離散時間系統(tǒng)的時域分析.ppt

1、第七章 離散時間系統(tǒng)的時域分析,7.4 常系數(shù)線性差分方程的求解,7.1 引言,7.3 離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,7.5 離散時間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng),7.6 卷積（卷積和）,7.2 離散時間信號序列,離散時間系統(tǒng)的優(yōu)點 精度高 可靠性好 功能靈活 時分復(fù)用 保密性好 便于大規(guī)模集成,離散時間系統(tǒng)：激勵與響應(yīng)都是離散時間信號的系統(tǒng)。,7.1 引言,連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)分析方法比較,頻響特性,離散時間系統(tǒng)基礎(chǔ)理論體系,7.2 離散時間信號序列,本節(jié)主要內(nèi)容 離散時間信號 離散信號的表示方法 離散信號的運算 常用離散信號 重點：離散信號的表示方法 難點：正弦序列周期性,一、離散時間信號序

2、列,離散時間信號：在時間上是不連續(xù)的序列，是離散時間變量 的函數(shù)。 表示離散信號的時間函數(shù)，只在一系列分隔的時間點上才有定義，而在其它時間無定義 間隔可以是均勻的，也可以是非 均勻的，通常討論假設(shè)為均勻的。,1. 圖解表示,二、離散信號的表示方法,2. 有序序列表示,或：,二、離散信號的表示方法,表示n=0的位置,3. 解析式表示,二、離散信號的表示方法,序列的三種形式,2.雙邊序列：無始無終,3.有限長序列：有始有終,1.單邊序列：有始無終， 或無始有終,三、序列的運算,1、序列相加（減）：兩序列同序號的數(shù)值逐項對應(yīng)相加（減）,2、序列相乘：兩序列同序號的數(shù)值逐項對應(yīng)相乘,三、序列的運算,3

3、、序列移位：原序列逐項依次移動m位,當(dāng) 時：,左移（前移）m 位,右移1位,三、序列的運算,4、序列反褶（倒置）：,將 xn 以縱軸為中心作180翻轉(zhuǎn),如果y(n)=x(-n-m)，倒置后左移m個單位。,注意：有時需去除某些點或補足相應(yīng)的零值。,三、序列的運算,5.尺度變換：波形壓縮（抽?。┗驍U展（內(nèi)插）,抽取(Decimation) M,以縱軸為基準(zhǔn)在原序列中每隔M-1點抽取一點,xnxMn M為正整數(shù),x0,x1,x2,x3,x4,x0,x2,x4,三、序列的運算,5. 尺度變換,內(nèi)插(Interpolation) L,在序列2點之間插入L-1個點,x0,x1,x2,x0,x1,x2,xn

4、xILn L為正整數(shù),三、序列的運算,5. 尺度變換,6、序列的差分運算：一個序列與一個移位序列之差,一階前向差分：,一階后向差分：,二階前向差分：,二階后向差分：,三、序列的運算,N階后向差分,結(jié)果依然是一個序列,7. 求和,三、序列的運算,1.單位樣值（/取樣/脈沖/沖激）信號,四、典型離散信號（序列）,1單位樣值信號,單位脈沖序列的作用,表示任意離散時間信號,加權(quán)表示,四、典型離散信號（序列）,任意序列可以分解為加權(quán)、延遲的單位脈沖序列之和,舉例,2.單位階躍序列,四、典型離散信號（序列）,dn與un的關(guān)系:,定義：,un可以看作是無數(shù)個單位樣值之和。,- 求和關(guān)系,- 微分關(guān)系,- 積

5、分關(guān)系,- 差分關(guān)系,- 求和關(guān)系,3.矩形序列,四、典型離散信號（序列）,4. 斜變序列,四、典型離散信號（序列）,比較：,當(dāng) 時序列是發(fā)散的， 時是收斂的 a0序列都取正值 a0序列在正、負(fù)間擺動,5. 單邊指數(shù)序列,四、典型離散信號（序列）,6. 正弦序列,式中， 是正弦序列包絡(luò)的頻率。,四、典型離散信號（序列）,0表示相鄰兩個序列值間的弧度數(shù)為,0正弦序列頻率，單位是弧度； 0連續(xù)正弦頻率，單位是弧度/秒。,說明：,6正弦序列,四、典型離散信號（序列）,1）與連續(xù)系統(tǒng)正弦 關(guān)系：,6正弦序列,N為正整數(shù), 正弦序列是周期的，T02/ 0,2）周期性條件,說明：,四、典型離散信號（序列）

6、,為分子分母不可再約的有理數(shù),正弦序列仍是周期的，且周期為,6正弦序列,2）周期性條件,說明：,四、典型離散信號（序列）,例 已知,，求其周期。,解：,則有,即周期為11，,中有5.5個,為無理數(shù),找不到滿足x(n+N)=x(n)的N值，為非周期序列。,例:,是否為周期序列。,解：,，則2/0=5是無理數(shù),為非周期的序列。,6正弦序列,2）周期性條件,說明：,四、典型離散信號（序列）,2）周期性條件,若 為整數(shù),周期T 。,若 不是有理數(shù)，不具周期性。,6正弦序列,說明：,四、典型離散信號（序列）,7. 復(fù)指數(shù)序列,復(fù)數(shù)序列用極坐標(biāo)表示：,四、典型離散信號（序列）,7.3 離散時間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

7、,離散線性時不變系統(tǒng) 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 從常系數(shù)微分方程得到差分方程 已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,線性（均勻性和疊加性）,一、離散線性時不變系統(tǒng)的特點,時不變性,一、離散線性時不變系統(tǒng)的特點,差分特性,yn - yn-1,求和特性,xn -xn-1,一、離散線性時不變系統(tǒng)的特點,延時,加法器,離散時間系統(tǒng)用基本單元符號表示,二、離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,乘法器,離散時間系統(tǒng)用基本單元符號表示,二、離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,二、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,輸入是離散序列及其時移函數(shù) 輸出是離散序列及其時移函數(shù) 系統(tǒng)模型是輸入輸出的線性組合,離散LTI系統(tǒng)用N階常系數(shù)線性差分方程描述,（ak 、 br為常數(shù)）,二

8、階前向差分方程,二階后向差分方程,差分方程的階數(shù)：響應(yīng)yn的最大移位與最小移位之差。,如何建立數(shù)學(xué)模型?,二、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,常系數(shù)一階后向差分方程,圍繞加法器建立差分方程：,后向差分方程 多用于因果系統(tǒng),1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,常系數(shù)一階前向差分方程,圍繞加法器建立差分方程：,前向差分方程 多用于狀態(tài)方程,1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,1.已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,2.從常系數(shù)微分方程得到差分方程,在連續(xù)和離散之間作某種近似,取近似：,常系數(shù)二階差分方程,例7-4：電阻梯形網(wǎng)絡(luò),E,v0,v1,v2,vN,vN-1,v0=E,vN=0,試寫出節(jié)點電壓的差分方

9、程。,vN-2,例7-5 假定每對兔子每月可以生育一對小兔，新生的小兔子要隔一個月才具有生育能力，若第一個月只有一對新生小兔，求第n 個月兔子對的數(shù)目是多少？ 解：令y(n) 表示在第n 個月兔子對的數(shù)目。已知y(0)=0,y(1)=1,推得：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5, 于是有： y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2) 整理得： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 -二階差分方程式 或 y(n)=y(n-1)+y(n-2) -費班納西（Fibonacci) 數(shù)列 0，1，1，2，3，5，8，13，,7.4 常系數(shù)線性差分方程的求解,迭代法求系統(tǒng)

10、響應(yīng) 時域經(jīng)典法 離散卷積法： 零輸入響應(yīng)：利用齊次解得零輸入解 零狀態(tài)響應(yīng)：利用卷積和求零狀態(tài)解 變換域法（Z變換法，第8章） 狀態(tài)變量分析法（第12章）,一、迭代法,例1 一階線性常系數(shù)差分方程 yn-0.5yn-1=un, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 將差分方程寫成,代入初始狀態(tài)，可求得,依此類推,缺點：很難得到閉合形式的解。,當(dāng)差分方程階次較低時常用此法,二、經(jīng)典時域分析方法,差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解yhn和特解ypn組成:,齊次解yhn的形式由齊次方程的特征根確定,特解ypn的形式由方程右邊激勵信號的形式確定,差分方程,齊次方程,特征方程：,特征方

11、程有N個特征根,二、經(jīng)典時域分析方法,(1) 特征根是不等實根 a1, a2, , aN,(2) 特征根是等實根 a=a1=a2=ak,(3) 特征根是成對共軛復(fù)根,齊次解的形式,求特解,二、經(jīng)典時域分析方法,完全解=齊次解+特解,邊界條件代入完全解求出齊次解中的待定系數(shù) ，即得完全解的閉式,常用激勵信號對應(yīng)的特解形式,二、經(jīng)典時域分析方法,例7-7：求差分方程 yn+6yn-1 +12yn-2+8yn-3=xn 的齊次解,解：,特征方程為：,解：,（1）求齊次方程y(n)+2y(n-1)=0的齊次解,特征方程：,特征根,齊次解,解：,（2）求非齊次方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(

12、n-1)的特解,將激勵代入方程右端，得,設(shè)方程的特解為,代入差分方程,特解,（3）求完全解=齊次解+特解,代入邊界條件求待定系數(shù) ，,得到完全解的閉式,解：,討論,1) 若初始條件不變，輸入信號 xn = sinn0 un，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yn=？,2) 若輸入信號不變，初始條件y-1=1, 則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yn=？,經(jīng)典法不足之處,若差分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念。,當(dāng)激勵xn=0時，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y-1, y-2, y-N產(chǎn)生的響應(yīng)。同齊次解形式

13、，即它是自由響應(yīng)的一部分。,當(dāng)起始狀態(tài)y-1=y-2= =y-N =0時，由系統(tǒng)的激勵xn產(chǎn)生的響應(yīng)。它是自由響應(yīng)的另外部分加上強迫響應(yīng)。,三 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng),例7-10: 已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為 （1）邊界條件 ，求 （2）邊界條件 ，求,解:（1）,齊次解為,由y-1=0可求出,所以，,設(shè)特解為D,例7-10: 已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為 （1）邊界條件 ，求 （2）邊界條件 ，求,解:（2）,由y-1=1可求出,所以，,零狀態(tài)響應(yīng)不變，即為（1）的結(jié)果,注意,比較,解差分方程的方法有：,單位樣值響應(yīng)hn定義 hn的求解 迭代法 等效初始條件法 階躍響應(yīng)gn的求解 系統(tǒng)的因

14、果性和穩(wěn)定性,7.5 離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng),一、單位樣值（脈沖）響應(yīng)hn定義,單位脈沖序列 n作用于離散時間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng), 用符號hn表示。,二、 hn的求解,求解方法:,2) 等效初始條件法,1) 迭代法,3) 利用與階躍響應(yīng)的關(guān)系求,二、 hn的求解,1) 迭代法,例7-12：已知yn-1/3yn-1= xn, 試求其單位樣值響應(yīng) hn。,hn - 1/3hn-1 =n,對于因果系統(tǒng)，x-1=-1=0, h-1=0 ,- 齊次解的形式,解：hn滿足方程,二、 hn的求解,2) 等效初始條件法,將d n ,d n-j對系統(tǒng)的瞬時作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件,則

15、原方程轉(zhuǎn)為齊次方程求解,等效初始條件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-k = 0 遞推求出。,二、 hn的求解,2) 等效初始條件法,例7-13,解：hn滿足方程,1) 求差分方程的齊次解,特征方程為：,三重根,特征根為：,齊次解的表達式為,確定初始 條件,2) 求等效初始條件,2) 等效初始條件法,解：hn滿足方程,等效初始 條件,2) 求等效初始條件,迭代出,代入齊次解求系數(shù),注意：選擇初始條件的基本原則是必須將dn的作用體現(xiàn)在初始條件中,選3個邊界條件,利用線性時不變特性，,解：,這樣，,利用LTI,求齊次解，寫出特征方程,（1）先求,解：,齊次解為,求等效初始條件，由 迭代出

16、,將 作為邊界條件，可求出,（2）求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng),解：,解法二：直接求 hn,將 作為邊界條件，可求出,求等效初始條件,gn求解方法:,單位階躍序列un作用在離散時間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號gn表示。,1) 迭代法,2) 經(jīng)典法,3) 利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系:,hn=gn-gn-1,二、 hn的求解,3) 利用與階躍響應(yīng)的關(guān)系求,三、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,因果性：輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化 充要條件： 穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界 充要條件：,例：已知某系統(tǒng)的 問：它是否是因果系統(tǒng)？是否是穩(wěn)定系統(tǒng)？,是因果系統(tǒng),有界穩(wěn)定,發(fā)散 不穩(wěn)定,解：,卷積

17、法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs n的思路,1) 將任意信號分解為單位脈沖序列的線性組合; 2) 求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 單位樣值響應(yīng); 3) 利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列xn激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzsn 。,7.6 卷積和已知單位樣值響 應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs n推導(dǎo),由時不變特性,由均勻特性,由疊加特性,1、交換律、結(jié)合律和分配律,1）交換律,一、離散線性卷積的性質(zhì),2）結(jié)合律,3）分配律,2、移位性質(zhì),3、其它性質(zhì),一、離散線性卷積的性質(zhì),二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng),級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。,二、系統(tǒng)單位樣值響應(yīng),并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。,三、離散線性卷積的計算,1、圖解法,2、對位相乘求和法,3、解析式法,4、利用性質(zhì)求解,1、圖解法計算卷積和,卷積和的定義為,計算步驟：,1) 將xn、hn中的自變量由n改為m； 2) 把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，如將hm翻轉(zhuǎn)得 h-m ； 3) 把h-m平移n，n是參變量。n0圖形右移，n0圖形左移。 4) 將xm與 hn-m 相乘；