功率譜密度和白噪聲過(guò)程

1、.,.,第三次作業(yè) 情況,28班：李春月、周元、曲拓、周子晨、施一益、王虎森、王超 高工班：蔡文龍、尚文軒,存在問(wèn)題： 積分運(yùn)算、積分限、三角函數(shù)公式 各態(tài)歷經(jīng)性：均值與自相關(guān)； 步驟太少、作業(yè)雷同（26、27）,.,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 白噪聲過(guò)程,主講人：張有光 電 話：82317226 辦公室：新主樓F1018,第五講：,.,主要內(nèi)容,一、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 二、譜密度與自相關(guān)函數(shù) 三、平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度 四、白噪聲過(guò)程,.,一、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,1、能量型信號(hào) 2、信號(hào)的頻譜 3、信號(hào)的能譜 4、功率型信號(hào) 5、平均功率的譜表示和功率譜密度 6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,.,1、能量

2、型信號(hào),我們稱有限能量的信號(hào)為能量型信號(hào)，即,其中，s(t)為信號(hào)，W為總能量。,.,2、信號(hào)的頻譜,在的情況下，能量型信號(hào)s(t)的傅立葉變換存在，即,我們稱F()為s(t)的頻譜。,？,.,3、信號(hào)的能譜密度,能量型信號(hào)的能譜E()為,由巴塞伐爾等式，可得到,能量守恒！,.,4、功率型信號(hào),能量無(wú)限，平均功率有限的信號(hào)稱為功率型信號(hào)。即,Ps為信號(hào)的平均功率。,.,5、平均功率的譜表示,功率型信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件。 為了能夠利用傅立葉變化給出平均功率的譜表示式，構(gòu)造截尾函數(shù)：,.,平均功率的譜表示,sT(t)能夠滿足絕對(duì)可積條件。 sT(t)的頻域結(jié)構(gòu),sT(t)的平均功率：,.,平均功

3、率的譜表示,由巴塞伐爾等式，可得到,兩邊同除以2T，并由截尾函數(shù)的定義，得到,.,平均功率的譜表示,令T趨于無(wú)窮，功率型信號(hào)s(t)在 (-, )上的平均功率可表示為,功率型信號(hào)的平均功率譜密度,.,功率譜密度,功率型信號(hào)的平均功率譜密度，簡(jiǎn)稱功率譜密度，定義為：,.,6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)是功率型的。 我們定義,為平穩(wěn)過(guò)程X(t)的平均功率。,.,6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值是常數(shù),.,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,定義,為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度。 這樣，Px又可以寫成,平均功率譜的表達(dá)式；,.,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,為雙邊功率譜密度。但在實(shí)

4、際中，負(fù)頻率不存在，故引入單邊譜密度,.,二、譜密度與自相關(guān)函數(shù),1、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納-辛欽公式 2、功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件 3、功率譜密度的性質(zhì),.,1、譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度是它的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換：,.,譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,由傅立葉逆變換公式，有 上述兩式統(tǒng)稱為維納-辛欽公式。,返回,注釋：對(duì)比“信號(hào)與系統(tǒng)”中維納辛欽公式,.,2、功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件,對(duì)于第一種定義，將其展開(kāi),.,功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件,通過(guò)變量置換，最后得到,.,只要 則上式中第二項(xiàng)為零，故此時(shí),也就是說(shuō)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的情況下，

5、維納-辛欽公式成立。此時(shí)功率譜密度的兩種定義等價(jià)。,功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件,.,功率譜的意義,.,3、功率譜密度的性質(zhì),若過(guò)程X(t)是實(shí)平穩(wěn)的，則自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，因此功率譜密度也是實(shí)偶函數(shù)，即,.,功率譜密度的性質(zhì),由于R()和S()都是偶數(shù)，于是維納-辛欽公式還可以寫成：,.,例 2.4-1,設(shè)隨機(jī)相位余波 的功率譜密度，其 是在區(qū)間 內(nèi)均勻分布. 解：,.,例 2.4-2,隨機(jī)電報(bào)信號(hào)自相關(guān)函數(shù) 求功率譜密度,.,例 2.4-3,已知功率譜,應(yīng)用留數(shù)定理,留數(shù)和,.,例 2.4-4,若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜,表 2.1,.,三、互譜密度,1、互譜密度的定義 2、互譜密度的維納-辛

6、欽公式形式定義 3、互譜密度的性質(zhì),.,1、互譜密度的定義,定義 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則定義互譜密度為,.,2、互譜密度的維納-辛欽公式,隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的互譜密度是它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()的傅立葉變換：,.,2、互譜密度的維納-辛欽公式,當(dāng) 若X(t)是一個(gè)二端電壓、Y(t)是流經(jīng)該器件的電流，則上式左邊就是消耗的功率。,.,兩個(gè)正交隨機(jī)過(guò)程性質(zhì),隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)正交,此時(shí)有：,.,3、互譜密度的性質(zhì),1）,2）,3）,奇函數(shù) 偶函數(shù),.,先證明：,令：,.,.,從定義 和施瓦茨不等式,.,.,四、白噪聲過(guò)程,1、白噪聲過(guò)程的定義 2、白噪聲過(guò)程的

7、自相關(guān)函數(shù) 3、白噪聲的相關(guān)系數(shù),.,1、白噪聲過(guò)程的定義,若一個(gè)均值為零的平穩(wěn)過(guò)程 具有恒定功率譜密度,則稱W(t)為白噪聲過(guò)程。其中N0表示單邊功率譜密度。,相當(dāng)于信號(hào)與系統(tǒng)中的沖擊響應(yīng)函數(shù),.,2、白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),根據(jù)維納-辛欽公式，白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)：,.,2、白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度,.,3、白噪聲過(guò)程的相關(guān)系數(shù),白噪聲的相關(guān)系數(shù)：,可見(jiàn)白噪聲在任意兩個(gè)相鄰時(shí)刻的取值都不相關(guān)。還句話說(shuō)，白噪聲隨時(shí)間的起伏變化較快，頻域來(lái)說(shuō)頻譜很寬。,.,注釋：白噪聲平均功率,白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型，在物理上不可實(shí)現(xiàn)，因?yàn)榘凑瞻自肼暤亩x它的平均功率是無(wú)限大。,由于白噪聲數(shù)學(xué)表述上的簡(jiǎn)潔性，是很多物理現(xiàn)象的一種近似。如電子管中的散彈噪聲，通信傳播中的信道干擾。顯然白噪聲是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，它可以看成是大數(shù)定律中隨機(jī)序列推廣到連續(xù)時(shí)間的情形。,.,4、非白噪聲,非白噪聲成為有色噪聲，或相關(guān)噪聲，其功率譜密度：,其功率譜密度不再是均勻的，而是頻率的函數(shù)。,.,5、矢量白噪聲,定義