廣東省佛山一中2020學年高二數(shù)學上學期第二次段考（12月）試題 理（通用）

1、佛山一中2020學年上學期第二次段考高二年級理科數(shù)學試題 一、選擇題（共12小題；共60分）1. 給定下列四個命題：如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；如果一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；如果一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中為真命題的是 A. 和B. 和C. 和D. 和 2. 已知直線 a 和平面 ，=l，a，a，且 a 在 ， 內(nèi)的射影分別為直線 b 和 c，則直線 b 和 c 的位置關(guān)系是 A

2、. 相交或平行B. 相交或異面C. 平行或異面D. 相交、平行或異面 3. 某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為 1 的正方形，則此四面體的外接球的表面積為 A. 2B. 4C. 3D. 52 4. 設(shè)四邊形 ABCD 的兩條對角線為 AC，BD，則“四邊形 ABCD 為菱形”是“ACBD”的 A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件 5. 設(shè)入射光線沿直線 y=2x+1 射向直線 y=x，則被 y=x 反射后，反射光線所在的直線方程是 A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 3x-2y+1=0D. x+2y+3=0

3、6. 已知雙曲線 x2a2-y2b2=1a0,b0 的焦距為 25，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x+y=0 垂直，則雙曲線的方程為 A. x2-y24=1B. x24-y2=1C. 3x220-3y25=1D. 3x25-3y220=1 7. 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，側(cè)面 PAD 為正三角形，底面 ABCD 為正方形，側(cè)面 PAD面ABCD，M 為底面 ABCD 內(nèi)的一個動點，且滿足 MP=MC，則點 M 在正方形 ABCD 內(nèi)的軌跡為下圖中的 A. B. C. D. 8. 雙曲線 x23-y2=1 的兩個焦點分別為 F1,F2，點 P 在雙曲線上，且滿足 PF1+PF2=25，則

4、 PF1F2 的面積為 A. 12B. 3C.1D. 5 9. 已知球 O 的半徑為 2，四點 S，A，B，C 均在球 O 的表面上，且 SC=4，AB=3，SCA=SCB=6，則點 B 到平面 SAC 的距離為 A. 32B. 32C. 33D. 1 10. 已知 P 是直線 3x+4y+8=0 上的動點，PA，PB 是圓 x2+y2-2x-2y+1=0 的切線，A，B 是切點，C 是圓心，那么四邊形 PACB 面積的最小值是 A. 32B. 2C. 3D. 22 11. E 為正四面體 D-ABC 棱 AD 的中點，平面 過點 A，且 平面ECB，平面ABC=m，平面ACD=n，則 m，n

5、 所成角的余弦值為 A. 33B. 63C. 22D. 13 12. 設(shè)橢圓 C：x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，其焦距為 2c，點 Qc,a2 在橢圓的內(nèi)部，點 P 是橢圓 C 上的動點，且 PF1+PQ5F1F2 恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是 A. 15,22B. 14,22C. 13,22D. 25,22 二、填空題（共4小題；共20分）13. 若命題”x0R, 使 x02+2a-1x0+10 經(jīng)過橢圓 x2a2+y2b2=1 ab0 的兩個焦點 F1，F(xiàn)2，且與該橢圓有四個不同的交點，設(shè) P 是其中的一個交點，若 PF1F2 的面積為 26，橢圓的長軸

6、為 15，則 a+b+c= 三、解答題（共6小題；共70分）17. （10分）如圖，三棱錐 A-BCD 中，AB 平面 BCD，CDBD（1）求證：CD 平面 ABD；（2）若 AB=BD=CD=1，M 為 AD 中點，求三棱錐 A-MBC 的體積 18. （12分）已知點 A0,2，圓 O：x2+y2=1（1）求經(jīng)過點 A 與圓 O 相切的直線方程；（2）若點 P 是圓 O 上的動點，求 OPAP 的取值范圍 19. （12分）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PAD 為正三角形，四邊形 ABCD 為直角梯形，CDAB，BCAB，平面PAD平面ABCD，點 E，F(xiàn) 分別為 AD，CP 的中點

7、，AD=AB=2CD=2（1）證明：直線EF平面PAB；（2）求直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值 20. （12分） 已知橢圓 x2a2+y2b2=1ab0 的離心率為 32，以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點為頂點的三角形的面積為 3，圓 C 的方程為 x-a2+y-b2=ab2（1）求橢圓及圓 C 的方程：（2）過原點 O 作直線 l 與圓 C 交于 A，B 兩點，若 CACB=-2，求直線 l 被圓 C 截得的弦長 21. （12分）如圖 1，E，F(xiàn) 分別是 AC，AB 的中點，ACB=90，CAB=30，沿著 EF 將 AEF 折起，記二面角 A-EF-C 的度數(shù)為 （1）當 =

8、90 時，即得到圖 2，求二面角 A-BF-C 的余弦值；（2）如圖 3 中，若 ABCF，求 cos 的值 22. （12分）已知兩點F1(-1,0)及F2(1,0)，點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓C上，且PF1,F1F2,|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列。（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M、N是直線l上的兩點，且F1Ml , F2Nl ,求四邊形F1MNF2面積S的最大值。佛山一中2020學年上學期第二次段考高二年級理科數(shù)學答案一、選擇題（共12小題，每題5分）：1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB二、填空題（共4小題，每題

9、5分）：13.-12,32 14.3, 15.-34,+ 16.13+26三、大題（共6小題，17題10分,18-22每題12分，總共70分）：17. (10分)（1） 在三棱錐 A-BCD 中， AB 平面 BCD，又 CD 平面 BCD，ABCD 1分 又 BDCD，且 BDAB=B，CD 平面 ABD 3分 （2） 法一：由 AB 平面 BCD，得 ABBD， AB=BD=1， SABD=12 5分 M 是 AD 中點， SABM=12SABD=14 6分 由（1）知，CD平面ABD， 三棱錐 C-ABM 的高 h=CD=1， 8分 因此三棱錐 A-MBC 的體積為VA-MBC=VC-A

10、BM=13SABMh=112. 10分 法二：由 AB 平面 BCD 知，平面 ABD 平面 BCD， 4分 又平面 ABD 平面 BCD=BD，如圖，過點 M 作 MNBD 交 BD 于點 N，則 MN 平面 BCD，且MN=12AB=12, 6分 又 CDBD,BD=CD=1，所以SBCD=12, 7分 三棱錐 A-MBC 的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13ABSBCD-13MNSBCD=112. 10分 18. （1） 由題意，所求直線的斜率存在 1分 設(shè)切線方程為 y=kx+2，即 kx-y+2=0， 2分 所以圓心 O 到直線的距離為 d=2k2+1， 3分 所以

11、d=2k2+1=1，解得 k=3， 4分 所求直線方程為 y=3x+2 或 y=-3x+2 6分 （2） 設(shè)點 Px,y，所以 OP=x,y，AP=x,y-2 8分 所以 OPAP=x2+y2-2y 9分 因為點 P 在圓上，所以 x2+y2=1，所以 OPAP=1-2y 10分 又因為 x2+y2=1，所以 -1y1， 11分 所以 OPAP-1,3 12分 19. （1） 取 BC 中點 M，連接 EM，F(xiàn)M，如圖 1， 易知 EMAB，EM平面PAB，AB平面PAB 得 EM平面PAB， 2分同理 FMPBFM平面PAB，PB平面PAB得FM平面PAB，4分又 EMFM=M，EM平面EF

12、M，F(xiàn)M平面EFM， 所以，平面EFM平面PAB 5分又 EF平面EFM，所以直線 EF平面PAB 6分 （2） 解法一：連接 PE，PM如圖 2，因為 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，且 PEAD，所以 PE平面ABCD， 又 BC平面ABCD，所以 PEBC 又因為 EMBC，PEEM=E，PE平面PEM，EM平面PEM，所以 BC平面PEM，平面PBC平面PEM 8分 過點 E 作 EHPM 于點 H，連接 FH，由 平面PBC平面PEM 可知，EH平面PBC 所以直線 EF 與平面 PBC 所成角為 EFH 10分在直角三角形 PEC 中，求得 EF=12PC=6

13、2，在直角三角形 PEM 中，求得 EH=377，所以，sinEFH=EHEF=37762=427 12分20. （1） 設(shè)橢圓的焦距為 2c，左、右焦點分別為 F1-c,0，F(xiàn)2c,0，由離心率為 32，可得 e2=1-b2a2=34，即 a=2b，b=33c， 1分以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點為頂點的三角形的面積為 12b2c=3， 即 1233c2c=3，所以 c=3，則 a=2，b=1， 3分所以橢圓的方程為 x24+y2=1，圓 C 的方程為 x-22+y-12=4 5分（2）法一：由題意得 CACB=CACBcosACB=22cosACB=-2 8分所以cosACB=-12，又A

14、CB0，ACB=120 10分AB=22sin60=23 12分法二： 當直線 l 的斜率不存在時，直線方程為 x=0，與圓 C 相切，不符合題意； 6分 當直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 方程為 y=kx，由 y=kx,x-22+y-12=4, 可得 k2+1x2-2k+4x+1=0，由條件可得 =2k+42-4k2+10，即 k-34， 7分設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2，則 x1+x2=2k+4k2+1，x1x2=1k2+1，y1+y2=kx1+x2=2k2+4kk2+1，y1y2=k2x1x2=k2k2+1， 而圓心 C 的坐標為 2,1，則 CA=x1-2,y1-1，CB=x2-

15、2,y2-1，所以 CACB=x1-2x2-2+y1-1y2-1=-2， 8分即 x1x2-2x1+x2+y1y2-y1+y2+5=-2， 所以 1k2+1-22k+4k2+1+k2k2+1-2k2+4kk2+1+5=-2， 解得 k=0 或 k=43， 10分當 k=0 時，在圓 C 中，令 y=0 可得 x=23，故直線 l 被圓 C 截得的弦長為 23；當 k=43 時，直線 l 的方程為 4x-3y=0，圓心 2,1 到直線 l 的距離 d=8-35=1，故直線 l 被圓 C 截得的弦長為 222-12=23； 11分綜上可知，直線 l 被圓 C 截得的弦長為 23 12分21. （1

16、） 因為AEEF,CEEF 所以AEC即為二面角A-EF-C 的平面角 1分當=90時，則AEEC 2分又AEEF，EFEC=E，所以AE平面CEFB 3分過點 E 向 BF 作垂線交 BF 延長線于 H，連接 AH， 則 AHE 為二面角 A-BF-C 的平面角 4分設(shè) BC=2aEF=a，AB=4a，AC=23a，AE=3a，EH=32a，cosAHE=EHAH=32a3a2+34a2=55 6分（2） 過點 A 向 CE 作垂線，垂足為 G， 由（1）知EF面ACE，即面BCEF面ACE，所以AG面BCEF 7分又CF面BCEF，AGCF 8分因為 ABCF，AGAB=ACF面ABG 9

17、分又GB面ABG 有 GBCF， 10分因 BCF 為正三角形，故 CG=BCtan30=233a，則 GE=33a， 11分而 AE=3a，故 cos=GEAE=13 12分22.（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1.因為PF1,F1F2,|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列，所以2a=PF1+PF2=2F1F2=4，所以a=2 .2分又因為c=1，所以b2=3，所以橢圓C的方程為x24+y23=1. 4分（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程x24+y23=1中，得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，=64k2m2-4(4k2+3)( 4m2-12)=0,化簡得： m2=4k2+3， 5分設(shè)d1=F1M=|-k+m|k2+1, d2=F2N=|k+m|k2+1, 6分法1：當 k0時，設(shè)直線l的傾斜角為，則d1-d2=MN|tan|, 所以MN=d1-d2k S=12d1-d2kd1+d2=d12-d222k=2mk2+1=2mm2-34+1=8|m|+1|m| 8分因為m2=4k2+3，所以當k0時，m3，m+1m3+13=433, S23. 10分當k=0時，四邊形F1MNF2是矩形，S=23. 11分所以四邊形F1MNF2面積 S 的最大值為23. 12分 法2：因為d12+d22=-k+mk2+1