2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 5 簡(jiǎn)單的冪函數(shù)（二）學(xué)案 北師大版必修1

1、5簡(jiǎn)單的冪函數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)奇偶性的定義；2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法；3.會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題預(yù)習(xí)教材P4950完成下列問(wèn)題：知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的幾何特征一般地，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】觀察下列函數(shù)圖像，判斷函數(shù)的奇偶性答案關(guān)于y軸對(duì)稱，所以對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性1奇函數(shù)的定義一般地，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)，在奇函數(shù)f(x)中，f(x)和f(x)的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，即f(x)f(x).反之，滿足f(x)f(x)的函數(shù)yf(x)一定是奇函數(shù)注

2、意：奇函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2偶函數(shù)的定義一般地，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，像這樣的函數(shù)叫作偶函數(shù)在偶函數(shù)f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，滿足f(x)f(x)的函數(shù)yf(x)一定是偶函數(shù)注意：偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱3當(dāng)一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，稱該函數(shù)具有奇偶性【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1若對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)0或1(f(x)0)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)是不是奇函數(shù)？提示根據(jù)奇函數(shù)的定義知，滿足這兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)都是奇函數(shù)2若函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)是不是奇函數(shù)？提示根據(jù)函數(shù)的圖像特征，結(jié)合奇函數(shù)的定義知該函數(shù)是奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)三奇偶性與單調(diào)性一般地，(

3、1)若奇函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在b，a上是增函數(shù)，且有最小值M(2)若偶函數(shù)f(x)在(，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)知道了函數(shù)的奇偶性，我們可以先研究函數(shù)的一半，再利用對(duì)稱性了解其另一半，從而減少工作量【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1判斷函數(shù)yx2和y在(，0)和(0，)上的單調(diào)性的特點(diǎn)提示yx2是偶函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)，yx2在(，0)上是減函數(shù)，yx2在(，0)和(0，)上單調(diào)性相反y是奇函數(shù)，在(，0)和(0，)上單調(diào)性相同2結(jié)合教材P50例2你認(rèn)為應(yīng)怎樣判斷函數(shù)的奇偶性？提示第一步：求定義域并判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱第二步：若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

4、稱則求f(x)并判斷是否等于f(x)或f(x)第三步：若f(x)f(x)，則f(x)是奇函數(shù)，若f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)不具有奇偶性題型一函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x2；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)不具有奇偶性(2)由x21x1所以f(x)0，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0)(0,1由|x2|2x，所以f(x)，因?yàn)閒(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)

5、(4)分段畫(huà)出其圖像如圖所示，由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的兩種常用方法(1)定義法確定函數(shù)的定義域看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，()不對(duì)稱，則函數(shù)不具有奇偶性；()對(duì)稱(2)圖像法畫(huà)出函數(shù)的圖像，直接利用圖像的對(duì)稱性判斷函數(shù)的奇偶性【訓(xùn)練1】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)x|x|解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，又因?yàn)閒(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，又因?yàn)閒(x)x|x|x|x|f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)題型二利用奇偶性求解析式【例2】已知函數(shù)f(x)是 定義域?yàn)镽

6、的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像解(1)由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)0；當(dāng)x0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x，綜上，f(x)(2)圖像如圖規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的三個(gè)步驟(1)設(shè)：要求哪個(gè)區(qū)間的解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間里(2)代：利用已知區(qū)間的解析式代入進(jìn)行推導(dǎo)(3)轉(zhuǎn)：根據(jù)f(x)的奇偶性把f(x)寫(xiě)成f(x)或f(x)，從而解出f(x)提醒利用奇偶性求解析式時(shí)不要忽略定義域，特別是x0的情況【訓(xùn)練2】(1)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0

7、時(shí)，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解(1)當(dāng)x0，則f(x)2(x)23(x)12x23x1，由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，即當(dāng)x0，則x0，由題意知f(x)(x)3(x)1x3x1又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(x)x3x1，故f(x)的解析式為f(x)題型三奇偶函數(shù)的圖像問(wèn)題【例3】設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，若當(dāng)x0,5時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_(kāi)解析由題意，函數(shù)f(x)在5,0上的圖像與在0,5上的

8、圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)f(x)在5,0上的圖像，觀察可得f(x)0的x的取值集合解因?yàn)榕己瘮?shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可得到此函數(shù)在y軸左側(cè)的圖像如圖所示，由圖像可知當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0；故使f(x)0的x的取值集合為(，0)(0，).互動(dòng)探究題型四利用函數(shù)奇偶性求值或求函數(shù)【探究1】已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2ax，且f(3)6，則a的值為_(kāi)解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5答案5【探究2】已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x)，

9、則f的值是_解析若x0，則有f(x1)f(x)，取x，則有：ffff，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，則ff，由此得f0，于是，ffffff5f0答案0【探究3】已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(2)，則函數(shù)f(x)的解析式f(x)_解析f(x)的定義域?yàn)?，若f(x)是奇函數(shù)，則0，得q0.故f(x)，又f(2)，得，得p2，因此f(x)答案規(guī)律方法利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)型及策略(1)定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用ab0求參數(shù)(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比較系數(shù)即可求解課堂達(dá)標(biāo)1函數(shù)f(x)x()A是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)

10、B是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)解析f(x)x的定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)xf(x)所以f(x)為奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)答案A2下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的為()Ayx1 By2x2Cyx51 Dyx3解析f(x)x1(x1)f(x)，所以yx1不是奇函數(shù)，故A不正確B：y2x2是偶函數(shù)，故B不正確C：yx51是非奇非偶函數(shù)，故C不正確D：函數(shù)yx3定義域?yàn)镽，且f(x)(x)3x3f(x)，所以yx3為奇函數(shù)答案D3如果定義在區(qū)間2a,4上的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，那么a_解析由2a4，得a6答案64已知函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，若f(3)f(2)1，則f(2)f(3)_解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，故f(x)f(x)，則f(2)f(3)f(2)f(3)1答案15判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x3x；(2)f(x)x21解(1)對(duì)于函數(shù)f(x)x3x，其定義域?yàn)镽.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，所以，函數(shù)f(x)x3x為奇函數(shù)(2)對(duì)于函數(shù)f(x)x21，其定義域?yàn)镽.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(x)(x)21x21f(x)，所以，函數(shù)f(x)x21為偶函數(shù)課堂小結(jié)1兩個(gè)定義：對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)為奇函數(shù)；