高中數(shù)學(xué) 數(shù)列題型講義 新人教A版必修5（通用）

1、數(shù)列題型講義題型一：由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)1、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，an13an2； (2)a11，anan1(n2)； (3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112， an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時，a1(311)2符合公式，ann2.方法歸納： 已知數(shù)列的遞推

2、關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解2、 根據(jù)下列各個數(shù)列an的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式(1)a11，anan13n1(n2)； (2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an2an33n3， a2a131，以上(n1)個式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)個式相加得，ana

3、1lnlnlnln n又a12，anln n2.題型二：數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用3、 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn224n(nN*)(1)求an的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)n為何值時，Sn達(dá)到最大？最大值是多少？解(1)n1時，a1S123. n2時，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.經(jīng)驗(yàn)證，a123符合an2n25，an2n25(nN*)(2)法一Snn224n，n12時，Sn最大且Sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故S12最大，最大值為144.方法歸納： (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決(2)數(shù)列的單調(diào)

4、性是高考常考內(nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用作差法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法題型等差數(shù)列的判定或證明4、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列； (2)求an的表達(dá)式 (1)證明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差數(shù)列的定義知是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.當(dāng)n2時，有an2SnSn1，又a1，不適合上式，an方法歸納： 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對于通

5、項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷題型三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值5、在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即當(dāng)n12時，an0，n14時，an0.當(dāng)n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S12S131220130.法二同法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，當(dāng)n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.法三同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n

6、12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法歸納： 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用6、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn324，最后6項(xiàng)的和為180(n6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.解由題意可知a1a2a636 anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 方法歸納： 本題的解

7、題關(guān)鍵是將性質(zhì)mnpqamanapaq與前n項(xiàng)和公式Sn結(jié)合在一起，采用整體思想，簡化解題過程題型五：等比數(shù)列的判定或證明7、已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列； (2)求an的通項(xiàng)公式(1)證明b1a2a11.當(dāng)n2時，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan1ann1，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1. 當(dāng)n1時，111a1，ann1(nN*)方法歸納： 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定

8、；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可題型六：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用8、已知等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為2，其后2n項(xiàng)的和為12，求再后面3n項(xiàng)的和解Sn2，其后2n項(xiàng)為S3nSnS3n212，S3n14.由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6.當(dāng)S2n4時，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n項(xiàng)的和為S6nS3n36414378.當(dāng)S2n6時，同理可得再后3n項(xiàng)的和為S6nS3n12614112.故所求的和為37

9、8或112.方法歸納： 本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)中的第4條，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，若把數(shù)列an平均分成若干組，其積也為等比數(shù)列題型七：公式法求和9、已知數(shù)列an是首項(xiàng)a14，公比q1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列(1)求公比q的值； (2)求Tna2a4a6a2n的值解(1)由題意得2a54a12a3. an是等比數(shù)列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1. (2)a2，a4，a6，a2n是首項(xiàng)為a24(1)4，公比為q21的等比數(shù)列，Tnna24n.方法歸納： 用公式法求和時，要保

10、證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式題型八：分組轉(zhuǎn)化求和10、已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值； (2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式解 (1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.方法歸納： 對于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列的求

11、和題型九：裂項(xiàng)相消法求和11、在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式； (2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.方法歸納： 使用裂項(xiàng)法求和時，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的題型十：錯位相減法求和12、已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，Sn.記Tn1， 則Tn， 得：Tn1，Tn.