2018版高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解學(xué)案 北師大版必修1

1、4.1.2利用二分法求方程的近似解 1. 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解(重點) 2. 學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過程和方法(難點)基礎(chǔ)初探教材整理利用二分法求方程的近似解閱讀教材P117P119整節(jié)課的內(nèi)容，完成下列問題 1. 二分法的概念對于圖像在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法 2. 用二分法求方程的近似解的過程圖411在圖411中：“初始區(qū)間”是一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間；“M”的含義是：取新區(qū)間，一個端點是原區(qū)間的中點，另一端是原區(qū)間兩端點中的一

2、個，新區(qū)間兩端點的函數(shù)值反號；“N”的含義是：方程解滿足要求的精度；“P”的含義是：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程的近似解 1. 判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任何函數(shù)的零點都可以用二分法求得()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解()(3)當(dāng)方程的有解區(qū)間a，b的區(qū)間長度ba(精確度)時，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個數(shù)都是滿足精確度的近似解()【答案】(1)(2)(3) 2. 在用二分法求函數(shù)f(x)的一個零點時，經(jīng)計算，f(0.64)0，f(0.72)0，0.68，f(0.68)0，若精確度為0.1，則函數(shù)f(x)的零點近似值可為()A0.64B0.65C0.70 D0.73【解析

3、】因為0.720.680.040.1，故函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0.68,0.72)，故函數(shù)的零點可以是0.70.【答案】C小組合作型二分法概念的理解下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是()ABCD【精彩點撥】【嘗試解答】按定義，f(x)在a，b上是連續(xù)的，且f(a)f(b)0，才能不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，進而利用二分法求出函數(shù)的零點故結(jié)合各圖像可得選項B、C、D滿足條件，而選項A不滿足，在A中，圖像經(jīng)過零點x0時，函數(shù)值不變號，因此不能用二分法求解故選A.【答案】A 1. 準(zhǔn)確理解“二分法”的含義二分就是平均分成兩部分二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐

4、步逼近零點的方法，找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點 2. “二分法”與判定函數(shù)零點的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖像在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點再練一題 1. (1)下列函數(shù)中，能用二分法求零點的為() AB CD(2)用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)的零點時，需要的條件是()f(x)在區(qū)間a，b是連續(xù)不斷的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABC D【解析】(1)函數(shù)圖像連續(xù)不斷，函數(shù)零點附近的函數(shù)值異號，這樣的函數(shù)零點才能使用二分法求解，觀察四個函數(shù)圖像，只有B選項符合(

5、2)由二分法的意義，知選A.【答案】(1)B(2)A利用二分法求方程的近似解借助計算器或計算機，用二分法求方程3x0的近似解(精確度為0.1)【精彩點撥】借助函數(shù)圖像的交點確定初始區(qū)間后用二分法求根的近似解【嘗試解答】原方程可化為3x10，即3x1，在同一坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)g(x)3x與h(x)1的簡圖，如圖所示：因為g(x)與h(x)的圖像交點的橫坐標(biāo)位于區(qū)間(1,0)且只有一個交點，所以原方程只有一解，設(shè)為xx0.令f(x)3x3x1，因為f(0)11110，f(0.5)210，所以x0(0.5,0)用二分法求解，列表如下：中點值中點(端點)函數(shù)值取值區(qū)間f(0.5)0，f(0)0(0

6、.5,0)x10.25f(0.25)0(0.5，0.25)x20.375f(0.375)0(0.5，0.375)x30.437 5f(0.437 5)0(0.437 5，0.375)因為|0.375(0.437 5)|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取為0.375.用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精確度，及時檢驗所得區(qū)間端點的近似值是否達到要求(達到給定的精確度)，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算.再練一題 2. 利用計算器，求方程lg x2x的近似解(精確到0.1)【解】作出ylg x，y2x的圖像，可以發(fā)

7、現(xiàn)，方程lg x2x有唯一解，記為x0，并且解在區(qū)間1,2內(nèi)設(shè)f(x)lg xx2，用計算器計算得f(1)0，f(2)2x1,2；f(1.5)0，f(2)0x1.5,2；f(1.75)0，f(2)0x1.75,2；f(1.75)0，f(1.875)0x1.75,1.875；f(1.75)0，f(1.812 5)0x1.75,1.812 5在區(qū)間1.75,1.812 5中的值精確到0.1均為1.8.近似解為1.8.探究共研型利用二分法求函數(shù)零點的近似值探究 1 如圖412，f(x)的圖像與x軸有一個交點，如何求方程f(x)0的解？圖412假設(shè)在區(qū)間1,5上，f(x)的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(

8、1)f(5)0，如何按照二分法的思想求方程f(x)0的一個解？【提示】取1,5的中點2，因為f(5)0，f(2)0，即f(2)f(5)0.所以在區(qū)間2,5內(nèi)有方程的解于是再取2,5的中點3.5這樣繼續(xù)下去，如果取到某個區(qū)間的中點x0，恰使f(x0)0，則x0就是所求的一個解；如果區(qū)間中的點的函數(shù)值總不等于零，那么，不斷地重復(fù)上述操作，就得到一系列閉區(qū)間，方程的一個解在這些區(qū)間中，區(qū)間長度越來越小，端點逐步逼近方程的解，可以得到一個近似解探究 2 在上述問題中，如果不給精確，用二分法能一定求出零點嗎？【提示】不能探究 3 假設(shè)方程有一個近似解在區(qū)間a，b內(nèi)，那么當(dāng)區(qū)間的長度ba的值滿足什么條件時

9、，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個數(shù)都是滿足精度的近似解？為什么？【提示】當(dāng)ba，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個數(shù)都是滿足精度的近似解因為任意選取兩數(shù)x1，x2(a，b)，都有|x1x2|.由于(a，b)，所以任意選取x(a，b)都有|x|.用二分法求函數(shù)yx33的一個正零點(精確到0.01). 【導(dǎo)學(xué)號：】【精彩點撥】【嘗試解答】由于f(1)20，f(2)50，因此可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，見表如下：次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值第1次1225第2次121.50.375第3次1.251.046 91.50.375第4次1.3750.400 41.50.375第5次1.4

10、37 50.029 51.50.375第6次1.437 50.029 51.468 750.168 4第7次1.437 50.029 51.453 1250.068 38第8次1.437 50.02951.445 312 50.019 2第9次1.441 406 250.005 31.445 312 50.019 2第10次1.441 406 250.005 31.443 359 3750.006 931因為區(qū)間1.441 406 25,1.443 359 375內(nèi)的所有值，若精確到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函數(shù)一個精確到0.01的正零點的近似值二分法求解步驟：(1)確定區(qū)間a

11、，b：驗證f(a)f(b)0，初始區(qū)間的選擇不宜過大，否則易增加運算的次數(shù)(2)求區(qū)間a，b的中點c.(3)計算f(c)：若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點x0a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點x0c，b)(4)判斷a，b的兩端的近似值是否相等，若相等得零點的近似解；否則重復(fù)(2)(4)步特別注意要運算徹底再練一題 3. 用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個零點x0_，第二次應(yīng)計算_，以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,

12、1)，f(0.75)D(0,0.5)，f(0.125)【解析】由f(0)f(0.5)0，故其中一個零點x0(0,0.5)，第二次計算時取區(qū)間(0,0.5)的中點0.25，故第二次計算f(0.25)【答案】A 1. 用二分法求函數(shù)f(x)3x7的零點時，初始區(qū)間可選為()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)【解析】f(1)31770，f(0)307171760，f(1)31740，f(2)3279720，故函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(1,2)上，故初始區(qū)間可選為(1,2)【答案】C 2. 若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1)2f

13、(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5) 0.162f(1.406 25) 0.054那么函數(shù)零點的一個近似解(精確度為0.1)為()A1.2B1.3C1.4 D1.5【解析】由參考數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(1.25,1.375)，(1.375,1.406 25)，(1.406 25,1.437 5)內(nèi)，由于1.3751.250.150.1，1.406 251.3750.031 250.1,1.437 51.406 250.031 250.1.故函數(shù)的零點可以在區(qū)間(1.406 25,1.437 5)中取故選項C符合【答案】C 3. 已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,0.1)上有唯一零點，如果用二分法求這個零點(精確度為0.01)的近似值，則應(yīng)將區(qū)間(0,0.1)等分的次數(shù)至少為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】設(shè)等分