重積分的應用01

1、,第四節(jié),一、立體體積,二、曲面的面積,三、物體的質心,四、物體的轉動慣量,五、物體的引力,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,重積分的應用,第十章,1. 能用重積分解決的實際問題的特點,所求量是,對區(qū)域具有可加性,從定積分定義出發(fā) 建立積分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界閉域上的整體量,3. 解題要點,畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、,定出積分限、計算要簡便,2. 用重積分解決問題的方法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,任一點的切平面與曲面,所圍立體的體積 V

2、 .,解: 曲面,的切平面方程為,它與曲面,的交線在 xoy 面上的投影為,(記所圍域為D ),在點,例1. 求曲面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的,內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.,解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為,則立體體積為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、曲面的面積,設光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點,處小切平面的面積 d A 無限積累而成.,設它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故有曲面面積公式,若光滑曲面方程為,則有,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,若光滑曲面方程為

3、,若光滑曲面方程為隱式,則,則有,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 計算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影為,則,出的面積 A .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 計算半徑為 a 的球的表面積.,解:,設球面方程為,球面面積元素為,方法2 利用直角坐標方程.,方法1 利用球坐標方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,( P170例1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5,設有一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星,距地面的高度為h=36 000 km,速度與地球自轉的角速度相同.,通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值.,運行的角,試計算該,解,取地心

4、為坐標原點,地心到通信衛(wèi)星,的連線為z軸,建立坐標系,如右圖所示.,通信衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面被,半頂角為的圓錐面所截得的部分.,的方程為,于是,通信衛(wèi)星的覆蓋面積為,其中,Dxy是曲面在xOy面上的投影區(qū)域.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,利用極坐標,得,由于,代入上式得,由此得這顆通信衛(wèi)星的覆蓋面積 與地球表面積之比為,由已上結果可知,衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積.,地球全部表面.,三、物體的質心,設空間有n個質點,其質量分別,由力學知, 該質點系的質心坐標,設物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則,公式 ,分別位于,為,為,即:,采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限”

5、可導出其質心,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質量集中于點,例如,令各小區(qū)域的最大直徑,系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.,的質點,即得,此質點,在第 k 塊上任取一點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,同理可得,則得形心坐標：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標:,則它的質心坐標為,其面密度, 對 x 軸的 靜矩, 對 y 軸的 靜矩,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 求位于兩圓,和,的質心.,解: 利用對稱性可知,而,之間均勻薄片,機動 目錄 上頁

6、下頁 返回 結束,(P173例3),例6. 一個煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線,的方程為,內(nèi)儲有高為 h 的均質鋼液,解: 利用對稱性可知質心在 z 軸上，,采用柱坐標, 則爐壁方程為,因此,故,自重, 求它的質心.,若爐,不計爐體的,其坐標為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、物體的轉動慣量,設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:,對 z 軸的轉動慣量為,因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,故,連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

7、,類似可得:,對 x 軸的轉動慣量,對 y 軸的轉動慣量,對原點的轉動慣量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,如果物體是平面薄片,面密度為,則轉動慣量的表達式是二重積分.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑,解: 建立坐標系如圖,半圓薄片的質量,的轉動慣量.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(P175例5),解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則,球體的質量,例8.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量.,設球,所占域為,(用球坐標),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,G 為引力常數(shù),五、物體的引力,設物體占有空間區(qū)域 ,物體對位于

8、原點的單位質量質點的引力,利用元素法,在上積分即得各引力分量:,其密度函數(shù),引力元素在三坐標軸上的投影分別為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質量質點,的引力分量為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例9.,設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片,求它對位于點,解: 由對稱性知引力,處的單位質量質點的引力.,。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例10. 求半徑 R 的均勻球,對位于,的單位質量質點的引力.,解: 利用對稱性知引力分量,點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(P177例7),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其,側面滿足方程,設長度單位為厘米,時間單位為小時,設有一高度為,已知體積減少的速率與側面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小時? (2001考研),機動