2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.8 函數(shù)與方程學(xué)案 理

1、2.8函數(shù)和方程考試展示1.基于二次函數(shù)的圖像，我們知道了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，并判斷了一元二次方程根的存在性和根的個(gè)數(shù)。2.根據(jù)特定函數(shù)的圖像，可以通過(guò)二分法得到相應(yīng)方程的近似解。測(cè)試中心1功能零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷1.函數(shù)零的定義關(guān)于函數(shù)y=f (x)，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _成立的實(shí)數(shù)x稱(chēng)為函數(shù)y=f (x)的零點(diǎn)。答案：f (x)=02.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系等式f (x)=0實(shí)根函數(shù)為y=f (x)的圖像與_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _相交。答案：X軸零點(diǎn)3.函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在定理)如果函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a，b中

2、的圖像是一條具有_ _ _ _ _ _ _ _的連續(xù)曲線，那么函數(shù)y=f (x)在區(qū)間_ _ _ _ _ _ _ _中有零點(diǎn)，即有c(a，b)，這使得u答：f(a)f(b)0 (a，b) F (c)=0 C。4.二分法的定義對(duì)于在區(qū)間a，b中連續(xù)的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地取函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸接近零點(diǎn)，得到零點(diǎn)近似值的方法稱(chēng)為二分法。答：f(a)f(b)0分為二函數(shù)零點(diǎn)的誤解：零點(diǎn)的概念；零的數(shù)量。(1)函數(shù)的零點(diǎn)是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3、 _ _ _ _ _ _ _。答：(1)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解析：函數(shù)的零點(diǎn)不是圖像和X軸的交點(diǎn)，而是圖像和X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)，函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)。(2)如果連續(xù)圖像函數(shù)Y=F (x)在區(qū)間(a，b)中是單調(diào)的，并且F (a) F (b)是0，那么函數(shù)Y=F (x)在區(qū)間(a，b)中有零點(diǎn)?；卮穑邯?dú)特分析：根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)y=f (x)在區(qū)間(a，b)中有零點(diǎn)，然后根據(jù)單調(diào)性，零點(diǎn)是唯一的。二次函數(shù)的零點(diǎn)。(1)二次函數(shù)f (x)=ax2 bx c (a 0)有一個(gè)正零和一個(gè)負(fù)零，當(dāng)且僅當(dāng)_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑篴c0解析：根據(jù)數(shù)和形的組合，二次函數(shù)f

4、(x)=ax2 bx c (a 0)有一個(gè)正零點(diǎn)和一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)af(0)0，即ac0。(2)如果函數(shù)y=(k-8) x2 x 1最多有一個(gè)零點(diǎn)，那么k的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑悍治觯涸摵瘮?shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，那么：當(dāng)k=8時(shí)，讓x 1=0，即x=-1，并且有一個(gè)零點(diǎn)，這符合問(wèn)題的含義；當(dāng)k8時(shí)，設(shè)=1-4 (k-8) 0，求解k。因此，k的取值范圍是。題目1 (1)2017湖北四中七校聯(lián)考函數(shù)f (x)= x log2x的零點(diǎn)在區(qū)間()A.B華盛頓特區(qū)回答答resolution f=log2=-20，f=-10，即ff0，所以世界上至少有一個(gè)零。因此，選擇一個(gè).(2

5、)2017浙江溫州模擬如圖所示是二次函數(shù)f (x)=x2-bx的部分圖像，函數(shù)g(x)=ex f(x)的零點(diǎn)的近似區(qū)間是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)回答乙分辨率從圖像中，你知道1，得到10。因此，g(0)g(1)0。乙.(3)2017浙江嘉興仿真讓函數(shù)y=x3和y=x-2的圖像的交點(diǎn)為(x0，y0)。如果x0(n，N 1)，nN，則x0的間隔為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (1，2)resolution如果f(x)=x3-x-2，x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，函數(shù)y=x3和y=x-2的圖像繪制在同一坐標(biāo)系中，如圖所示。因?yàn)閒 (1)=1-1=-10，f

6、(2)=8-0=70，因此，f(1)f(2)0，所以x0(1，2)。確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)區(qū)間的兩種常用方法(1)定義方法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a，b內(nèi)必須是連續(xù)的。當(dāng)f(a)f(b)0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零。(2)鏡像法：如果一個(gè)函數(shù)(或方程)是由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)組成，可以用鏡像法求解，如f(x)=g (x)-h (x)，并作出y=g (x)和y=h (x)的鏡像，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為函數(shù)f(x)測(cè)試點(diǎn)2判斷函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量(1)課本習(xí)題改編f的零數(shù)(2)課本習(xí)題改編用“二分法”求區(qū)間2，3中方程x3-2x-5=0的實(shí)根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0=2.5，則下一

7、個(gè)有根區(qū)間為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _。答案：2，2.5判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：直接求零點(diǎn)；零點(diǎn)存在定理：圖像交點(diǎn)的數(shù)目。(1)如果函數(shù)f (x)=ax b的零是2，那么函數(shù)g (x)=bx2-ax的零是_ _ _ _ _ _?；卮穑?，-分析：因?yàn)?a b=0，g(x)=-2 x2-ax=-ax(2x 1)，所以0和-。(2)給定三個(gè)區(qū)間，函數(shù)f (x)=x ln x的零點(diǎn)位于區(qū)間_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：解析：當(dāng)x從1趨近于0時(shí)，ln x趨近于負(fù)無(wú)窮大，所以f(x)趨近于負(fù)無(wú)窮大，而f=ln=-1 0，f=ln=-2 0，所以函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間為。標(biāo)題2(1)合肥模擬，安徽

8、，2017如果偶數(shù)函數(shù)f(x)滿足f (x-1)=f (x 1)，并且如果xn0，1，f (x)=x2，那么方程f (x)=x上的根數(shù)A.1B.2C.3D.4答案 C因?yàn)閒(x)是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)x -1，0，-x 0，1時(shí)，因此，f (-x)=x2，即f (x)=x2。f (x-1)=f (x 1)，因此，f(x 2)=f (x 1) 1=f (x 1)-1=f (x)，因此f(x)是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)y=f (x)和y=f(x)的圖像在同一坐標(biāo)系中生成，如圖所示。兩個(gè)圖像之間有三個(gè)交叉點(diǎn)，由數(shù)字和形狀組合而成，所以方程f (x)=x有三個(gè)根，所以c .(2)2017湖南衡陽(yáng)模擬函數(shù)f(

9、x)的值域?yàn)?1，1，圖像如圖1所示；函數(shù)g(x)的定義域是-2，2，圖像如圖2所示。方程f (g (x)=0有m個(gè)實(shí)根，方程g (f (x)=0有n個(gè)實(shí)根，那么m n=()A.14B.12C.10D.8回答答分析從標(biāo)題圖，如果f (g (x)=0，那么g (x)=1或g (x)=0或g(x)=1，從標(biāo)題圖，當(dāng)g(x)=1，x=-1或x=1；G (x)=0對(duì)應(yīng)三個(gè)x值；G (x)=1，x=2或x=-2，因此m=7。如果g (f (x)=0，則f (x)=-1.5或f (x)=1.5或f (x)=0，從標(biāo)題圖可知。判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法(1)方程求解方法：如果相應(yīng)的方程f (x)=0可以求解

10、，則通過(guò)求解方程，幾個(gè)解會(huì)有幾個(gè)零點(diǎn)。(2)零點(diǎn)存在定理方法：利用該定理，我們不僅要判斷函數(shù)是一條連續(xù)曲線，且f(a)f(b)0在區(qū)間a，b內(nèi)，還要結(jié)合函數(shù)的像和性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性)來(lái)確定函數(shù)有多少零點(diǎn)。(3)數(shù)形結(jié)合法：將圖像的相交數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的問(wèn)題。首先，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看相交數(shù)，其中相交數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)。1.函數(shù)f (x)=log2 (x 4)-3x的零點(diǎn)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3回答：c。分析：在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=3x，函數(shù)y=log2 (x 4)的圖像，那么圖像的交點(diǎn)數(shù)就是函數(shù)f (x)=log2 (x 4)-3x的零點(diǎn)數(shù)。從圖像來(lái)看，函數(shù)圖

11、像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是兩個(gè)，所以c .2.如果f (x)=f (0)=-2和f (-1)=1，函數(shù)g (x)=f (x) x的零點(diǎn)數(shù)為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _。回答：3分析：根據(jù)問(wèn)題的意思從這個(gè)解決方案中，G (x)=0給出f (x) x=0，相當(dāng)于或溶液x=2，溶液x=-1或x=-2。因此，函數(shù)g (x)=f (x) x的零點(diǎn)數(shù)是3。測(cè)試點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用標(biāo)題3眾所周知，函數(shù)f (x)=如果函數(shù)g (x)=f (x)-m有三個(gè)零，實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (0，1)解析函數(shù)g (x)=f (x)-m有三個(gè)零，三個(gè)根轉(zhuǎn)換成f (x)-m=0，然后

12、轉(zhuǎn)換成y=f (x)，以及y=m的三個(gè)交點(diǎn).畫(huà)一個(gè)函數(shù)y=f (x)的圖像，然后直線y=m有三個(gè)公共點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)是(-1，1)。從圖中可以看出，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1)?；癁榻甬?dāng)函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)時(shí)，常用三種方法來(lái)確定參數(shù)范圍(1)直接法：根據(jù)題目的條件直接構(gòu)造參數(shù)的不等式，然后通過(guò)求解不等式確定參數(shù)的取值范圍。(2)參數(shù)分離方法：首先將參數(shù)分離并轉(zhuǎn)化為尋找待求解函數(shù)值域的問(wèn)題。(3)數(shù)形結(jié)合法：首先對(duì)解析公式進(jìn)行變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制函數(shù)圖像，然后求解數(shù)形結(jié)合。假設(shè)函數(shù)f (x)=如果函數(shù)g (x)=f (x) x-m有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是f(x)=A.0，1

13、B.(-，1)C.(-，0(1，+)D.(-，1(2，+)回答：c。分析：函數(shù)g (x)=f (x) x-m的零點(diǎn)是方程f (x) x=m的根，h (x)=的圖像如圖所示。觀察它與直線y=m的交點(diǎn)，我們知道當(dāng)m0或m1時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)m與函數(shù)g (x)=f (x) x-m的零點(diǎn)的值域?yàn)?-，0(1，)。測(cè)試點(diǎn)4處二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題二次函數(shù)y=ax2 bx c (A0)的像與零點(diǎn)的關(guān)系0=00圖像和x軸的交集_沒(méi)有交叉點(diǎn)零的數(shù)量_答案是：(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 2 1 0標(biāo)題4已知函數(shù)f (x)=x2 ax 2，a r(1)如果不等式f(x)0的解集是1，2，求不等式f (

14、x) 1-x2的解集；(2)如果函數(shù)g (x)=f (x) x2 1在區(qū)間(1，2)中有兩個(gè)不同的零，它就是實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (1)因?yàn)椴坏仁絝(x)0的解集是1，2，因此，a=-3，f (x)=x2-3x 2。當(dāng)f (x) 1-x2時(shí)，得到2x2-3x 1 0。解是x或x1。因此，不等式f (x) 1-x2的解集是。(2)函數(shù)g (x)=2x2 ax 3在區(qū)間(1，2)中有兩個(gè)不同的零，那么也就是說(shuō)，-5 a -2。因此，實(shí)數(shù)A的范圍是(-5，-2)。解決與二次函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)可以使用二次方程的根公式；(2)可以使用一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖像序列不等式。眾所周知，f (x)=x2 (a2-1) x (a-2)的零點(diǎn)大于1，零點(diǎn)小于1，這是實(shí)數(shù)的取值范圍。解：解1:讓方程x2 (a2-1) x (a-2)=0為x1，x2(當(dāng)x12，g (x)=x b-4，f(x)=x-2)2；當(dāng)0x2時(shí)，G (x