反變換 f(t) 函數。,(2) 部分分式展開法 在系統(tǒng)分析問題中，F(s)常具有如下形式：,2.2.5 拉普拉斯反變換,式中A(s)和B(s)是s的多項式， B(s)的階次較A(s)階次要高。,對于這種稱為有理真分式的象函數 F(s)，分母 B(s) 應首先進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到 F(s) 的拉氏反變換函數。,將分母 B(s) 進行因子分解，

11、寫成：,2.2.5 拉普拉斯反變換,式中，p1，p2，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點，它們可以是實數，也可能為復數。如果是復數，則一定成對共軛的。,當 A(s) 的階次高于 B(s) 時，則應首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個s的多項式，再加上一項具有分式形式的余項，其分子s多項式的階次就化為低于分母s多項式階次了。,(1) 分母B(s)無重根 此時，F(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即,式中，ak(k=1,2,n)是常數，系數 ak 稱為極點 s= -pk 處的留數。,2.2.5 拉普拉斯反變換,ak 的值可以用在等式兩邊乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的

12、方法求出。即,2.2.5 拉普拉斯反變換,在所有展開項中，除去含有 ak 的項外，其余項都消失了，因此留數 ak 可由下式得到,因為 f(t) 時間的實函數，如 p1 和 p2 是共軛復數時，則留數 1 和 2 也必然是共軛復數。這種情況下，上式照樣可以應用。共軛復留數中，只需計算一個復留數1(或2)，而另一個復留數 2(或 1)，自然也知道了。,2.2.5 拉普拉斯反變換,例題1 求F(s)的拉氏反變換，已知,解,由留數的計算公式，得,2.2.5 拉普拉斯反變換,因此,查拉氏變換表，得,2.2.5 拉普拉斯反變換,解： 分母多項式可以因子分解為,進行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式,2

13、.2.5 拉普拉斯反變換,例題2 求L-1F(s)，已知,2.2.5 拉普拉斯反變換,由留數的計算公式，得,由于2與1共軛，故,所以,2.2.5 拉普拉斯反變換,2.2.5 拉普拉斯反變換,查拉氏變換表，得,(2) 分母B(s)有重根 若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表達式為,式中系數2, 3, , n仍按照上述無重根的方法(留數計算公式)，而重根的系數11, 12, 13可按以下方法求得。,2.2.5 拉普拉斯反變換,2.2.5 拉普拉斯反變換,依此類推，當 p1 為 k 重根時，其系數為：,例題3 已知F(s)，求L-1F(s)。,2.2.5 拉普拉斯反變換,由上述公式,2.2.5 拉普拉斯反變換,查拉氏變換表，有,2.2.5 拉普拉斯反變換,因此，得：,利用拉氏變換解微分方程的步驟： (1) 對給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為 s 變量的代數方程。 (2) 對以 s 為變換的代數方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達式。對這個