第一章___緒__論___第二章___場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo).ppt

1、流 體 力 學(xué),顧伯勤 主編,研 究 生 教 材,退 出,中國(guó)科學(xué)文化出版社,前 言,本書是為高等工科院校非力學(xué)專業(yè)碩士研究生流體力學(xué)課程教學(xué)編寫的?？紤]到教學(xué)時(shí)數(shù)有限，所以有些內(nèi)容并未深入展開(kāi)。本書重點(diǎn)放在流體力學(xué)的基本概念、基本理論和解決流體力學(xué)問(wèn)題的基本方法上，目的在于為研究生開(kāi)展課題研究和將來(lái)從事工作提供必需的較為堅(jiān)實(shí)的流體力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也兼顧到工程技術(shù)人員和科技工作者的需要。 全書分上下兩冊(cè)，三篇，十五章。上冊(cè)包括第一篇“流體力學(xué)基礎(chǔ)”和第二篇“流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程”，具體內(nèi)容為：緒論、場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)、流體靜力學(xué)、流體運(yùn)動(dòng)學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程、流體動(dòng)力學(xué)積分

2、形式基本方程、伯努利方程式及其應(yīng)用、量綱分析和相似原理、流動(dòng)阻力與管道計(jì)算、邊界層理論、流體繞過(guò)物體的流動(dòng)和氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。下冊(cè)包括第三篇“計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)”，具體內(nèi)容為：計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)、流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法和流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法。,退 出,目 錄,流體力學(xué)基礎(chǔ),第一篇,第二篇,流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程,退 出,第三篇,計(jì)算流體動(dòng)力學(xué),第一篇 流體力學(xué)基礎(chǔ),緒論 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo) 流體靜力學(xué) 流體運(yùn)動(dòng)學(xué),第一章,第二章,第三章,第四章,退 出,返 回,第二篇 流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程,流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程 流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程 伯努利方程及其應(yīng)用

3、 量綱分析和相似原理 流動(dòng)阻力與管道計(jì)算 邊界層理論 流體繞過(guò)物體的流動(dòng) 氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),第五章,第六章,第七章,第八章,第九章,退 出,返 回,第十章,第十一章,第十二章,第三篇 計(jì)算流體動(dòng)力學(xué),計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ) 流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法 流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法,第十三章,第十四章,第十五章,退 出,返 回,第一章 緒 論,流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史 流體力學(xué)的研究方法,第一節(jié),第二節(jié),退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),矢量的基本運(yùn)算 張量及其基本性質(zhì) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系 曲線坐標(biāo)系及其基本性質(zhì) 物理量的梯度、散度、旋度 哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在 流體力學(xué)

4、中的應(yīng)用 廣義高斯定理和斯托克斯定理,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),第六節(jié),第七節(jié),退 出,返 回,第三章 流體靜力學(xué),作用于流體上的力 靜止流場(chǎng)中的應(yīng)力 靜止流體的基本微分方程 重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體 對(duì)物面的作用力 重力場(chǎng)中靜止氣體的壓力分布 非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體 表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象 流體靜壓力的測(cè)量原理,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),第六節(jié),第七節(jié),第八節(jié),退 出,返 回,第四章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué),流體運(yùn)動(dòng)的描述 跡線、流線、流管 環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義 微元流體線的運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng),第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),退 出,返 回,第五章

5、 流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程,連續(xù)性方程 理想流體運(yùn)動(dòng)方程 實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)方程,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),退 出,返 回,第六章 流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程,連續(xù)性方程 動(dòng)量方程 動(dòng)量矩方程 能量方程,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),退 出,返 回,第七章 伯努利方程式及其應(yīng)用,伯努利方程式及其限定條件 實(shí)際流體的伯努利方程式 實(shí)際流體的總流伯努利方程式 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程式 伯努利方程式的應(yīng)用,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),退 出,返 回,第八章 量綱分析和相似原理,量綱分析和定理 相似理論 流體力學(xué)模型研究方法,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),退 出,返 回,第九章 流體阻力與管道計(jì)算

6、,流動(dòng)狀態(tài)與阻力分類 圓管中的層流 圓管中的紊流 圓管中的沿程阻力,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),退 出,返 回,第十章 邊界層理論,邊界層特性 邊界層微分方程 平板層流邊界層的微分方程解 邊界層積分（動(dòng)量）方程 平板層流邊界層的積分方程解 平板紊流邊界層計(jì)算 平板混合邊界層計(jì)算,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),退 出,返 回,第六節(jié),第七節(jié),第十一章 流體繞過(guò)物體的流動(dòng),平面勢(shì)流 流體繞過(guò)圓柱體的流動(dòng) 流體繞過(guò)球體的流動(dòng),第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),退 出,返 回,第十二章 氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),壓力波的傳播，音速 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)擾源產(chǎn)生的擾動(dòng)場(chǎng)，馬赫數(shù)與馬 赫角 一元穩(wěn)定等熵流動(dòng)的基本方程 理想氣

7、體一元穩(wěn)定等熵流動(dòng)的基本特性 氣流參數(shù)與流道截面積的關(guān)系 漸縮噴管和拉伐爾噴管,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),退 出,返 回,第六節(jié),第十三章計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ),流動(dòng)問(wèn)題數(shù)值求解的基本步驟 流動(dòng)控制方程 離散方程的建立方法 差分方程特性分析,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),退 出,返 回,第十四章流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限差分解法,勢(shì)流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算 回流流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算,第一節(jié),第二節(jié),退 出,返 回,第十五章流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元解法,有限元法的基本思想與區(qū)域離散化 有限元法中代數(shù)方程的建立 二維邊值問(wèn)題有限元法求解舉例 有限分析法介紹,第一節(jié),第二節(jié),退 出,返 回,第三節(jié)

8、,第四節(jié),流體力學(xué)是研究流體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一門科學(xué)。 它和固體力學(xué)不同之處在于流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)具有連續(xù)不斷地變形的特性 且其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是十分復(fù)雜的。 象其它大多數(shù)科學(xué)一樣，流體力學(xué)成為一門獨(dú)立的科學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程。史前人類就有解決某些流體流動(dòng)問(wèn)題的豐富知識(shí)，如船舶制造和灌溉系統(tǒng)建設(shè)。公元前三世紀(jì)Archimedes(285-212 B.C.)提出了浮力定律并將其應(yīng)用于漂浮和浸沒(méi)于液體中的物體，這實(shí)際上是流體力學(xué)微分算法的雛形。 公元十五世紀(jì)前，船舶、運(yùn)河、水渠的工程設(shè)計(jì)水平得到了較大的提高，然而流動(dòng)分析技術(shù)卻并未有重大發(fā)展。Leonardo(1452-1519)導(dǎo)出了一維穩(wěn)定流

9、動(dòng)的質(zhì)量守恒方程。Leonardo是一個(gè)杰出的實(shí)驗(yàn)家，他對(duì)波、射流、水躍、渦流形成等現(xiàn)象作了精確的描述。Mariotte(1620-1684)建造了第一個(gè)風(fēng)洞，并利用該風(fēng)洞作了大量的模型試驗(yàn)。 第1頁(yè),第一章 緒 論,第一節(jié) 流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史,退 出,返 回,自Newton(1642-1727)提出了三大運(yùn)動(dòng)定律和線性流體的粘性定律以后，流體力學(xué)得到了較大的發(fā)展。十八世紀(jì)的一大批數(shù)學(xué)家如Bernoulli、 Euler、 Lagrange、 Laplace等在理想流體的假定下取得了許多無(wú)摩擦流動(dòng)問(wèn)題的研究成果，如Euler的運(yùn)動(dòng)微分方程和其積分形式Bernoulli方程。但理想流體

10、的假定有較大的局限性，工程實(shí)際中的大多數(shù)流動(dòng)無(wú)不受流體粘性的影響。當(dāng)時(shí)的工程師們開(kāi)始抵制這種他們認(rèn)為不切實(shí)際的理想流體流動(dòng)理論，在幾乎完全依賴實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)展了一門新的科學(xué)水力學(xué)。這樣的實(shí)驗(yàn)科學(xué)家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy等。他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到了諸如明渠流動(dòng)、船舶阻力、管道流動(dòng)、波動(dòng)等問(wèn)題的有用數(shù)據(jù)。 十九世紀(jì)末，實(shí)驗(yàn)的水力學(xué)和理論的流體動(dòng)力學(xué)開(kāi)始結(jié)合。William Froude（1810-1879）和他的兒子Robert Froude（1846-1924）建立了模型試驗(yàn)定律，Rayleigh（1842-1919）提出了量綱分析技術(shù)。Reynolds（1842-1

11、912）在1883發(fā)表了經(jīng)典的管道實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了著名的無(wú)量綱參數(shù)雷諾數(shù)Re。 第2頁(yè),第一章 緒 論,第一節(jié) 流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史,退 出,返 回,Navier (1785-1836)和Stokes (1819-1903)在歐拉運(yùn)動(dòng)方程中加入了牛頓粘性項(xiàng)，建立了粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程式。1904年德國(guó)工程師Prandtl (1875-1953)發(fā)表了流體力學(xué)方面最具影響的論文，提出了現(xiàn)代流動(dòng)分析中最重要的理論邊界層理論。這些理論對(duì)流體力學(xué)開(kāi)始脫離經(jīng)典式的理論研究而與工程實(shí)際相結(jié)合起到了很大的作用。二十世紀(jì)中葉以后，隨著宇宙航行，人造衛(wèi)星、核能工業(yè)、生物工程和環(huán)境、醫(yī)學(xué)等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，稀

12、薄氣體動(dòng)力學(xué)、電磁流體力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、多相流體力學(xué)、生物流體力學(xué)、氣動(dòng)噪聲流體力學(xué)等流體力學(xué)分枝也均在形成和發(fā)展中。 地球上71覆蓋著水、100覆蓋著空氣，流體力學(xué)問(wèn)題無(wú)處不有。象氣象學(xué)、海洋學(xué)涉及流體力學(xué)；我們的呼吸、生理循環(huán)涉及流體力學(xué)；航空、航天、航海涉及流體力學(xué)；水利灌溉、洪水控制、生活供水、污水排放涉及流體力學(xué)；石油化學(xué)工業(yè)中幾乎沒(méi)有哪一個(gè)化工過(guò)程中不包含流體力學(xué)問(wèn)題。 第3頁(yè),第一章 緒 論,第一節(jié) 流體力學(xué)的研究對(duì)象和發(fā)展歷史,退 出,返 回,在研究流體力學(xué)時(shí)，考慮到流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，僅采用固體力學(xué)中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法還不能完全解決問(wèn)題，需要廣泛采用半經(jīng)驗(yàn)的理論和實(shí)驗(yàn)研究所

13、取得的數(shù)據(jù)。近年來(lái)由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)所占的地位已越來(lái)越重要，對(duì)于一些復(fù)雜的流體力學(xué)數(shù)學(xué)模型，可采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，但某些復(fù)雜的流體力學(xué)問(wèn)題仍無(wú)法僅靠單純的數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)解決。因此研究流體力學(xué)還必須用理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)三者相互結(jié)合的方法。近年來(lái)實(shí)驗(yàn)技術(shù)發(fā)展很快，許多過(guò)去難以測(cè)量的參數(shù)和觀察的現(xiàn)象，現(xiàn)在可以比較準(zhǔn)確地測(cè)量和觀察出來(lái)。測(cè)量和觀察技術(shù)從低速流動(dòng)擴(kuò)展到高速流動(dòng)，從穩(wěn)定流動(dòng)擴(kuò)展到不穩(wěn)定流動(dòng)，從靜態(tài)擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)。但實(shí)驗(yàn)亦有其局限性，它往往不能闡明流體運(yùn)動(dòng)的一般特性。流體力學(xué)學(xué)科的發(fā)展一方面有賴于計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐必須由理論分析和數(shù)值計(jì)算來(lái)加以指導(dǎo)和驗(yàn)證。另一方面，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)

14、的發(fā)展加強(qiáng)了對(duì)理論和計(jì)算準(zhǔn)確性的檢驗(yàn)。這種理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)的緊密結(jié)合，必將大大加速流體力學(xué)學(xué)科的發(fā)展。 第1頁(yè),第一章 緒 論,第二節(jié) 流體力學(xué)的研究方法,退 出,返 回,第一章 緒 論,第二節(jié) 流體力學(xué)的研究方法,解決流體流動(dòng)問(wèn)題有三種基本方法： 1. 控制體分析法，即積分方程法； 2. 微元體分析法，即微分方程法； 3. 實(shí)驗(yàn)研究，即量綱分析法。 流體流動(dòng)必須滿足三大力學(xué)守恒定理以及熱力學(xué)狀態(tài)方程和相關(guān)的邊界條件： 1. 質(zhì)量守恒定理，即連續(xù)性條件； 2. 動(dòng)量守恒定理，即牛頓第二定理； 3. 能量守恒定理，即熱力學(xué)第一定理； 4. 狀態(tài)方程，如 （P, T）; 5. 固體表面、交界面、流

15、道進(jìn)出口的邊界條件。 第2頁(yè),退 出,返 回,在解決某一具體的流體力學(xué)問(wèn)題之前需要弄清流動(dòng)屬于哪一種類型， 流體流動(dòng)如何分類最為合理迄今并無(wú)共識(shí)。通常的做法是按照流動(dòng)分 析時(shí)所作的假設(shè)來(lái)劃分，即假定流動(dòng)為： 1. 穩(wěn)定的（定常的）或不穩(wěn)定的（不定常的）； 2. 無(wú)粘性的或粘性的； 3. 不可壓縮的或可壓縮的； 4. 氣體或液體。 第3頁(yè),第一章 緒 論,第二節(jié) 流體力學(xué)的研究方法,退 出,返 回,場(chǎng)是具有物理量的空間。在許多科學(xué)、技術(shù)問(wèn)題中，常常要考察 某種物理量（如溫度、密度、電位、力、速度等）在空間的分布和變 化規(guī)律。為了揭示和探索這些規(guī)律，數(shù)學(xué)上就引進(jìn)了場(chǎng)的概念。 如果在全部空間或部分空

16、間里的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一 個(gè)確定的值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。如果這物理量是 標(biāo)量，就稱這個(gè)場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)；若是矢量，就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如 溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)等為數(shù)量場(chǎng)；而力場(chǎng)、速度場(chǎng)等為矢量場(chǎng)。 此外，若場(chǎng)中之物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值不隨時(shí)間而變化，則稱該場(chǎng) 為穩(wěn)定場(chǎng)；否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng)。場(chǎng)的研究方法是將物理量作為空間 點(diǎn)的位置R和時(shí)間t的函數(shù)。但在場(chǎng)論分析中，t作為參變量處理，即分 析t時(shí)刻的場(chǎng)的情況。 第1頁(yè),第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),退 出,返 回,第2頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,一、矢量運(yùn)算符號(hào)規(guī)定 （一） 愛(ài)因斯坦（Einstein）求和符號(hào)

17、 數(shù)學(xué)式子任意一項(xiàng)中如出現(xiàn)一對(duì)符號(hào)相同的指標(biāo)，稱為愛(ài)因斯坦求和符號(hào)，它是啞指標(biāo)，表示求和。例如：,采用了愛(ài)因斯坦求和符號(hào)后線性代數(shù)方程組,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第3頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,可簡(jiǎn)寫成：,式中左端項(xiàng)中j出現(xiàn)兩次，代表求和指標(biāo)；i在左、右兩項(xiàng)各只出現(xiàn)一次，代表指定指標(biāo)。 （二）克羅內(nèi)克爾（Kronecker） 符號(hào),任意兩個(gè)正交單位矢量的點(diǎn)積用 表示，稱為克羅內(nèi)克爾,式中i，j是自由指標(biāo)，（2.1）式表示 ， 。 顯然 ， ， i 表示重復(fù)求和。,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第4頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),的定義亦

18、可寫成,（三）置換符號(hào) 任意兩個(gè)正交單位矢量的叉積可表示為,式中 稱為置換符號(hào)，又稱利西（Ricci）符號(hào)，其數(shù)值如下：,中有2個(gè)或3個(gè)自由指標(biāo)值相同。 中按12312順序任取3個(gè)排列。 中按13213順序任取3個(gè)排列。,上式表示 ， ，其余分量為零。,第5頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),由此可知，,中任意兩個(gè)自由指標(biāo)對(duì)換，對(duì)應(yīng)分量值相差一個(gè)負(fù)號(hào)，如,，故,稱為置換符號(hào)。,二、矢量運(yùn)算的常用公式,（2.3）,（2.4）,（2.5）,第6頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),（2.6a）,（2.6b）,（2.7）,（2.8

19、）,第7頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),三、矢量分量的坐標(biāo)變換,矢量是一個(gè)物理量，它獨(dú)立于坐標(biāo)系的選取。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生改變時(shí)，矢量本身不發(fā)生變化，僅是它的分量隨坐標(biāo)變換按一定規(guī)律發(fā)生改變。 按矢量定義：,（2.9）,，,和,，,分別為,在兩個(gè)不同的正交坐標(biāo)系中的分量和坐標(biāo)軸單位矢量。各單位矢量間夾角的余弦（即方向余弦）為lj，mj，nj（j=1, 2, 3）如表2.1所示，則對(duì)應(yīng)的矢量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系有：,表2.1 坐標(biāo)軸間方向余弦,第8頁(yè),第一節(jié) 矢量的基本運(yùn)算,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),（2.10）,例如：,第1頁(yè),第二節(jié) 張量及其

20、基本性質(zhì),退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),一、張量的定義 在正交坐標(biāo)系中張量可以定義為：設(shè)有正交坐標(biāo)系,在其上定義有,個(gè)函數(shù),，若坐標(biāo)系,線性變換時(shí)，即,（2.11）,作如下,式中,為常系數(shù)，與此相應(yīng)，函數(shù),（式中重復(fù)下標(biāo)表示對(duì)該下標(biāo)求和）,作如下變換,（2.12）,第2頁(yè),第二節(jié) 張量及其基本性質(zhì),退 出,返 回,。,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),則,定義為一個(gè)張量，記為,（2.13）,例如設(shè)坐標(biāo)數(shù),，在空間任一點(diǎn)規(guī)定三個(gè)矢量,，,和,如果按式（2.11）把直角坐標(biāo)系,變換到另一個(gè)直角坐標(biāo)系,中，得到另一組矢量,，,和,，它們滿足系式：,（2.14）,第3頁(yè),第二節(jié) 張量及其基本性

21、質(zhì),退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),式中,是坐標(biāo)軸,和,顯然，矢量,，,，,的分量,與矢量,，,，,的分量,有如下關(guān)系,上述關(guān)系式即式（2.12），因此分量,定義一個(gè)張量,之間夾角的,方向余弦。,（2.15）,（2.16）,由于在上述張量的定義中， 其分量的數(shù)目為坐標(biāo)數(shù)的平方，因此上述張量稱為二階張量。張量在三維空間中的分量數(shù)可用 來(lái)表示，n為張量的階。于是，標(biāo)量為零階張量，矢量為一階張量，流體微團(tuán)的變形速率為二階張量，應(yīng)力場(chǎng)梯度為三階張量。,第4頁(yè),第二節(jié) 張量及其基本性質(zhì),退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),二、二階張量的基本性質(zhì) 流體力學(xué)中經(jīng)常遇到的張量為二階張量，如

22、應(yīng)力、變形和轉(zhuǎn)動(dòng)，它 們具有如下一些基本性質(zhì)：,這種張量稱為對(duì)稱張量。,1.張量元素具有對(duì)稱性,（2.17）,2.張量的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 （1）張量與張量相加是指其對(duì)應(yīng)元素相加，其和仍為一張量，即,（2）張量與標(biāo)量相乘仍為一張量，即（,為標(biāo)量）,（2.19）,（2.18）,（3）張量與矢量相乘（內(nèi)積）為一矢量右乘定義為,（2.20）,第5頁(yè),第二節(jié) 張量及其基本性質(zhì),退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),左乘定義為,（4）張量,與張量,相乘仍為一張量，即,（2.22）,（2.21）,3.根據(jù)對(duì)稱張量性質(zhì)可知，在流體內(nèi)任一點(diǎn)存在三個(gè)相互垂直的軸，沿著 與該軸垂直的面上，張量的切向分量 為零，只

23、有法向分 量 。該軸稱為主軸。在應(yīng)力張量中稱為主應(yīng)力軸，在變形張 量中稱為主變形軸。,第1頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),直角坐標(biāo)系是最簡(jiǎn)單、最基本的一種坐標(biāo)系，又稱笛卡爾坐標(biāo)系，如圖2.1所示。 首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)分別作互相正交的直線，并分別命名為過(guò)原點(diǎn)的 軸。,（1）坐標(biāo)面：由三族分別過(guò)原點(diǎn)的與,軸垂直的平面所組成。其方程為,（2）坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線 組成坐標(biāo)軸。,軸是,兩坐標(biāo)面的交線；,，,一、直角坐標(biāo)系,，,第2頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),軸是,兩坐標(biāo)面的交線；,軸是,兩坐標(biāo)

24、面的交線。,（3）單位矢量：通常分別以,表示沿,并遵循右手法則。直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成正交，各點(diǎn)的 同類單位矢量方向不變。,坐標(biāo)軸的單位矢量，,（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn),（5）矢徑表示法：由原點(diǎn)至空間某點(diǎn)而連成的矢量線稱為矢徑，,第3頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),二、柱坐標(biāo)系 首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，以此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。 （1）坐標(biāo)面：分別由下列三族曲面所組成。以過(guò)原點(diǎn)的 軸為對(duì)稱軸的 圓柱面族 ；以與z軸相,；以通過(guò),軸的子午面族,垂直的平面族,。,（2）坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。,軸是,兩坐標(biāo)面的交線

25、；,軸是,兩坐標(biāo)面的交線。,軸是,兩坐標(biāo)面的交線；,（3）單位矢量：通常分別以,，,，,表示沿,，,，,，,的方向可能變化。,，,，,軸的單位矢量，并,規(guī)定遵循右手法則。柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成正交，在不同點(diǎn)上,第4頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn),（5）矢徑表示法：,第5頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),三、球坐標(biāo)系 首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。,（1）坐標(biāo)面：分別由以原點(diǎn)為中心的球面族,，以原點(diǎn)為頂點(diǎn),軸為對(duì)稱軸的圓錐面族,和子午面族,

26、以,三族曲面所組成，,，,確定了三個(gè)特定的坐標(biāo)面，,如圖2.3所示。,第6頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),（2）坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。,軸是,，,兩坐標(biāo)面的交線；,軸是,，,兩坐標(biāo)面的交線；,軸是,，,兩坐標(biāo)面的交線。,（3）單位矢量：通常分別以,，,，,表示沿,，,，,，,，,的方向是,坐標(biāo)軸的,單位矢量，并規(guī)定遵循右手法則。球坐標(biāo)中一點(diǎn)的三個(gè)單位矢量互成 正交，一般情況下，不同點(diǎn)上同族單位矢量,不同的。,（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn),（5）矢徑表示法：,。,第7頁(yè),第三節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)

27、論與正交曲線坐標(biāo),四、直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系 直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:,（2.23）,直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:,（2.24）,第1頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系均屬曲線坐標(biāo)系。坐標(biāo)系的基本功能是識(shí)別空間位置，為了便于應(yīng)用可人為地規(guī)定某種曲線坐標(biāo)系。 一、曲線坐標(biāo)系 首先在空間取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，以此點(diǎn)作直角坐標(biāo)系。,（1）坐標(biāo)面：取三族曲面,作為坐標(biāo)面族，其反函數(shù)為,。,確定了三個(gè)特定的坐標(biāo)面，如圖2.4所示。,（2）坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線組成坐標(biāo)軸。,軸是,兩坐標(biāo)面的交線；,軸

28、是,兩坐標(biāo)面的交線；,軸是,兩坐標(biāo)面的交線。,第2頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),坐標(biāo)軸的單位矢量，以,（3）單位矢量：沿坐標(biāo)線的切線，且,方向的單位矢量稱為,，,，,在曲線坐標(biāo)系中，它們隨空間位置而,表示，它們遵循右手法則。,改變，即,這是曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的一個(gè)主要差別。,（4）空間點(diǎn)的表示：以三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)表示空間點(diǎn),。,（5）矢徑表示法：,（2.25）,式中,，,，,與,，,，,有關(guān)。,，,第3頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第4頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返

29、 回,二、矢徑,由微分定義,（2.26）,點(diǎn)到,點(diǎn)引起的增量為,的微分,從,（2.27）,，因而,由于,（2.28）,（2.29）,令,，則上式可寫成,（2.30）,（2.31）,第5頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),（2.32）,同理可得,，,，,（2.33）,，,，,上式中,、,、,因此矢徑,的微分可寫成,、,稱為拉梅系數(shù)。,（2.34）,第6頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),若已知坐標(biāo)面族方程,則可求得上式中的拉梅系數(shù)和單位矢量。,因此拉梅系數(shù)可寫成,（2.36）,（2.35）,單位矢量可寫成,在正交曲線坐標(biāo)

30、系中，三個(gè)單位矢量滿足：,，即,（2.37）,（2.38）,第7頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),它適用于已知,，,，,利用梯度性質(zhì)，正交條件也可寫成：,，即,它適用于已知,的情況。,的情況。,（2.39）,例題2.1 求柱坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)和坐標(biāo)軸單位矢量，并證明其正交。,，,，,，其反函數(shù)為,，,，,。,解：對(duì)于柱坐標(biāo)系,，,，,，,，,，,，,，,，,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第8頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,因此拉梅系數(shù)為,由（2.37）式，并注意到,，則可求得單位矢量為,顯然,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第9頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的

31、幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,其實(shí)拉梅系數(shù)亦可用幾何的方法確定。因?yàn)?，即,其幾何意義為：坐標(biāo)值的單位增量引起的對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的單位增量。按照該定 義不難直接由幾何關(guān)系求得上例中的拉梅系數(shù)（請(qǐng)讀者自行求解）。 三、坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù) 在曲線坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)可按下式計(jì)算,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第10頁(yè),第四節(jié) 常見(jiàn)的幾種坐標(biāo)系,退 出,返 回,柱坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：,球坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第1頁(yè),第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,退 出,返 回,一、物理量的梯度 物理量的梯度可以用來(lái)描述該物理量在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的變化情況。 （一）方向?qū)?shù)的計(jì)

32、算公式 方向?qū)?shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率。在直角坐標(biāo)系中， 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),處可微，,為l方向上,在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)為：,的方向余弦，則函數(shù),式中,是,在點(diǎn)M0的偏導(dǎo)數(shù)。,（2.43）,（二）標(biāo)量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 如有一矢量,，處處滿足,。,這里,為標(biāo)量,沿,方向的方向,定義為物理量,的梯度，并表示為,導(dǎo)數(shù)，則,。它在直角坐標(biāo)系中,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第2頁(yè),退 出,返 回,標(biāo)量梯度有兩條常用的重要性質(zhì)：,（2.44）,，,，式中,。前式表示由梯度,沿,方向的方向?qū)?shù)，后式表示由梯度可以知道,方向經(jīng)過(guò)線段dl的增量。,可以得到物理量,該物

33、理量沿,，這里,為,等值面法線指向,增大方向的單位矢量，,是,沿,方向的方向?qū)?shù)，所以由梯度可以求得等值面法線方向,。,的單位矢量,顯然，,的方向一定與,的面相垂直，,是函數(shù),在空間的最大變化率。,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,的表達(dá)式為：,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第3頁(yè),退 出,返 回,例題2.2 求數(shù)量場(chǎng),在點(diǎn),處的梯度，以及沿矢量,方向的方向?qū)?shù)。,方向的單位矢量為,解：,于是有,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第4頁(yè),退 出,返 回,例題2.3 求曲面,的法線單位矢量,解：,。,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第5頁(yè),

34、退 出,返 回,（三）矢量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 如果有一個(gè)二階張量,，處處滿足,，這里,為矢量,沿,方向的方向?qū)?shù)，則,定義為矢量,的梯度，并表示為,。它在,直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為,類似于標(biāo)量梯度，矢量梯度有下述性質(zhì)：,，,。,（2.45）,由這兩個(gè)公式可求得矢量,沿,方向的方向?qū)?shù)和沿矢量線段,的增量。由于矢量場(chǎng)沒(méi)有等值面概念，因而,。,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第6頁(yè),退 出,返 回,二、物理量的散度 物理量的散度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有源。 （一）矢量散度的定義及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 設(shè)有矢量場(chǎng) ，于場(chǎng)中一點(diǎn) 處作一包含點(diǎn) 在內(nèi)的任

35、一閉曲面 ，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)?，體積為 ，以 表示從其內(nèi)部穿出 的通量。若當(dāng)以 任意方式縮向點(diǎn) 時(shí)，下式,之極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng),在點(diǎn),處的散度，記作,（2.46）,式中,為邊界曲面上微元面積,的外法線單位矢量。,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第7頁(yè),退 出,返 回,散度的定義是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的。在直角坐標(biāo)系中，令,，則有：,（2.47）,流體力學(xué)中常用的矢量散度為速度散度，令,，則,（二）二階張量的散度及其在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 與矢量散度相類似，可以定義二階張量的散度為,（2.48）,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),

36、第8頁(yè),退 出,返 回,在直角坐標(biāo)系中，令,，則有：,（2.49）,（三）有源場(chǎng)與無(wú)源場(chǎng) 由散度定義可見(jiàn)，散度 為一數(shù)量，表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出之通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。當(dāng) 時(shí)，稱矢量場(chǎng) 為有源場(chǎng)；當(dāng) 時(shí)，其場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。,三、物理量的旋度 物理量的旋度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有旋。 （一）旋度的定義,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第9頁(yè),退 出,返 回,設(shè)有矢量場(chǎng) 中一點(diǎn) 處存在一矢量 ，若 處處滿足 則定義矢量 為 的旋度，并用 來(lái)表示。這里 為可縮封閉曲線， 為以為 周線包含 點(diǎn)的任一曲面， 為曲面 向 點(diǎn)縮小至

37、零時(shí)的法線方向單位矢量， 與 滿足右手螺旋法則， 為矢量 沿 的環(huán)量。,（二）旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 在直角坐標(biāo)系中，令,，則,的旋度可表示為：,（2.50）,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第10頁(yè),退 出,返 回,流體力學(xué)中常用的矢量旋度為速度旋度，令,，則,（三）有旋場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) 若矢量,的旋度處處為零，則稱矢量場(chǎng),為無(wú)旋場(chǎng)；否則矢量場(chǎng),就是有旋場(chǎng)。,第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第1頁(yè),退 出,返 回,第六節(jié) 哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用,一、哈密爾頓算子 利用哈密爾頓算子 可以方便地推導(dǎo)或證明一些公式

38、并簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)公式的書寫。哈密爾頓算子是一個(gè)具有微分及向量雙重運(yùn)算的算子，適用于任意正交曲線坐標(biāo)系，但其具體形式在不同坐標(biāo)系中是不同的，哈密爾頓算子在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：,運(yùn)算時(shí)先進(jìn)行微分運(yùn)算，后進(jìn)行向量運(yùn)算，具體運(yùn)算規(guī)定如下：,（2.51a）,（2.51b）,（2.51c）,（2.51d）,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第2頁(yè),退 出,返 回,第六節(jié) 哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用,二、拉普拉斯算子 物理量梯度的散度運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算，用算子,表示，即,，,，這里,稱為拉普拉斯算子。按哈密爾頓算子的運(yùn)算規(guī)則，,（2.52a）,（2.52b）,在直角坐標(biāo)系中有,三、哈密爾頓算子、拉普拉斯算子在流體力學(xué)中的應(yīng)用 下面給出流體力學(xué)中常用的,，,系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中的表達(dá)式，這里,為任意矢量，也可看做速度，,為任意標(biāo)量，也可看做速度勢(shì),。,，,，,，,，,在直角坐標(biāo),，,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第3頁(yè),退 出,返 回,第六節(jié) 哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用,（一）直角坐標(biāo)系,（2.53a）,（2.53b）,（2.53c）,（2.53d）,（2.53e）,（2.53f）,第二章 場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo),第4頁(yè),退 出,返 回,第六節(jié) 哈密爾頓