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1、4 對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化,定理:設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值, p1, p2, , pm 依 次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,則 p1, p2, , pm 線性無(wú)關(guān) (P.120定理2),可逆矩陣 P ,滿(mǎn)足 P 1AP = L (對(duì)角陣),AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對(duì)應(yīng)的 特征向量,其中,?,(Ali E) pi = 0,矩陣 P 的 列向量組 線性無(wú)關(guān),定理:設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值, p1, p2, , pm 依 次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,如果 l1,
2、 l2, , lm 各不相同,則 p1, p2, , pm 線性無(wú)關(guān)(P.120定理2) 定理: n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似(即 A 能對(duì)角化)的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(P.123定理4) 推論:如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值,則 A 和對(duì)角陣相似 說(shuō)明:當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí),就不一定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量,從而不一定能對(duì)角化(P.118例6),定理:設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值, p1, p2, , pm 依 次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,則 p1, p2, , pm 線性無(wú)關(guān)(P.120
3、定理2) 定理:設(shè) l1 和 l2 是對(duì)稱(chēng)陣 A 的特征值, p1, p2 是對(duì)應(yīng)的特 征向量,如果 l1 l2 ,則 p1, p2 正交(P.124定理6) 證明: A p1= l1 p1, A p2= l2 p2 , l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A (A 是對(duì)稱(chēng)陣) l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因?yàn)閘1 l2 ,則 p1T p2 = 0,即 p1, p2 正交,定理:設(shè) A 為 n 階對(duì)稱(chēng)陣,則必有正交陣 P,使得
4、 P 1AP = PTAP = L, 其中 L 是以 A 的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣(不唯一). (P.124定理7),定理: n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似(即 A 能對(duì)角化)的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (P.123定理4) 推論:如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值,則 A 和對(duì)角陣相似 說(shuō)明:當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí),就不一定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量,從而不一定能對(duì)角化,定理: n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似(即 A 能對(duì)角化)的充分 必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (P.123定理4) 推論:如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值,則 A 和對(duì)角
5、陣相似 說(shuō)明:當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí),就不一定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量,從而不一定能對(duì)角化,推論:設(shè) A 為 n 階對(duì)稱(chēng)陣,l 是 A 的特征方程的 k 重根,則 矩陣 A lE 的秩等于 n k, 恰有 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與特征值 l 對(duì)應(yīng),例:設(shè) ,求正交陣 P,使P1AP = L對(duì)角陣. 解:因?yàn)?A 是對(duì)稱(chēng)陣,所以 A 可以對(duì)角化 求得 A 的特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 1 ,當(dāng) l1 = 2 時(shí), 解方程組 (A + 2E) x = 0 ,得基礎(chǔ)解系 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí), 解方程組 (AE) x = 0 ,得 令 ,則 . 問(wèn)題:這樣的解法
6、對(duì)嗎?,當(dāng) l1 = 2時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 ; 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 . 顯然,必有x1x2 , x1x3 ,但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化: 此時(shí)x1h2 , x1h3 ,h2h3 ,單位化: 當(dāng) l1 = 2時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 ; 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 .,當(dāng) l1 = 2時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 ; 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為 于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣 從而 ,把對(duì)稱(chēng)陣 A 對(duì)角化的步驟為: 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ,它們的重?cái)?shù)依次為k1,
7、k2, , ks (k1 + k2 + + ks = n) 對(duì)每個(gè) ki 重特征值 li ,求方程組 | Ali E | = 0 的基礎(chǔ)解系,得 ki 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 把這 ki 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化、單位化,得到 ki 個(gè)兩兩正交的單位特征向量 因?yàn)閗1 + k2 + + ks = n ,總共可得 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量 這 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P,便有 P 1AP = L L 中對(duì)角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng).,例:設(shè) ,求 An . 分析: 數(shù)學(xué)歸納法,定理:若 n 階矩陣 A 和 B 相似,則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論:若 n 階矩陣 A 和 B 相似,則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的 多項(xiàng)式 j (B) 相似 若 n 階矩陣 A 和 n 階對(duì)角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似,則 從而通過(guò)計(jì)算j (L) 可方便地計(jì)算j (A). 若j (l) = | AlE |,那么 j (A) = O(零矩陣).,例:設(shè) ,求 An . 分析: 數(shù)學(xué)歸納法 因?yàn)?A 是對(duì)稱(chēng)陣,所以 A 可以對(duì)角化 求得 A 的特征值 l1 = 1, l2 = 3 下面求滿(mǎn)足 P 1AP = 的可逆矩陣 P ,下面求滿(mǎn)足 P 1AP = 的可逆矩
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