【數(shù)學(xué)】1-3《空間幾何體的表面積與體積--球體》課件（新人教A版必修2）.ppt

1、球的體積和表面積,割 圓 術(shù),早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的 “極限”思想。,球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。,球(即球體):球面所圍成的幾何體。,它包括球面和球面所包圍的空間。,半徑是R的球的體積：,推導(dǎo)方法：,分割,求近似和,化為準(zhǔn)確和,復(fù)習(xí)回顧,球的概念,二、球的概念,點集角度,旋轉(zhuǎn)體角度,球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。,球面:半圓以它的直

2、徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。,球體與球面的區(qū)別？,在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合,半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。,球體與球面的區(qū)別？,球面概念：,球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。,0,A,C,D,球心,半徑,直徑,半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（旋轉(zhuǎn)體角度）,球面概念：,在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合（點集的角度）,二、球的概念,球的截面的形狀,圓面,球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓,不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓,球的體積公式的推導(dǎo),球的體積公式及應(yīng)用,球的表面積公式及應(yīng)用,球的表面積公式的推導(dǎo),教學(xué)重點,教學(xué)難點,重點難點,球面被經(jīng)過球心的平面截得的

3、圓叫做大圓,不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓,高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比,球的體積,學(xué)習(xí)球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法,球的體積,我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是,當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式,即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積,球的體積,分割,求近似和,化為準(zhǔn)確和,問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.,球的體積,O,R

4、,O,A,球的體積,球的體積,球的體積,2)若每小塊表面看作一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積.,1)球的表面是曲面,不是平面,但如果將表面平均分割成n個小塊,每小塊表面可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.,球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢?,下面，我們

5、再次運(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式,球的表面積,球的表面積,第一步：分割,球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：,則球的表面積：,則球的體積為：,球的表面積,第二步：求近似和,由第一步得：,球的表面積,第三步：化為準(zhǔn)確和,如果網(wǎng)格分的越細(xì),則: “小錐體”就越接近小棱錐,球的表面積,例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.,(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2),例題講解,(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2),解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是,答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4

6、.5cm.,由計算器算得:,例題講解,(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?,用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系? 球內(nèi)切于正方體,側(cè)棱長為5cm,例題講解,例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。,分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。,例題講解,例已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,解：如圖，設(shè)球O半徑為R， 截面O的半徑為r，,例題講解,例.已知過球面上三點A、B、C

7、的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,例題講解,2.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,這個球的體積為cm3.,8,3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比_.,1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋?,練習(xí)一,課堂練習(xí),4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是_.,練習(xí)二,1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍.,2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍.,3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是_.,課堂練習(xí),7.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么 這個大鉛球的表面積是_.,5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為_.,6.若兩球表面積之差為48 ,它們大圓周長之和為12 , 則兩球的直徑之差為_.,練習(xí)二,課堂練習(xí),了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割求近似