高中數(shù)學(xué) 報(bào)刊專題研究精選 定義域和值域的逆向問(wèn)題素材（通用）

1、定義域和值域的逆向問(wèn)題定義域和值域的逆向問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，解決好此類問(wèn)題，可以鍛煉同學(xué)們的逆向思維能力，因此要重視此類問(wèn)題的解決。一、已知定義域求值域例1 求定義域在-1，1上的函數(shù)的值域。解：函數(shù)式變形為，顯然y-1由原函數(shù)表達(dá)式可得。又，得，解得，即此函數(shù)的值域?yàn)?。注：此法是把函?shù)式視為關(guān)于x的方程，解出x，再運(yùn)用已知的定義域，解關(guān)于y的不等式求得值域。二、已知值域求定義域例2 已知函數(shù)的值域是，求此函數(shù)的定義域。解：由，解得。由，解得。此函數(shù)的定義域?yàn)?。注：此題直接由函數(shù)值域得出表達(dá)式的不等式，進(jìn)而求得定義域，同時(shí)還可以利用反比例函數(shù)圖象直觀地得出結(jié)論，同學(xué)們不妨試一試。三、已知

2、定義域求解參數(shù)問(wèn)題例3 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題意知時(shí)，恒成立。（1）當(dāng)且時(shí)，有a=1，此時(shí)f(x)=1，顯然對(duì)時(shí)，恒成立。（2）當(dāng)時(shí)，有解不等式組得。綜上知，當(dāng)時(shí)，使得有意義的a的取值范圍是1，9。注：此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，但要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類討論。四、已知值域求解參數(shù)問(wèn)題例4 已知函數(shù)的值域?yàn)?，3，求a、b的值。解：由題意知，把原函數(shù)變形為當(dāng)時(shí)，滿足題意當(dāng)時(shí)，因，所以，即。因，所以1和3是方程的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理解得。注：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于把求值域的問(wèn)題和解一元二次不等式的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，最后通過(guò)比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參

3、數(shù)的值。五、已知定義域和值域求解參數(shù)問(wèn)題例5 已知二次函數(shù)滿足條件，且方程有兩個(gè)相等實(shí)根。問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得的定義域?yàn)閙，n時(shí)，值域?yàn)?m，3n。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：因，所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線=1，可得由，得因方程有兩個(gè)相等實(shí)根，即有相等實(shí)根，所以將代入，得。由知，b=1，所以。則，所以，即。在m，n上單調(diào)遞增，假設(shè)存在滿足條件的m、n，則解得又，則m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0滿足條件。注：解決定義域和值域共存問(wèn)題時(shí)，不要盲目進(jìn)行分類討論，而應(yīng)從條件出發(fā)，分析和探討出解決問(wèn)題的途徑，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而使問(wèn)題得以解決。練一練：1. 求下列函數(shù)的值域：；。2. 求函數(shù)的最大值。答案：1. （提示：，而，所以，可得。另外，原函數(shù)變形為，因，所以，即且）（提示：，