材料力學(xué) 第四版chap6-第十一講.ppt

1、6-1 工程中的彎曲變形問題 6-2 撓曲線的微分方程 6-3 用積分法求彎曲變形 6-4 用疊加法求彎曲變形 6-5 簡單超靜定梁 6-6 提高彎曲剛度的一些措施,6-1 工程中的彎曲變形問題,在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。,1、實例,搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。,橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。,但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的疊板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車

2、輛受到的沖擊和振動作用。,2. 研究變形目的 建立剛度條件，解決剛度問題 建立變形協(xié)調(diào)條件，解決超靜定問題 為振動計算奠定基礎(chǔ),6-2 撓曲線的微分方程,1. 概念以簡支梁為例，以變形前的軸線為x軸，垂直向上為y軸，xoy平面為梁的縱向?qū)ΨQ面。,撓曲線： 在對稱彎曲情況下，變形后梁的軸線為xoy平面內(nèi)的一條曲線，此曲線稱為撓曲線。 撓度： 梁的任一截面形心的豎直位移稱為撓度。 撓曲線的方程式： w=f(x),轉(zhuǎn)角：彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后垂直于撓曲線。故,撓度w和轉(zhuǎn)角是度量彎曲變形的兩個基本量。 撓度與轉(zhuǎn)角符號

3、規(guī)定：在圖示坐標(biāo)中，撓度向上為正，反時針的轉(zhuǎn)角為正。,.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。,.梁位移的度量：,撓度：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正,轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q，逆時針轉(zhuǎn)動為正,轉(zhuǎn)角方程(小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系,計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁,2.撓曲線的曲率表示式： 純彎曲： 橫力彎曲： 細(xì)長梁 ，忽略Fs對變形的影響。 （b）,高等數(shù)學(xué)中對曲率的定義及表達(dá)式 于是式（a）轉(zhuǎn)化為 （c）,在我們選定的坐標(biāo)系內(nèi)，若彎矩M為正，則撓曲線向下凸，（如圖所示），隨著弧長S的增加，也是增加的，即正增量對應(yīng)的也是正的，于是考慮符號后，式（c）可寫

4、成,注意到,（d）,又,代入式（d）及：,此式為撓曲線的近似微分方程。,（g）,式（e）中 ，于是式（e）可寫成,（f）,此為撓曲線的微分方程，適用于彎曲變形的任意情況，它是非線性的。在小變形的情況下，梁的撓度w一般都遠(yuǎn)小于跨度，撓曲線w =f(x)是一非常平坦的曲線，轉(zhuǎn)角也是一個非常小的角度，于是, 適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。,3.討論：,6-3 用積分法求彎曲變形,撓曲線的近似微分方程為：,積分一

5、次得轉(zhuǎn)角方程為：,再積分一次得撓度方程為：,邊界條件： 在撓曲線的某些點上，撓度或轉(zhuǎn)角有時是已知的這類條件稱為邊界條件。,連續(xù)條件： 撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，在撓曲線的任一點上有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角這就是連續(xù)條件。,剛度條件：,積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,彈簧變形,例6-3-1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整體平衡分析可得：,2）寫出x截面的彎矩方程,3）列撓曲線近似微分方程,積分一次,再積分一次,4）由位移邊界條件確定積分常數(shù),代入求解,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,6）確定最大轉(zhuǎn)角

6、和最大撓度,例6-3-2 已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和wmax。,解：,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,A,B,由邊界條件：,得：,解：1確定約束力,FAy FBy ql/2,2寫出剪力和彎矩方程,例4-4-3 簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。,例6-3-3 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC 段：,CB 段：,4）

7、由邊界條件確定積分常數(shù),代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,令 得，,令 得，,例6-3-4. 內(nèi)燃機(jī)的凸輪軸或齒輪軸,可以簡化為集中力F作用下的簡支梁，試求轉(zhuǎn)角方程及撓度方程，求wmax、max，并討論F位置變化對wmax、max的影響。,解： 求反力：,列彎矩方程： （AC） (0 x1a) （CB） (ax2l),（CB）,（AC）,列微分方程及積分,求積分常數(shù) 邊界條件：當(dāng)x1=0時，w1=0 當(dāng)x2=l時，w2=0 連續(xù)條件：當(dāng)x1=x2=a時，w11= w12 ，w1= w2 D1=D2=0,（C

8、B）,（AC）,轉(zhuǎn)角方程及撓度方程,最大撓度wmax，最大轉(zhuǎn)角max當(dāng)x1=0時，當(dāng)x2=l時，若ab，則 ,max=B若ab，則,當(dāng) 時,w為極值,所以應(yīng)首先確定為零的截面位置。若在式（a）中，令x1=a，可求得 若ab，則C為正值?？梢姀慕孛鍭到截面C轉(zhuǎn)角由負(fù)變正，改變了符號，撓曲線既為光滑連續(xù)曲線，=0的截面必然在（AC）段。令式（a）等于零：x0即為撓度為最大值的截面橫坐標(biāo)。以x0代入式（b）的最大撓度.,最大撓度wmax,當(dāng)F作用于中點時，即 ，最大撓度發(fā)生在中點。,極端情況，當(dāng)F無限接近右支座時，b2 l2，b2可以省略，于是,可見即是在這種極端情況下，最大撓度仍然發(fā)生在跨度中點附近，也就是最大撓度總在靠近跨度中點。所以可以用跨度中點的撓度近似