統(tǒng)計(jì)學(xué)(11)第11章 一元線性回歸(2009).ppt

1、第11章 一元線性回歸,第11章 一元線性回歸,11.1 變量間關(guān)系的度量 11.2 一元線性回歸 11.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè) 11.4 殘差分析,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.相關(guān)關(guān)系的分析方法 一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計(jì) 回歸直線的擬合優(yōu)度 回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè) 用 Excel 進(jìn)行回歸,11.1 變量間關(guān)系的度量,11.1.1 變量間的關(guān)系 11.1.2 相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度 11.1.3 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn),變量間的關(guān)系,函數(shù)關(guān)系,是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系 設(shè)有兩個(gè)變量 x 和 y ，變量 y 隨變量 x 一起變化，并完全依賴于 x ，當(dāng)變量 x 取

2、某個(gè)數(shù)值時(shí)， y 依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記為 y = f (x)，其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量 各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上,函數(shù)關(guān)系(幾個(gè)例子),某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系可表示為 y = px (p 為單價(jià)) 圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系可表示為S=R2 企業(yè)的原材料消耗額y與產(chǎn)量x1 、單位產(chǎn)量消耗x2 、原材料價(jià)格x3之間的關(guān)系可表示為 y = x1 x2 x3,相關(guān)關(guān)系(correlation),變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá) 一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定 當(dāng)變量 x 取某個(gè)值時(shí)，變量 y 的取值可能有幾個(gè) 各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍,

3、相關(guān)關(guān)系(幾個(gè)例子),父親身高y與子女身高x之間的關(guān)系 收入水平y(tǒng)與受教育程度x之間的關(guān)系 糧食單位面積產(chǎn)量y與施肥量x1 、降雨量x2 、溫度x3之間的關(guān)系 商品的消費(fèi)量y與居民收入x之間的關(guān)系 商品銷售額y與廣告費(fèi)支出x之間的關(guān)系,相關(guān)關(guān)系(類型),相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度(散點(diǎn)圖),相關(guān)分析及其假定,相關(guān)分析要解決的問題 變量之間是否存在關(guān)系？ 如果存在關(guān)系，它們之間是什么樣的關(guān)系？ 變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何？ 樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？ 為解決這些問題，在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，對(duì)總體有以下兩個(gè)主要假定 兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系 兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量,散點(diǎn)圖(scatter

4、 diagram),散點(diǎn)圖(例題分析),【例】一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國家重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項(xiàng)目的貸款。近年來，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長(zhǎng)，但不良貸款額也有較大比例的增長(zhǎng)，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來較大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，管理者希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù),散點(diǎn)圖(例題分析),散點(diǎn)圖(不良貸款對(duì)其他變量的散點(diǎn)圖),相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度(相關(guān)系數(shù)),相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient),度量變量之間關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 對(duì)兩個(gè)

5、變量之間線性相關(guān)強(qiáng)度的度量稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù) 若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為 若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為相關(guān)系數(shù)，記為 r 也稱為線性相關(guān)系數(shù)(linear correlation coefficient) 或稱為Pearson相關(guān)系數(shù) (Pearsons correlation coefficient),相關(guān)系數(shù) (計(jì)算公式), 樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式,或化簡(jiǎn)為,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1：r 的取值范圍是 -1,1 |r|=1，為完全相關(guān) r =1，為完全正相關(guān) r =-1，為完全負(fù)正相關(guān) r = 0，不存在線性相關(guān)關(guān)系 -1r0，為負(fù)相關(guān) 0

6、r1，為正相關(guān) |r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間 的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy= ryx 性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無關(guān)，即改變x和y的 數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大小 性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用 于描述非線性關(guān)系。這意為著， r=0只表示兩個(gè)變 量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒 有任何關(guān)系 性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不 一定意味著x與y一定有因果關(guān)系,相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋,|r|0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān) 0.5|

7、r|0.8時(shí)，可視為中度相關(guān) 0.3|r|0.5時(shí)，視為低度相關(guān) |r|0.3時(shí)，說明兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān) 上述解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上,相關(guān)系數(shù)(例題分析),用Excel計(jì)算相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn),相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(檢驗(yàn)的步驟),1.檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系 等價(jià)于對(duì)回歸系數(shù) b1的檢驗(yàn) 采用R.A.Fisher提出的 t 檢驗(yàn) 檢驗(yàn)的步驟為 提出假設(shè)：H0： ；H1： 0,計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：,確定顯著性水平，并作出決策 若tt，拒絕H0 若tt，不拒絕H0,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(例題分析), 對(duì)不良貸款與貸款余額之間的相

8、關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)(0.05) 提出假設(shè)：H0： ；H1： 0 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,3. 根據(jù)顯著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒絕H0，不良貸款與貸款余額之間存在著顯著的正線性相關(guān)關(guān)系,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(例題分析),各相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,11.2 一元線性回歸,11.2.1 一元線性回歸模型 11.2.2 參數(shù)的最小二乘估計(jì) 11.2.3 回歸直線的擬合優(yōu)度 11.2.4 顯著性檢驗(yàn),什么是回歸分析？(Regression),從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從

9、影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度,回歸模型的類型,一元線性回歸模型,一元線性回歸,涉及一個(gè)自變量的回歸 因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系 被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量(dependent variable)，用y表示 用來預(yù)測(cè)或用來解釋因變量的一個(gè)或多個(gè)變量稱為自變量(independent variable)，用x表示 因變量與自變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性方程來表示,回歸模型(regression model),回答“變量之間是什么樣的關(guān)系？” 方程中運(yùn)用

10、 1 個(gè)數(shù)值型因變量(響應(yīng)變量) 被預(yù)測(cè)的變量 1 個(gè)或多個(gè)數(shù)值型或分類型自變量 (解釋變量) 用于預(yù)測(cè)的變量 3.主要用于預(yù)測(cè)和估計(jì),一元線性回歸模型,描述因變量 y 如何依賴于自變量 x 和誤差項(xiàng) 的方程稱為回歸模型 一元線性回歸模型可表示為 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng) 線性部分反映了由于 x 的變化而引起的 y 的變化 誤差項(xiàng) 是隨機(jī)變量 反映了除 x 和 y 之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì) y 的影響 是不能由 x 和 y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性 0 和 1 稱為模型的參數(shù),一元線性回歸模型(基本假定),因變量x與自變量y之間具有

11、線性關(guān)系 在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機(jī)的 誤差項(xiàng)是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E()=0。對(duì)于一個(gè)給定的 x 值，y 的期望值為E ( y ) = 0+ 1 x 對(duì)于所有的 x 值，的方差2 都相同 誤差項(xiàng)是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。即N(0 ,2 ) 獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)應(yīng)的與其他 x 值所對(duì)應(yīng)的不相關(guān) 對(duì)于一個(gè)特定的 x 值，它所對(duì)應(yīng)的 y 值與其他 x 所對(duì)應(yīng)的 y 值也不相關(guān),一元線性回歸模型(基本假定),x=x3時(shí)的E(y),x=x2時(shí)y的分布,x=x1時(shí)y的分布,x=x2時(shí)的E(y),x3,x2,x1,x=x1時(shí)的E(y

12、),0,x,y,x=x3時(shí)y的分布,0+ 1x,回歸方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依賴于 x 的方程稱為回歸方程 一元線性回歸方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的圖示是一條直線，也稱為直線回歸方程 0是回歸直線在 y 軸上的截距，是當(dāng) x=0 時(shí) y 的期望值 1是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)，表示當(dāng) x 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y 的平均變動(dòng)值,估計(jì)的回歸方程(estimated regression equation),一元線性回歸中估計(jì)的回歸方程為,用樣本統(tǒng)計(jì)量 和 代替回歸方程中的未知參數(shù) 和 ，就得到了估計(jì)的回歸方程,總體回歸

13、參數(shù) 和 是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì),其中： 是估計(jì)的回歸直線在 y 軸上的截距， 是直線的斜率，它表示對(duì)于一個(gè)給定的 x 的值， 是 y 的估計(jì)值，也表示 x 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)， y 的平均變動(dòng)值,參數(shù)的最小二乘估計(jì),最小二乘估計(jì)(method of least squares ),德國科學(xué)家Karl Gauss(17771855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來估計(jì)參數(shù) 使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的誤差平方和達(dá)到最小來求得 和 的方法。即,用最小二乘法擬合的直線來代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小,Karl Gauss的最小化圖,x,y,(xn , yn)

14、,(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),最小二乘法 ( 和 的計(jì)算公式), 根據(jù)最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,估計(jì)方程的求法(例題分析),【例】求不良貸款對(duì)貸款余額的回歸方程,回歸方程為：y = -0.8295 + 0.037895 x 回歸系數(shù) =0.037895 表示，貸款余額每增加1億元，不良貸款平均增加0.037895億元,估計(jì)方程的求法(例題分析),不良貸款對(duì)貸款余額回歸方程的圖示,用Excel進(jìn)行回歸分析,第1步：選擇【工具】下拉菜單 第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng) 第3步：在分析工具中選擇【回歸】 ，選擇【確定】 第4步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí) 在【Y值輸入?yún)^(qū)

15、域】設(shè)置框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域 在【X值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域 在【置信度】選項(xiàng)中給出所需的數(shù)值 在【輸出選項(xiàng)】中選擇輸出區(qū)域 在【殘差】分析選項(xiàng)中選擇所需的選項(xiàng),回歸直線的擬合優(yōu)度,變差,因變量 y 的取值是不同的，y 取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來源于兩個(gè)方面 由于自變量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響 對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來說，變差的大小可以通過該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差 來表示,誤差的分解(圖示),x,y,誤差平方和的分解 (三個(gè)平方和的關(guān)系),SST = SSR + SSE,誤差平方和的分解 (三個(gè)平方和的意義),總平方和

16、(SSTtotal sum of squares) 反映因變量的 n 個(gè)觀察值與其均值的總誤差 回歸平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自變量 x 的變化對(duì)因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和 殘差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素對(duì) y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和,判定系數(shù)R2 (coefficient of determination),回歸平方和占總誤差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度 取值

17、范圍在 0 , 1 之間 R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差 判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2r2,判定系數(shù) (例題分析),【例】計(jì)算不良貸款對(duì)貸款余額回歸的判定系數(shù)，并解釋其意義 判定系數(shù)的實(shí)際意義是：在不良貸款取值的變差中，有71.16%可以由不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系來解釋，或者說，在不良貸款取值的變動(dòng)中，有71.16%是由貸款余額所決定的。也就是說，不良貸款取值的差異有2/3以上是由貸款余額決定的。可見不良貸款與貸款余額之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系,估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差(standard error of estimate),實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值誤差平方和的均方

18、根 反映實(shí)際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況 對(duì)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，是在排除了x對(duì)y的線性影響后，y隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)量 反映用估計(jì)的回歸方程預(yù)測(cè)y時(shí)預(yù)測(cè)誤差的大小 計(jì)算公式為,注：例題的計(jì)算結(jié)果為1.9799,顯著性檢驗(yàn),線性關(guān)系的檢驗(yàn),檢驗(yàn)自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著 將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗(yàn)來分析二者之間的差別是否顯著 回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個(gè)數(shù)k) 殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1),線性關(guān)系的檢驗(yàn) (檢驗(yàn)的步驟),提出假設(shè) H0：1=0 線性關(guān)系不顯著,2. 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F,確定顯著

19、性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2找出臨界值F 作出決策：若FF ,拒絕H0；若FF ,不拒絕H0,線性關(guān)系的檢驗(yàn) (例題分析),提出假設(shè) H0：1=0 不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系不顯著 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F,確定顯著性水平=0.05，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度25-2找出臨界值F =4.28 作出決策：若FF ,拒絕H0，線性關(guān)系顯著,線性關(guān)系的檢驗(yàn) (方差分析表),Excel 輸出的方差分析表,回歸系數(shù)的檢驗(yàn),在一元線性回歸中，等價(jià)于線性關(guān)系的顯著性檢驗(yàn) 采用t檢驗(yàn),檢驗(yàn) x 與 y 之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗(yàn)自變量 x 對(duì)因變量 y 的影響是否顯著,理論基礎(chǔ)是回歸

20、系數(shù) 的抽樣分布,回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (檢驗(yàn)步驟),提出假設(shè) H0: b1 = 0 (沒有線性關(guān)系) H1: b1 0 (有線性關(guān)系) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,確定顯著性水平，并進(jìn)行決策 tt，拒絕H0； tt，不拒絕H0,回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (例題分析),對(duì)例題的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)(0.05) 提出假設(shè) H0：b1 = 0 H1：b1 0 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,t=7.533515t=2.201，拒絕H0，表明不良貸款與貸款余額之間有顯著的線性關(guān)系,回歸系數(shù)的檢驗(yàn) (例題分析),P 值的應(yīng)用,P=0.000000=0.05，拒絕原假設(shè)，不良貸款與貸 款余額之間有顯著的線性關(guān)系,回歸分析結(jié)果的評(píng)價(jià),建立的模

21、型是否合適？或者說，這個(gè)擬合的模型有多“好”？要回答這些問題，可以從以下幾個(gè)方面入手 所估計(jì)的回歸系數(shù) 的符號(hào)是否與理論或事先預(yù)期相一致 在不良貸款與貸款余額的回歸中，可以預(yù)期貸款余額越多，不良貸款也可能會(huì)越多，也就是說，回歸系數(shù)的值應(yīng)該是正的，在上面建立的回歸方程中，我們得到的回歸系數(shù) 為正值， 如果理論上認(rèn)為x與y之間的關(guān)系不僅是正的，而且是統(tǒng)計(jì)上顯著的，那么所建立的回歸方程也應(yīng)該如此 在不良貸款與貸款余額的回歸中，二者之間為正的線性關(guān)系，而且，對(duì)回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)結(jié)果表明而這之間的線性關(guān)系是統(tǒng)計(jì)上顯著的,回歸模型在多大程度上解釋了因變量y取值的差異？可以用判定系數(shù)R2來回答這一問題 在不良

22、貸款與貸款余額的回歸中，得到的R2=71.16%，解釋了不良貸款變差的2/3以上，說明擬合的效果還算不錯(cuò) 考察關(guān)于誤差項(xiàng)的正態(tài)性假定是否成立。因?yàn)槲覀冊(cè)趯?duì)線性關(guān)系進(jìn)行F檢驗(yàn)和回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，都要求誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，否則，我們所用的檢驗(yàn)程序?qū)⑹菬o效的。正態(tài)性的簡(jiǎn)單方法是畫出殘差的直方圖或正態(tài)概率圖,回歸分析結(jié)果的評(píng)價(jià),Excel輸出的部分回歸結(jié)果,11.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè),11.3.1 點(diǎn)估計(jì) 11.3.2 區(qū)間估計(jì),利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè),根據(jù)自變量 x 的取值估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量 y的取值 估計(jì)或預(yù)測(cè)的類型 點(diǎn)估計(jì) y 的平均值的點(diǎn)估計(jì) y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì) y

23、 的平均值的置信區(qū)間估計(jì) y 的個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì),點(diǎn)估計(jì),點(diǎn)估計(jì),2. 點(diǎn)估計(jì)值有 y 的平均值的點(diǎn)估計(jì) y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì) 在點(diǎn)估計(jì)條件下，平均值的點(diǎn)估計(jì)和個(gè)別值的的點(diǎn)估計(jì)是一樣的，但在區(qū)間估計(jì)中則不同,對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值x0 ，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個(gè)估計(jì)值,y 的平均值的點(diǎn)估計(jì),利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的一個(gè)估計(jì)值E(y0) ，就是平均值的點(diǎn)估計(jì) 在前面的例子中，假如我們要估計(jì)貸款余額為100億元時(shí)，所有分行不良貸款的平均值，就是平均值的點(diǎn)估計(jì) 。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得,y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì),利用估計(jì)的回歸

24、方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)值 ，就是個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì) 例如，如果我們只是想知道貸款余額為72.8億元的那個(gè)分行(這里是編號(hào)為10的那個(gè)分行)的不良貸款是多少，則屬于個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì) 。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得,區(qū)間估計(jì),區(qū)間估計(jì),點(diǎn)估計(jì)不能給出估計(jì)的精度，點(diǎn)估計(jì)值與實(shí)際值之間是有誤差的，因此需要進(jìn)行區(qū)間估計(jì) 對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個(gè)估計(jì)區(qū)間 區(qū)間估計(jì)有兩種類型 置信區(qū)間估計(jì)(confidence interval estimate) 預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(prediction interval estimate)

25、,置信區(qū)間估計(jì),利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的估計(jì)區(qū)間 ，這一估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間(confidence interval) E(y0) 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,式中：se為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差,置信區(qū)間估計(jì)(例題分析),【例】求出貸款余額為100億元時(shí)，不良貸款95%置信水平下的置信區(qū)間 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信區(qū)間為,當(dāng)貸款余額為100億元時(shí)，不良貸款的平均值在2.1141億元到3.8059億元之間,預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì),利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)區(qū)間，這一區(qū)間